Муниципальное казенное общеобразовательное учреждение
«Студенокская средняя общеобразовательная школа
Железногорского района Курской области»
Конспект урока по теме
«Свойства корня n-ой степени.
Преобразование выражений, содержащих радикалы
Ковалева Галина Никифоровна
алгебра и начала анализа.
«Алгебра и начала математического анализа. 10-11 класс»
А. Г. Мордкович, Семёнов П. В .
УМК «Алгебра и начала математического анализа. 10 – 11 класс» автор А. Г. Мордкович, Семёнов П. В., компьютерная доска, ноутбук, карточки для индивидуальной работы.
урок отработки умений и рефлексии.
Формы работы учащихся: фронтальная, парная, индивидуальная
Запиши в тетрадь:
Дату и тему урока
– Повтори материал: параграф 1 – 5, стр. 12 – 43, внимательно изучи примеры в параграфе.
2)ИЗУЧЕНИЕ НОВОГО МАТЕРИАЛА.
– Изучи материал: параграф 6, стр. 54 – 56, внимательно изучи примеры в параграфе.
– Запишите в тетрадь примеры решения задачи.
4)ФОРМАТИВНОЕ КРИТЕРИАЛЬНОЕ ОЦЕНИВАНИЕ.
Задание. Реши самостоятельно: № 9.1, № 9.2, стр.77
– знает понятие корня n-ой степени; (3 балла)
– знает понятие арифметического корня n-ой степени; (3 балла)
– находит множество допустимых значений переменной в алгебраических выражениях, содержащих корниn-ой степени. (4 балла)
Изучить параграф 9, стр. 74 -77, выучить определения, формулы.
Корень n-й степени и его свойства. 11 класс.
А. Г. Мордкович. Алгебра и начала анализа.
игра «Счастливый случай» (этапы урока совпадают с геймами игры).
Оборудование: кроссворд, карточки для индивидуальной работы и гейма «Заморочки из бочки», таблица для подведения итогов игры.
Сегодня урок пройдет в форме игры «Счастливый случай». Мы повторим тему «Арифметический корень натуральной степени», закрепим понятие корня n-й степени и его свойства. В игре примут участие 3 команды: 3 ряда учащихся. В каждом гейме команды будут получать баллы. Победит та команда, которая наберет наибольшее количество баллов.
Гейм 1. « Повторенье- мать ученья».
3. Как можно иначе назвать корень третьей степени? (кубический)
4. Есть у любого слова, у растения, может быть n-й степени. (корень)
5. Степень корня, кратная 2.(четная)
6. Так называют выражение х
7. Степень корня 2 k+1. (нечетная).
б) ; ; .
Задание 2. Решите уравнения:
Задание 3. Найдите область определения функции:
Гейм 3. « Спешите видеть, ответить, решить»
Задание 4. ( Дидактическая игра «Шифр». Выполняется самостоятельно). Команда получает 5 баллов, если все члены команды решат все примеры быстрее и верно расшифруют слово, за второе место – 4 балла, за третье место -3 балла.
На доске шифр:
Задание 5. Упростить выражения:
Гейм 4. « Гонка за лидером». (самостоятельная работа). Первые 5 человек получают «5». Сегодня ваш счастливый случай.
Гейм 5. « Темная лошадка». (шуточный вопрос в конверте. За верный ответ – 3 балла).
Вопрос: «каждую математическую задачу решает свинья, подрывая куст картофеля»? (извлечение корня).
Гейм 6. « Заморочки из бочки».
(Домашнее задание на карточках. Оценивается на следующем уроке).
Выполните то, что Его королевское величество. « Внести множители!-приказал и, наклонившись к королеве, прошептал:- Может быть. Хоть это позволит упростить мои зарвавшиеся радикалы, тогда я их наконец смогу сложить в нашем королевстве установится порядок.
III. Подведение итогов урока.
1. В гейме «Гонка за лидером» оценку «5» получают по 2-3 ученика из каждой команды, первыми пришедшие к финишу.
2. Объявляются итоги игры в целом и выставляются оценки всем членам команды – победительницы.
Гейм 1. Работа по карточкам
Образовательная: расширить и обобщить знания учащихся по данной теме, овладеть свойствами корня п-ой степени.
Средства обучения: карточки, таблицы.
Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний.
Форма обучения: индивидуальная и групповая.
«Мышление начинается с удивления»
Вопросы для разминки.
Актуализация опорных знаний.
а) Свойства арифметического квадратного корня:
= ? , а ≥ 0, в ≥0
= , а≥0, b0
б) свойства степени с натуральным показателем:
Формирование новых знаний. Аналогично определению квадратного корня из числа a определяется корень n-ной степени из числа а, где n- произвольное натуральное число, n1.
Определение. Корнем n-ной степени из числа а называется такое число, n-ная степень которого равна а.
в) = -3
Рассмотрим уравнение = a. Число корней этого уравнения зависит от n и a.
Рассмотрим функцию f(x)=. При x и n –любое число- возрастает, и a имеет неотрицательный корень и только один x=.
Определение. Арифметическим корнем n-ной степени из числа a называют неотрицательное число, n -ая степень которого равна a.
При четном n существует два корня n-ной степени из любого положительного числа a, корень четной степени из отрицательных чисел не существует. При нечетном n существует корень n-ной из любого числа a и притом только один.
Краткая запись (в тетради).
n- четное число
а) = 7, 7 =343 в)= -3 = -243
основные свойства арифметических корней n-ной степени.
Обобщение и закрепление материала.
Задание 1. Вычислите.
1) ? = = = 2
2) = = =
3) = = –
Трехуровневая самостоятельная работа с целью проверить знания, умения и навыки по теме
« Корень п-ой степени и его свойства»
№ 1. Вычислить (А)
1вариант 2 вариант
№ 2. Найдите значение выражения (В)
1) ? = 1) 7 ? =
2) = 2) =
№ 3. Упростите (С)
Проверка работы учащихся: выставление оценок.
Просмотр содержимого документа
«Конспект урока математики “Корень n-ой степени и его свойства”, 11 класс
· повторить, как извлекается корень n-ой
степени из числа;
· повторить свойства арифметического корня n-ой
степени;
· показать, как можно применить свойства корня
при решении задач.
Корнем n-ой
степени из числа а называется такое число, энная
степень которого равна А.
Говоря
о корне энной степени нужно понимать, что показатель корня n является
натуральным числом.
Вам хорошо известен такой частный случай корня n-ой
степени,
как корень второй степени, то есть квадратный корень из числа. Показатель корня
в этом случае не пишут.
Квадратным корнем из числа
называют такое число, квадрат которого равен числу а.
Ещё одним частным случаем является корень третьей
степени, мы привыкли называть его корнем кубическим.
Вы могли задаться вопросом, почему.
Чтобы ответить на этот вопрос, рассмотрим два случая
корня энной степени: где показатель корня является нечётным числом и где
показатель корня является чётным числом.
Но чтобы избавиться от неоднозначности в вычислениях,
договорились неотрицательный корень n-ой степени обозначать как «корень n-ой
степени из а». А отрицательный как «минус корень n-ой степени
из а».
Исходя из этой договорённости и становится понятно,
что
Из рассмотренных случаев можем сделать заключение, что:
Вернёмся к определению корня энной степени
В первую запись вместо можно подставить:
Тогда получаем свойство, которым очень удобно
пользоваться при вычислении корня энной степени.
Но ведь корень чётной степени мы договорились считать
числом неотрицательным. Поэтому чтобы не возникало путаницы при вычислении
корней, вместо этого свойства мы пользовались двумя:
Вы видите, что корень энной степени из любого неотрицательного
числа а имеет смысл при любых Эн и принимает неотрицательные значения.
Такой корень называют арифметическим корнем n-ой степени из числа
а.
Любой корень можно выразить через арифметический.
Корни чётных степеней всегда являются арифметическими,
ведь подкоренное выражение у них является числом неотрицательным, и под их
значениями мы условились понимать неотрицательные числа.
Это же касается корней нечётных степеней из
неотрицательных чисел.
А вот, например, корни нечётных степеней из
отрицательных чисел можно записать так, при этом вынеся минус перед корнем.
Также при работе с корнями энной степени очень важно
знать ещё несколько свойств. Напомним их.
Все эти свойства пригодятся вам при работе с
выражениями, содержащими знак корня.
На этом уроке мы с вами вспомнили, как извлекать
корень n-ой степени из числа. Напомнили, что корень n-ой степени
из неотрицательного числа считают числом неотрицательным, и называют
«арифметическим корнем n-ой степени».
Так корень чётной степени из неотрицательного числа
всегда является корнем арифметическим и поэтому равен числу неотрицательному. А
корня чётной степени из отрицательного числа не существует. Корень нечётной
степени из неотрицательного числа равен числу неотрицательному. Например,
корень третьей степени из двадцати семи равен трём.
Ну, а корень нечётной степени из отрицательного числа
равен числу отрицательному. Его нужно выражать с помощью арифметического корня n-ой
степени, при этом вынося минус из-под знака корня. Также мы напомнили свойства
арифметического корня энной степени и применили их на конкретных примерах.
·
сформулировать
и доказать свойства корня n-ой степени из неотрицательного числа, в
случае натурального n;
·
рассмотреть
примеры использования этих свойств на примерах.
Корнем n-ой степени из
неотрицательного числа a
называют
такое неотрицательное число, при возведении которого в степень n
получается число а.
Корнем нечётной степени n-ой из
отрицательного числа а называют такое
отрицательное число, при возведении которого в степень n получается а.
Число а – это подкоренное
число, число n – показатель корня.
На сегодняшнем уроке мы рассмотрим
основные свойства операции извлечения корня n-ой степени.
Итак, первое свойство формулируется
следующей теоремой.
Введём следующие обозначения:
Нам надо доказать, что для
неотрицательных чисел x, y,
z выполняется равенство x
=
yz.
Из определения корня n-ой степени
из неотрицательного числа мы знаем:
После замены в равенстве чисел a,
b, произведения ab
на соответствующие им выражения, получим, что:
Что и требовалось доказать.
Очевидно, что теорема остаётся
справедливой и для случая, когда подкоренное выражение представляет собой
произведение более чем двух неотрицательных чисел.
Рассмотрим следующее свойство.
Доказывать это свойство мы будем
аналогично предыдущему. Введём обозначения.
Используя определение корня n-ой
степени из неотрицательного числа, можно записать:
Давайте рассмотрим несколько примеров.
Рассмотрим ещё одно свойство корня n-ой
степени из неотрицательного числа.
Другими словами, чтобы возвести корень в
натуральную степень достаточно возвести в эту степень подкоренное выражение.
Эта теорема является следствием теоремы
1. Если k = 3, то получим:
Точно так же можно рассуждать в случае
любого другого натурального значения показателя k.
Рассмотрим ещё одно свойство.
Доказательство этого свойства вы можете
провести самостоятельно, оно аналогично доказательству первой и второй теоремы.
Мы с вами научились перемножать, делить,
возводить в степень и извлекать корень из корней n-ой степени из
неотрицательного числа. А как же складывать и отнимать такие корни? Никак. Их
нельзя просто так складывать и вычитать. Надо преобразовывать каждый корень, а
затем, если это возможно, складывать полученные результаты.
Рассмотрим это на примере.
Рассмотрим ещё одно свойство корней n-ой
степени из неотрицательных чисел.
Если показатели корня и степени
подкоренного выражения умножить или разделить на одно и то же натуральное
число, то значение корня не изменится.
Введём некоторые обозначения:
Тогда по определению корня n-ой
степени из неотрицательного числа, можно записать:
Возведём обе части последнего равенства
в одну и ту же степень p, получим:
Давайте запишем свойства корней энной
степени из неотрицательного числа ещё раз:
Обратите внимание, что мы рассматривали
с вами свойства корней n-ой степени только из неотрицательных чисел.
Потому что корень n-ой степени из отрицательного числа имеет смысл
только при нечётных n. Для таких значений показателей корня
рассмотренные свойства корней верны и в случае отрицательных подкоренных
выражений.
Тема: Корень n-ой степени и его свойства.
Время урока: 45 минут
Комбинированный (систематизация и обобщение, усвоение новых знаний, проверка и оценка знаний).
Рассмотреть понятие корня n-oй степени, понятие арифметического корня n-й степени из числа a, фoрмирование навыков сознательного и рационального использования свoйств арифметического корня
1. Образовательные: актуализировать необходимые знания и умения. Рассмотреть понятие кoрня n-ой степени, понятие арифметического корня n-й степени из числа a и свойства арифметического корня
2. Развивающие: развивать самостоятельность учащихся при доказательстве свойств арифметического корня n-ной степени, опираясь на свойства степеней с натуральным показателем и определение корня
-ной степени. Стимулировать вып0лнение практических упражнений, оценивая труд учащихся.
3. Воспитательные: фoрмирoвание активной жизненной пoзиции, честности и порядочности, воспитание у учащихся умения работать в коллективе.
Компьютер, интерактивная доска, учебное пособие, дидактический материал, таблицы «Степень с натуральным показателем и ее свойства», «Свойства арифметических корней n-ной степени».
Формы организации учебной деятельности:
Индивидуальная, диалог, работа с текстом слайда, работа с учебником.
Наглядный, словесный, условно-символический.
Приветствие учащихся, сообщение темы: «Корень n – й степени и его свойства», сообщение цели и способа деятельности.
Повторение опорных знаний (систематизация и обобщение):
Класс делится на три группы.
Деятельность учителя: задает вопросы:
Деятельность учащихся в группах:
-отвечают на вопросы,
– записывают свойства на листе,
– проверяют правильность по слайду,
– выполняют задания.
Усвоение новых знаний:
Деятельность учителя: Вводятся новые понятия:
1. Определение. Корнем n-ной степени из числа a называется такое число, n-я степень которого равна a, то есть
Если n – нечетное число, то существует единственный корень n-й степени из любого числа (положительного или отрицательного). Например,
Если n – четное число, то существует два корня n-й степени из любого положительного числа. Например, корень четвертой степени из числа 625- это числа -5 и 5. Так как
Корень четной степени из отрицательного числа не существует. Например,
2. Определение. Арифметическим корнем n-ной степени из числа а называют неотрицательное число, n-я степень которого равна a.
= 9 т.к.
= – 3 т.к.
3. Основные свойства арифметических корней n-ной степени.
Для любого натурального
и любых неотрицательных чисел
. Для любых чисел
, таких, что
, выполняется неравенство
4. Примеры с заданиями даются на слайде:
1. Решите уравнения
2. Найдите значения числового выражения
– решение практических задач учащимися у доски (задания даются из учебника 10-11 кл. А.Н. Колмогоров и др.)
2) Решите уравнения
3) Найдите значение числового выражения
4) Найдите значение выражения
Деятельность учителя: вопросы учащимся:
– Дайте определение корня п-ой степени из действительного числа.
– Сколько корней может иметь уравнение вида хn = a? Отчего это зависит?
– Как вычислить корень п-ой степени из числа?
– Когда корень п-ой степени не имеет смысла?
Гл.4 п. 9 стр.212 №394, 399 стр. 213 №408.
= ∙ , а ≥ 0 , в ≥0
= , а≥0, b0
Формирование новых знаний. Аналогично определению квадратного корня из числа a определяется корень n-ной степени из числа а, где n- произвольное натуральное число, n1.
а)
б =2,
в) = -3
Рассмотрим уравнение = a. Число корней этого уравнения зависит от n и a.
Рассмотрим функцию f(x)=. При x и n –любое число- возрастает, и a имеет неотрицательный корень и только один x=.
При четном n существует два корня n-ной степени из любого положительного числа a, корень четной степени из отрицательных чисел не существует. При нечетном n существует корень n-ной из любого числа a и притом только один.
а) = 7 , 7 =343 в)= -3 = -243
Для любых чисел n € N , k € N, n 1 и k1 , a0, b0 выполняются равенства :
Все свойства формулируются и доказываются только для неотрицательных значений переменных, содержащихся под знаками корней.
1. Теорема 1 остается справедливой и для случая, когда подкоренное выражение представляет собой произведение более чем двух неотрицательных чисел.
Теорема 2. Если, и n – натуральное число, большее 1, то справедливо равенство
Краткая (хотя и неточная) формулировка, которую удобнее использовать на практике: корень из дроби равен дроби от корней. Теорема 1 позволяет нам перемножать только корни одинаковой степени, т.е. только корни с одинаковым показателем.
Теорема 3. Если, k – натуральное число и n – натуральное число, большее 1, то справедливо равенство
Иными словами, чтобы возвести корень в натуральную степень, достаточно возвести в эту степень подкоренное выражение. Это — следствие теоремы 1. В самом деле, например, для к = 3 получаем: Точно так же можно рассуждать в случае любого другого натурального значения показателя к.
Теорема 4. Если, k, n – натуральные числа, большее 1, то справедливо равенство
Иными словами, чтобы извлечь корень из корня, достаточно перемножить показатели корней. Например,
Будьте внимательны! Мы узнали, что над корнями можно осуществлять четыре операции: умножение, деление, возведение в степень и извлечение корня (из корня). А как же обстоит дело со сложением и вычитанием корней? Никак. Например, вместо нельзя написать В самом деле, Но ведь очевидно, что
Теорема 5. Если показатели корня и подкоренного выражения умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то значение корня не изменится, т.е
Обобщение и закрепление материала.
1) ∙ = = = 2
2) = = =
3) = = –
Трехуровневая самостоятельная работа с целью проверить знания, умения и навыки по теме^
вариант 2 вариант
№ 2 . Найдите значение выражения (В)
1) ∙ = 1) 7 ∙ =
2) = 2) =
∙ ∙
Корень n-й степени из действительного числа и его свойства
Перед учащимися ставится цель урока, слайд.
Мотивируется данная цель, проговаривается выход на конечный результат, итог урока.
Объединить в единое целое понятия: Слово – Символ – Образ.
: таблица № 8 для устного счета.
Задаваемые вопросы ученикам:
1. Вычислить примеры, записанные в 8-ой строчке;
2. Какое свойство корня необходимо использовать, чтобы вычислить примеры 7-ой строчки. ( Ответ: свойство произведения корня n-ой степени)
3. Назовите номер примера из столбика 8.1, значение которого равно 10. ( Ответ: № 6)
4. Как можно с помощью корня n-ой степени записать число 2, используя таблицу привести несколько примеров. ( Ответ: например столбик 8.1 – примеры под номерами 1, 2, 5, 7)
Назовите номер примера, в котором ответом является число, соответствующее порядковому номеру буквы Д в русском алфавите. ( Ответ: столбик 8.1, № 4)
Задача № 1:
Используя график функции у=х
Найти корни уравнения х
Задача № 2:
Сколько корней имеет уравнение х
Найти эти корни
Задача № 3:
Используя график ответить на вопросы:
При каком значении параметра а, уравнение имеет один корень. ( Ответ: при а=0)
При каком “а” уравнение имеет более двух корней. ( Ответ: ни при каком значении а)
уравнение не имеет корней. ( Ответ: при а< 0)
Решение задач обязательного уровня
Учащиеся решают задания обязательного уровня (карточка оранжевого цвета) по двум вариантам. У доски (оборотная сторона) работу выполняют два учащихся с консультантами.
Время выполнения работы 10–12 минут, затем происходит проверка результатов вычислений, все учащиеся сравнивают свои ответы, происходит коррекция ЗУН.
Карточка (оранжевого цвета).
В это же время решаются задания среднего уровня (карточка синего цвета) с консультантом, работа в малых группах, слайд с ходом решения для самопроверки.
Подведение итогов обобщения материала
Объединить в единое целое: Слово – Символ – Образ, слайд
1. С каким математическим понятием мы работали сегодня – корень n–ой степени
2. Что мы применяли для вычислений корня n–ой степени –
3. Сколько корней имеет уравнение х=а, если n – нечетное число –
4. Сколько корней имеет уравнение х=а, если n –четное число – зависит от а:
если а – отрицательное, то нет корней;
если а = 0, то один корень;
если а – положительное, то два корня.
Минута здоровья (гимнастика для глаз)
Следующий этап урока контроль знаний учащихся по данной теме, проведение проверочной работы с последующей самопроверкой, слайд
Проверочная работа (15-18 минут)
Проверочная работа по теме ““Корень n-ой степени и его свойства”
Правильно выполненные 4 задания –
Правильно выполненные 6 заданий
Правильно выполненные 7 заданий
Подведение итогов урока, проверка работ учащимися, выставление оценок
Ученики обмениваются работами и проверяют по слайду с ответами, подсчитывают правильное количество баллов, выставляют оценку карандашом и сдают учителю для повторной проверки.
Анализируя результаты проверочной работы, учитель подводит итоги урока, выставляет оценки в журнал и дневники учащихся, задает домашнее задание.
На индивидуальную консультацию в субботу (5 урок) приглашаются учащиеся, не справившиеся и обязательным уровнем по теме.
(в зависимости от результатов выполнения проверочной работы).
Слайд. Учитель называет фамилии учащихся, и показывает на слайде инд. д/з.
успешно справились – изучить пункт 33, разобрать примеры № 1 и № 3 из учебника, выполнить по образцу № 417 (а, б), № 419 (а, б);
допущены ошибки в обязательной части работы – № 391–393 (а, б);
– допущены ошибки в дополнительной части работы – № 394, 410 (а);
– выполняют второй вариант проверочной работы и приносят его на индивидуальную консультацию в субботу
Обобщить знание свойств корня n- ой степени в ходе выполнения упражнений; закрепить умение преобразовывать выражения, содержащие радикалы.
: уметь применять свойства корней n-ой степени при выполнении преобразований выражений, находить значения корней n-ой степени.
умение работать в парах, слушать собеседника и вести диалог, аргументировать свою точку зрения
уметь обрабатывать информацию; формировать коммуникативную компетенцию учащихся; выбирать способы решения задач в зависимости от конкретных условий; контролировать и оценивать процесс и результаты своей деятельности.
: сформировать у учащихся целостное представление о корне n-ой степени, навыки рационального применения свойств корня n-ой степени при решении задач.
: развивать логическое мышление, память, познавательный интерес, вырабатывать умение анализировать и сравнивать, развивать навыки самоконтроля.
: развитие любознательности и интереса к предмету, воспитание у учащихся навыков учебного труда, формирование ответственности за конечный результат, доброжелательного отношения друг к другу.
I. Организационно – мотивационный этап.
Приветствие. Отсутствующие на уроке. Готовность учащихся к уроку.
II. Этап актуализации знаний.
– Уважаемые ребята, сегодня вам предоставляется возможность многое делать самостоятельно.
Обратите внимание на доску.
Задание 1.( презентация, слайд 1)
(Ответы учащихся последовательно записываю на доске, отделяя точкой).
Посмотрите, что получилось, на что похоже 21.10.22? (дата урока)
( записи на доске)
, если a
Что же называем корнем n-ой степени ? (корнем n-ой степени из неотрицательного числа а, называют такое неотрицательное число, при возведении которого в степень n получается а.) Таблицу свойств раздаю на парту
Какие вы знаете способы решения для преобразования выражений, содержащие радикалы?( презентация, слайд 3, 4)
Решение у доски с комментарием
III. Этап обобщения и систематизации знаний
Предлагаю вам поработать в паре.
Тест. Проверка применять свойства на практике ( решаем на месте)
IV. Этап применения знания: Задания ЕГЭ
Заходим на сайт РЕШУ ЕГЭ и решаем вариант
V. Домашнее задание
– повторить теорию в учебнике §35-36
– выполнить письменно задание на сайте РЕШУ ЕГЭ вариант-7
VI. Этап подведения итога урока. Рефлексия.( слайд 7)
Вопросы к учащимся:
– Что вызвало затруднение?
Ребята, на доске вы видите высказывания английского математика Джеймса Джозефа Сильвестра о математике
“Математика – это музыка разума,
Музыка – это математика чувств”.
К чувствам мы можем отнести различного рода переживания. В этом году одной из причин ваших и моих переживаний является успешная сдача ЕГЭ и, как следствие, поступление в ВУЗ. Очень хочется, чтобы преобладали положительные эмоции. Должна быть уверенность, а это наши знания и навыки. Сегодня на уроке мы внесли очередной вклад в вашу подготовку к ЕГЭ, повторяя свойства корня n-ой степени и применение их для преобразований выражений, содержащих радикалы.
Спасибо за урок!