Новый проект на основе наработок этого сайта.
Понятная теория, конспекты и задачник в одном сайте!
Докажем два важных свойства данной нам в условии последовательности.
1) Раз — четное число, то .
2) Раз — нечетное число, то
Ясно, что вручную такое число найти нереально, поэтому лучше было бы находить не наименьшее $%N$%, а какое-нибудь, начиная с которого всё гарантированно будет верно. Тогда можно было бы взять $%N=3cdot10^8$%, что заведомо бы подошло.
Доказательство неограниченности
По определению последовательность не ограничена, если
То есть какую бы большую границу мы не выбрали, всегда найдется какой-нибудь элемент последовательности с номером , который будет больше .
Важно заметить, что нужно найти хотя бы один такой элемент последовательности.
Рассмотрим округление сверху («потолок») числа : . Тогда надо находить следующим образом:
Если — четное, то тоже четное. В начале мы показали, что , если четное. Значит:
Если — нечетное, то четное. В начале мы показали, что , если четное. Значит:
Итак, мы всегда найдем такое , которое будет больше любого , а значит последовательность не ограничена.
Доказательство, что не бесконечно большая
По определению последовательность бесконечно большая, если
Возьмем отрицание. То есть, последовательность не бесконечно большая, если
То есть существует такая граница , что какое бы мы не взяли, всегда найдется хотя бы один элемент, который будет меньше .
Другими словами, есть такая граница , что в любом месте последовательности (даже бесконечно далеко) найдется элемент, который меньше .
Пусть . Теперь нам дается произвольное . выбираем следующим образом:
В обоих случаях оказывается нечетным, а любой элемент с нечетным номером не больше , как мы показали в начале.
Итак, после любого всегда найдется элемент , который по модулю не больше .
Пункт а)
Так как — натуральное число, то
Поделим обе части на
Умножим обе части на и добавим к обеим сторонам :
Но , поэтому — наименьший элемент последовательности , а значит
Для этого надо доказать два пункта:
Первый пункт доказывается элементарно. Так как в каждом член последовательности мы вычитаем положительную дробь из , поэтому любой член
последовательности строго меьше . То есть, — верхняя грань .
Для доказательства второго пункта нужно доказать
То есть, нужно показать, что всегда найдется такой член последовательности , который будет больше .
Рассмотрим неравенство в конце:
Вычитаем из обеих частей и умножаем неравенство на :
Итак, нам достаточно взять по следующей формуле
То есть будет больше .
Итак, мы показали, что — точная верхняя грань .
Наибольший и наименьший частичные пределы
Найдем предел последовательности :
Выше использовался факт того, что (см. прото-задачу П-ссылка).
Если последовательность сходится к какому-то числу , то это — единственная предельная точка этой последовательности (см. прото-задачу П-ссылка).
Это означает, что наибольший и наименьший частичные пределы равны пределу исходной последовательности:
Теория последовательностей
определив для каждого число такое, что
Заполнить следующую таблицу:
Доказать, что есть бесконечно малая (т.е. имеет предел, равный ), указав для всякого число , такое, что при , если:
Для каждого из этих случаев заполнить следующую таблицу:
Доказать, что последовательности:
имеют бесконечный предел при (т.е. являются бесконечно большими), определив для всякого число такое,
что при .
не ограничена, однако не является бесконечно большой при .
Сформулировать с помощью неравенств следующие утверждения:
Предполагая, что пробегает натуральный ряд чисел, определить значения следующих выражений:
Доказать следующие равенства:
Какое выражение больше при достаточно больших :
Доказать, что последовательность
монотонно возрастает и ограничена сверху, а последовательность
монотонно убывает и ограничена снизу. Отсюда вывести, что эти последовательности имеют общий предел
При каких значениях показателя выражение будет отличаться от числа меньше чем на ?
Пусть — произвольная последовательность чисел, стремящаяся к и — произвольная последовательность чисел, стремящаяся к . Доказать, что
Вывести отсюда формулу
где , и вычислить число с точностью до .
Доказать, что число иррационально.
а) , где — любое натуральное число;
б) , где — вещественное число, отличное от нуля.
где есть логарифм числа при основании .
Пользуясь теоремой о существовании предела монотонной и ограниченной последовательности, доказать сходимость следующих последовательностей:
, где —
целые неотрицательные числа, не превышающие , начиная с .
Пользуясь критерием Коши, доказать сходимость следующих последовательностей:
Говорят, что последовательность имеет ограниченное изменение, если существует число такое, что
Доказать, что последовательность с ограниченным изменением сходится.
Построить пример сходящейся последовательности, не имеющей ограниченного изменения.
Сформулировать, что значит, что для данной последовательности не выполнен критерий Коши.
Пользуясь критерием Коши, доказать расходимость последовательности
Доказать, что если последовательность сходится, то любая ее подпоследовательность также сходится и имеет тот же самый предел:
Доказать, что монотонная последовательность будет сходящейся, если сходится некоторая ее подпоследовательность.
Если , то что можно сказать о пределе ?
Доказать, что сходящаяся числовая последовательность ограничена.
Доказать, что сходящаяся числовая последовательность достигает любо своей верхней грани, либо своей нижней грани, либо той и другой.
Построить примеры последовательностей всех трех типов.
Доказать, что числовая последовательность , стремящаяся к , обязательно достигает своей нижней грани.
Найти наибольший член последовательности , если:
Найти наименьший член последовательности , если:
Для последовательности найти , , и , если:
Найти частичные пределы следующих последовательностей:
Построить пример числовой последовательности, имеющей в качестве своих частичных пределов числа
Построить пример числовой последовательности, для которой все члены данной числовой последовательности
являются ее частичными пределами. Какие еще частичные пределы обязательно имеет построенная последовательность?
Построить пример последовательности:
а) не имеющей конечных частичных пределов;
б) имеющей единственный конечный частичный предел, но не являющейся сходящейся;
в) имеющей бесконечное множество частичных пределов;
г) имеющей в качестве своего частичного предела каждое вещественное число.
Доказать, что последовательности и имеют одни и те же частичные пределы.
Доказать, что из ограниченной последовательности всегда можно выделить сходящуюся подпоследовательность .
Доказать, что если последовательность не ограничена, то существует подпоследовательность такая, что
Пусть последовательность сходится, а последовательность расходится.
Что можно утверждать о сходимости последовательностей:
Привести соответствующие примеры.
Пусть последовательности и расходятся. Можно ли утверждать, что последовательности:
Пусть , и — произвольная последовательность.
Можно ли утверждать, что ?
Привести соответствующие примеры.
Следует ли отсюда, что либо , либо ?
Рассмотреть пример: , .
Построить примеры, когда в этих соотношениях имеют место строгие неравенства.
Пусть и . Доказать, что:
Доказать, что если существует, то какова бы ни была последовательность , имеем:
Доказать, что если для некоторой последовательности , какова бы ни была последовательность , имеет
место по меньшей мере одно из равенств:
то последовательность — сходящаяся.
Доказать, что если и
Доказать, что если последовательность ограничена и
то частичные пределы этой последовательности расположены всюду плотно между ее нижним и верхним пределами:
т.е. любое число из отрезка является частичным пределом данной последовательности.
Пусть числовая последовательность удовлетворяет условию
Доказать, что существует.
Доказать, что если последовательность сходится, то последовательность средних арифметических
Обратное утверждение неверно: построить пример.
Доказать, что если последовательность сходится и , то
Доказать, что если , то
предполагая, что предел, стоящий в правой части последнего равенства, существует.
Доказать теорему Штольца, если
Доказать, что если — натуральное число, то:
Таким образом, имеет место формула
где — так называемая постоянная Эйлера и при .
Последовательность чисел определяется следующими формулами:
Пусть — последовательность чисел, определяемая следующей формулой:
Доказать, что .
Доказать, что последовательности и , определяемые следующими формулами:
(арифметико-геометрическое средее чисел и ).
Пункт б)
При четных любой член будет отрицательным, поэтому искать надо только среди нечетных :
Разделим обе части на и умножим на :
Прибавим к обеим частям :
Но , поэтому — наибольший член последовательности , а значит
При нечетных любой член последовательности будет положительным, поэтому искать надо только среди четных :
Так как — натуральное четное число, то
Разделим обе части на :
Умножим обе части на :
Но , поэтому — наименьший член последовательности , а значит
Нахождение наибольшего и наименьшего частичных пределов
Рассмотрим подпоследовательность, которая состоит только из нечетных :
Найдем предел этой подпоследовательности
Последовательность можно «зажать» между и .
«Последовательность» из стремится к . Последовательность тоже стремится к (см. прото-задачу П-ссылка). А значит,
по теореме о двух милиционерах, «зажатая» между ними последовательность тоже стремится к .
Итак, мы нашли один из частичных пределов:
Рассмотрим подпоследовательность, которая состоит только из четных :
Выше мы вновь воспользовались тем, что (см. прото-задачу «Элементарные пределы последовательностей»).
Итак, у нас есть две предельные точки:
Так как любой элемент исходной последовательности находится в одной из двух подпоследовательностях выше, то, по прото-задаче П-ссылка у последовательности больше нет других предельных точек, кроме и .