ТАНГЕНСОМ ОСТРОГО УГЛА ПРЯМОУГОЛЬНИКА НАЗЫВАЕТСЯ ОТНОШЕНИЕ ПРИЛЕЖАЩЕГО КАТЕТА К ОСИ ТРЕУГОЛЬНИКА

tg(0°)=tg(360°)=0 точная, но чуть более сложная таблица ( с точностью до 1′) здесь.

Углы 0°,30°,45°,60°,90°,180°,270°,360°,(π/6,π/4,π/3,π/2,π,3π/2,2π).

Синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы. Таблица значений тригонометрических функций

Углы 0°,30°,45°,60°,90°,180°,270°,360°,(π/6,π/4,π/3,π/2,π,3π/2,2π). Синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы. Таблица значений тригонометрических функций.

Таблица тангенсов

Таблица тангенсов
– это записанные в таблицу посчитанные значения тангенсов углов от 0° до 360°. Используя таблицу тангенсов Вы сможете провести расчеты даже если под руками не окажется инженерного калькулятора. Чтобы узнать значение тангенса от нужного Вам угла достаточно найти его в таблице.

Калькулятор – тангенс угла

Калькулятор – арктангенс угла

Таблица тангенсов в радианах

Таблица тангенсов углов от 0° до 180°

Таблица тангенсов углов от 181° до 360°

Запросы «sin» и «синус» перенаправляются сюда; у терминов sin
и синус
есть также другие значения.

Запрос «sec» перенаправляется сюда; см. также другие значения
.

ТАНГЕНСОМ ОСТРОГО УГЛА ПРЯМОУГОЛЬНИКА НАЗЫВАЕТСЯ ОТНОШЕНИЕ ПРИЛЕЖАЩЕГО КАТЕТА К ОСИ ТРЕУГОЛЬНИКА
Рис. 1.

Графики тригонометрических функций: , , , , ,

Раздел математики, изучающий свойства тригонометрических функций, называется тригонометрией
.

К тригонометрическим функциям традиционно причисляют:

прямые тригонометрические функции:
производные тригонометрические функции:
обратные тригонометрические функции
:
  • арксинус, арккосинус и т. д.

Кроме этих шести широко известных тригонометрических функций, иногда в литературе используются некоторые редко используемые тригонометрические функции
( версинус
и т. д.).

Синус и косинус вещественного аргумента представляют собой периодические, непрерывные
и бесконечно дифференцируемые
вещественнозначные функции. Остальные четыре функции на вещественной оси также вещественнозначны, периодичны и бесконечно дифференцируемы, за исключением счётного
числа разрывов второго рода
: у тангенса и секанса в точках



, а у котангенса и косеканса — в точках



.

Графики тригонометрических функций показаны на рис. 1
.



Определение для любых углов

ТАНГЕНСОМ ОСТРОГО УГЛА ПРЯМОУГОЛЬНИКА НАЗЫВАЕТСЯ ОТНОШЕНИЕ ПРИЛЕЖАЩЕГО КАТЕТА К ОСИ ТРЕУГОЛЬНИКА
Рис. 2.

Определение тригонометрических функций
ТАНГЕНСОМ ОСТРОГО УГЛА ПРЯМОУГОЛЬНИКА НАЗЫВАЕТСЯ ОТНОШЕНИЕ ПРИЛЕЖАЩЕГО КАТЕТА К ОСИ ТРЕУГОЛЬНИКА
Рис. 3.

Численные значения тригонометрических функций угла



в тригонометрической окружности
с радиусом, равным единице

Синусом
угла



называется ордината
точки



единичной окружности, где



получается поворотом



на угол



в положительном направлении (против часовой стрелки), если 0″>



, и в отрицательном (по часовой стрелке), если <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e9d48dc3d4d98b4c949bf36f18559a74bc3d87b" aria-hidden="true" alt="{\displaystyle \alpha



.

Косинусом
угла



называется абсцисса
точки



единичной окружности, где



получается поворотом



на угол



в положительном направлении (против часовой стрелки), если 0″>



, и в отрицательном (по часовой стрелке), если <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e9d48dc3d4d98b4c949bf36f18559a74bc3d87b" aria-hidden="true" alt="{\displaystyle \alpha



.

Тангенсом
угла



называется отношение ординаты точки



единичной окружности к её абсциссе, причём точка



не принадлежит оси ординат
.

Таким образом, определения тригонометрических функций выглядят следующим образом:

Нетрудно видеть, что такое определение также основывается на отношениях прямоугольного треугольника, с тем отличием, что учитывается знак (



). Поэтому тригонометрические функции можно определить и по окружности произвольного радиуса



, однако формулы придётся нормировать. На рисунке 3
показаны величины тригонометрических функций для единичной окружности
.

В тригонометрии удобным оказывается вести счёт углов не в градусной мере, а в радианной
. Так, угол в



запишется длиной единичной окружности



. Угол в



равен, соответственно



и так далее. Заметим, что угол на



отличающийся от



по рисунку эквивалентен



, вследствие чего заключим, что тригонометрические функции периодичны.

Наконец, определим тригонометрические функции вещественного числа




тригонометрическими функциями угла, радианная
мера которого равна



.


Определение для острых углов

ТАНГЕНСОМ ОСТРОГО УГЛА ПРЯМОУГОЛЬНИКА НАЗЫВАЕТСЯ ОТНОШЕНИЕ ПРИЛЕЖАЩЕГО КАТЕТА К ОСИ ТРЕУГОЛЬНИКА
Рис. 4.

Тригонометрические функции острого угла
ТАНГЕНСОМ ОСТРОГО УГЛА ПРЯМОУГОЛЬНИКА НАЗЫВАЕТСЯ ОТНОШЕНИЕ ПРИЛЕЖАЩЕГО КАТЕТА К ОСИ ТРЕУГОЛЬНИКА
Определение тангенса. Марка СССР 1961 года

Данное определение имеет некоторое методическое преимущество, так как не требует введения понятия системы координат, но также и такой крупный недостаток, что невозможно определить тригонометрические функции даже для тупых углов, которые необходимо знать при решении элементарных задач о тупоугольных треугольниках. ( См.: теорема синусов
, теорема косинусов
).


Определение как решений дифференциальных уравнений

Синус и косинус можно определить как единственные функции, вторые производные
которых равны самим функциям, взятым со знаком минус:







То есть задать их как чётное
(косинус) и нечётное
(синус) решения дифференциального уравнения




с дополнительными условиями:




для косинуса и



для синуса.


Определение как решений функциональных уравнений



при дополнительных условиях:









и <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aff8bc664549f15a3e51dae36fc163d997dc9223" aria-hidden="true" alt="{\displaystyle 0<g(x)



при <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43638a11d1b40b3df18c0c039a05e3c83b61ea47" aria-hidden="true" alt="0<x



.


Определение через ряды

Используя геометрию и свойства пределов, можно доказать, что производная синуса равна косинусу, и что производная косинуса равна минус синусу. Тогда можно воспользоваться теорией рядов Тейлора
и представить синус и косинус в виде степенны́х рядов:







Пользуясь этими формулами, а также равенствами











и



можно найти разложения в ряд и других тригонометрических функций:

<img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82b409ed523080934c3941d53691ed06d4e27f5d" aria-hidden="true" alt="{\operatorname{tg}\,x=x+\frac{1}{3}\,x^3 + \frac{2}{15}\,x^5 + \frac{17}{315}\,x^7 + \frac{62}{2835}\,x^9 + \cdots = \sum_{n=1}^\infty\frac{2^{2n}(2^{2n}-1)|B_{2n}|}{(2n)!}x^{2n-1} \quad \left(-\frac{\pi}{2}<x


<img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53a0e405ece3e07bb89131b22b5fa826ce6fffde" aria-hidden="true" alt="{\operatorname{ctg}\,x = \frac{1}{x} – \frac{x}{3} – \frac{x^3}{45} – \frac{2x^5}{945} – \frac{x^7}{4725} – \cdots = \frac{1}{x} – \sum_{n=1}^\infty \frac{2^{2n}|B_{2n}|}{(2n)!}\,x^{2n-1} \quad \left(-\pi < x


<img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d013aa804307889e4f1b9be46c15f68a72c6741d" aria-hidden="true" alt="{\sec x=1+\frac{1}{2}\,x^2+\frac{5}{24}\,x^4+\frac{61}{720}\,x^6+\frac{277}{8064}\,x^8+\cdots = \sum_{n=0}^\infty\frac{|E_{n}|}{(2n)!}\,x^{2n}, \quad \left(-\frac{\pi}{2} < x


<img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a6b3366f6c21a84595210f91cb9217e3ebad6c7" aria-hidden="true" alt="\operatorname{cosec} x = \frac{1}{x} + \frac{1}{6}\,x + \frac{7}{360}\,x^3 + \frac{31}{15120}\,x^5 + \frac{127}{604800}\,x^7 + \cdots = \frac{1}{x} + \sum_{n=1}^\infty \frac{2(2^{2n-1}-1) |B_{2n}|}{(2n)!}\,x^{2n-1} \quad \left(-\pi < x






 — числа Бернулли
,




 — числа Эйлера
.

Значения тригонометрических функций для некоторых углов

Значения синуса, косинуса, тангенса, котангенса, секанса и косеканса для некоторых углов приведены в таблице. («



» означает, что функция в указанной точке не определена, а в её окрестности стремится к бесконечности
).

ТАНГЕНСОМ ОСТРОГО УГЛА ПРЯМОУГОЛЬНИКА НАЗЫВАЕТСЯ ОТНОШЕНИЕ ПРИЛЕЖАЩЕГО КАТЕТА К ОСИ ТРЕУГОЛЬНИКА
Значения косинуса и синуса на окружности


Значения тригонометрических функций нестандартных углов

Значения тригонометрических функций для некоторых других углов

Свойства тригонометрических функций


Поскольку синус и косинус являются соответственно ординатой и абсциссой точки, соответствующей на единичной окружности углу , то согласно уравнению единичной окружности (



) или теореме Пифагора
имеем для любого



:




Это соотношение называется основным тригонометрическим тождеством

.

Разделив это уравнение на квадрат косинуса и синуса соответственно, получим:







Из определения тангенса и котангенса следует, что




Любую тригонометрическую функцию можно выразить через любую другую тригонометрическую функцию с тем же аргументом (с точностью до знака из-за неоднозначности раскрытия квадратного корня). Нижеприведённые формулы верны для <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43638a11d1b40b3df18c0c039a05e3c83b61ea47" aria-hidden="true" alt="{\displaystyle 0<x



:



Косинус и секанс — чётные
. Остальные четыре функции — нечётные
, то есть:




















Функции



 — периодические
с периодом



, функции



и



 — c периодом



.


Формулами приведения называются формулы следующего вида:













Здесь



 — любая тригонометрическая функция,



 — соответствующая ей кофункция (то есть косинус для синуса, синус для косинуса, тангенс для котангенса, котангенс для тангенса, секанс для косеканса и косеканс для секанса),



 — целое число
. Перед полученной функцией ставится тот знак, который имеет исходная функция в заданной координатной четверти при условии, что угол



острый, например:





или что то же самое:


Некоторые формулы приведения:

Интересующие формулы приведения так же могут легко быть получены рассмотрением функций на единичной окружности.


Формулы сложения и вычитания

Значения тригонометрических функций суммы и разности двух углов:













Аналогичные формулы для суммы трёх углов:








Формулы для кратных углов

Формулы двойного угла:













Формулы тройного угла:













Прочие формулы для кратных углов:





























следует из формулы дополнения и формулы Гаусса для гамма-функции
.

Из формулы Муавра
можно получить следующие общие выражения для кратных углов:













где



  — целая часть
числа



,



  — биномиальный коэффициент
.

Формулы половинного угла:













<img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc12310fbd91bf786f64e7c00a48c7147eb6da7a" aria-hidden="true" alt="\operatorname{tg}\,\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}},\quad 0 \leqslant \alpha


<img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e563dd0df5f8ad87b123a24cffb20fa499c22635" aria-hidden="true" alt="\operatorname{ctg}\,\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{1-\cos\alpha}},\quad 0



Формулы для произведений функций двух углов:



















Аналогичные формулы для произведений синусов и косинусов трёх углов:













Формулы для произведений тангенсов и котангенсов трёх углов можно получить, поделив правые и левые части соответствующих равенств, представленных выше.


















ТАНГЕНСОМ ОСТРОГО УГЛА ПРЯМОУГОЛЬНИКА НАЗЫВАЕТСЯ ОТНОШЕНИЕ ПРИЛЕЖАЩЕГО КАТЕТА К ОСИ ТРЕУГОЛЬНИКА





Иллюстрация равенства







<img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43638a11d1b40b3df18c0c039a05e3c83b61ea47" aria-hidden="true" alt="{\displaystyle 0<x








где угол

находится из соотношений:






Универсальная тригонометрическая подстановка

Все тригонометрические функции можно выразить через тангенс половинного угла:










Исследование функций в математическом анализе



Разложение в бесконечные произведения

Тригонометрические функции могут

быть представлены
в виде
бесконечного произведения

многочленов:




Эти соотношения выполняются при любом значении


.



Разложение тангенса в непрерывную дробь
:






Производные и первообразные

Все тригонометрические функции непрерывно и неограниченно дифференцируемы на всей области определения:







Тригонометрические функции комплексного аргумента




Формула Эйлера позволяет определить тригонометрические функции от

комплексных аргументов

через

экспоненту

по аналогии с

гиперболическими функциями
, или (с помощью
рядов
) как
аналитическое продолжение

их вещественных аналогов:










где

Соответственно, для вещественного

x

:



Комплексные синус и косинус тесно связаны с

гиперболическими функциями

:




Большинство перечисленных выше свойств тригонометрических функций сохраняются и в комплексном случае Некоторые дополнительные свойства:

  • комплексные синус и косинус, в отличие от вещественных, могут принимать сколь угодно большие по модулю значения;
  • все нули комплексных синуса и косинуса лежат на вещественной оси.


На следующих графиках изображена комплексная плоскость, а значения функций выделены цветом. Яркость отражает абсолютное значение (чёрный — ноль). Цвет изменяется от аргумента и угла согласно карте
.


Линия синуса
(линия



на рис. 2
) у индийских математиков первоначально называлась «арха-джива» («полутетива», то есть половина хорды
данной дуги, поскольку дуга с хордой напоминает лук с тетивой
). Затем слово «арха» было отброшено и линию синуса стали называть просто «джива». Арабские математики, переводя индийские книги с санскрита
, не перевели слово «джива» арабским словом «ватар», обозначающим тетиву
и хорду, а транскрибировали его арабскими буквами и стали называть линию синуса «джиба» (‎). Так как в арабском языке
краткие гласные не обозначаются, а долгое «и» в слове «джиба» обозначается так же, как полугласная «й», арабы стали произносить название линии синуса как «джайб», что буквально обозначает «впадина», «пазуха». При переводе арабских сочинений на латынь
европейские переводчики перевели слово «джайб» латинским словом  — « синус
», имеющим то же значение (именно в этом значении оно применяется как анатомический термин синус

). Термин « косинус
» ( лат.
 ) — это сокращение от лат.
  — дополнительный
синус.

Современные краткие обозначения



,



введены Уильямом Отредом
и Бонавентурой Кавальери
и закреплены в трудах Леонарда Эйлера
.

Термины « тангенс
» ( лат.
  — касающийся) и « секанс
» ( лат.
  — секущий) были введены датским математиком Томасом Финке
в его книге « Геометрия круглого
» (Geometria rotundi, 1583). Сам термин тригонометрические функции
введён Клюгелем
в 1770 году. В XVIII веке Ж. Лагранжем
и другими математиками были введены и термины для обратных тригонометрических функций
 — арксинус
, арккосинус
, арктангенс
, арккотангенс
, арксеканс
, арккосеканс
 — с помощью добавления приставки « арк
» (от лат.
  — дуга).


  • Гиперболические функции
  • Интегральный синус
  • Интегральный косинус
  • Интегральный секанс
  • Обратные тригонометрические функции
  • Редко используемые тригонометрические функции
  • Решение треугольников
  • Синус-верзус
  • Сферическая тригонометрия
  • Тригонометрические тождества
  • Тригонометрические функции от матрицы
  • Тригонометрический ряд Фурье
  • Функция Гудермана
  • Четырёхзначные математические таблицы
    ( Таблицы Брадиса
    )
  • Эллиптические функции

Бермант А. Ф., Люстерник Л. А.
Тригонометрия. — М.: Наука, 1967.

Тригонометрические функции
— статья из
Большой советской энциклопедии

.  — М.:

Советская энциклопедия

, 1977. — Т. 26. — С. 204—206.

Бронштейн И. Н.
,
Семендяев К. А.

// Справочник по математике
. — Изд. 7-е, стереотипное. —
М.

: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1967. — С. 179—184.


Выгодский М. Я.


Справочник по элементарной математике
. — М.
: Наука, 1978.

  • Двайт Г. Б.
    // Таблицы интегралов и другие математические формулы. — 4-е изд. — М.
    : Наука, 1973. — С. 70—102.
  • Кожеуров П. А
    . Тригонометрия. — М.: Физматгиз, 1963.
  • Маркушевич А. И
    . Замечательные синусы. — М.: Наука, 1974.
  • Математическая энциклопедия
    / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: Советская энциклопедия, 1984. — И. М. Виноградов.
    // Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. — 1977—1985.
  • Тригонометрические функции // Энциклопедический словарь юного математика / Ред. коллегия, Гнеденко Б. В
    . (гл. ред.), Савин А. П
    . и др. — М.: Педагогика
    , 1985 (1989). — С. 299—301—305. — 352 с., ил. — ISBN 5-7155-0218-7
    (С. 342
    , 343
     — таблицы тригонометрических функций 0°-90°, в том числе в радианах)
  • Тригонометрические функции // Справочник по математике (для ср. уч. заведений) / Цыпкин А. Г., под ред. Степанова С. А. — 3-е изд. — М.: Наука, Гл. редакция физ.-мат. литературы, 1983. — С. 240—258. — 480 с.

    • GonioLab
       — прояснённая единичная окружность, тригонометрические и гиперболические функции (Java Web Start)
    • Weisstein, Eric W.
      Trigonometric Functions
        (англ.)
      на сайте Wolfram MathWorld
      .
    • Онлайн калькулятор: вычисление значений тригонометрических функций (в том числе нахождение углов треугольника по сторонам)
    • Интерактивная карта значений тригонометрических функций
    • Тригонометрические таблицы (0° — 360°)
    • «Синус и косинус — это проценты»
       — перевод статьи How To Learn Trigonometry Intuitively | BetterExplained
        (англ.)


    1. Справочник: Корн Г., Корн Т.
      Справочник по математике (для научных работников и инженеров)
      . — М.
      : Наука, 1973. — 720 с.

      Архивная копия
      от 19 января 2015 на Wayback Machine
      относит их к специальным функциям
      .

    2. Знак математический. // Большая советская энциклопедия
      . 1-е изд. Т. 27. — М., 1933.

    3. Справочник по элементарной математике, 1978
      , с. 282—284.

    4. Справочник по элементарной математике, 1978
      , с. 271—272.

    5. . Дата обращения: 9 апреля 2023.

    6. Ильин В. А.
      , Позняк Э. Г.

      Основы математического анализа. Ч. 1. — М.
      : Наука
      , 1998. — ISBN 5-02-015231-5
      .

    7. В формулах, содержащих логарифм в правой части равенств, константы интегрирования



      , вообще говоря, различны для различных интервалов непрерывности.

    Тригонометрия для углов от 0 до 180 градусов. Внешний угол треугольника. Теорема косинусов.

    Мы знаем, что такое синус, косинус, тангенс и котангенс острого угла прямоугольного треугольника. Давайте повторим:

    ТАНГЕНСОМ ОСТРОГО УГЛА ПРЯМОУГОЛЬНИКА НАЗЫВАЕТСЯ ОТНОШЕНИЕ ПРИЛЕЖАЩЕГО КАТЕТА К ОСИ ТРЕУГОЛЬНИКА

    Синус
      острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к гипотенузе:

    sinA=\frac{a}{c}

    Косинус
     острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение прилежащего катета к гипотенузе:

    cosA=\frac{b}{c}

    Тангенс
     острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к прилежащему:

    tgA=\frac{a}{b}

    Другое (равносильное) определение: тангенсом острого угла называется отношение синуса угла к его косинусу:

    Котангенс
     острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение прилежащего катета к противолежащему (или, что то же самое, отношение косинуса к синусу):

    В прямоугольном треугольнике выполняются соотношения:

    1+tg^{2}\alpha=\frac{1}{cos^2\alpha}

    Мы определили синус, косинус, тангенс и котангенс для острого угла. Но ведь углы бывают не только острые. Еще прямой угол, тупой, развернутый. 

    Оказывается, и для них можно определить синус, косинус, тангенс и котангенс.

    В этой теме мы определим, что такой синус, косинус и тангенс для углов от 0 до 180 градусов.

    Возьмем прямой угол, 90 градусов. Запишем, чему равны его синус и косинус.

    Тангенс 90 градусов не существует, потому что tg90^{\circ}=sin90^{\circ}:cos90^{\circ}
    , а на 0 делить нельзя.

    Можно рассмотреть также угол в 0 градусов. Конечно, в треугольнике такого угла быть не может. А в алгебре мы можем его встретить.

    А вот котангенс для 0 градусов не определен, потому что sin0^{\circ}=0
    , а на 0 делить нельзя.

    Теперь развернутый угол, 180 градусов. Для этого угла:

    А котангенс для 180 градусов не определен, потому что на 0 делить нельзя.

    Как все это запомнить? Можно нарисовать табличку, но удобнее пользоваться рисунком, на котором изображена единичная полуокружность.

    Нарисуем полуокружность в нашей системе координат (Х; Y), в которой мы рисовали параболы и прямые.

    Центр полуокружности в начале координат, а радиус равен 1.

    ТАНГЕНСОМ ОСТРОГО УГЛА ПРЯМОУГОЛЬНИКА НАЗЫВАЕТСЯ ОТНОШЕНИЕ ПРИЛЕЖАЩЕГО КАТЕТА К ОСИ ТРЕУГОЛЬНИКА

    Мы отсчитываем углы от положительного направления оси OX
     против часовой стрелки.

    Точка с координатами (1; 0) соответствует углу в ноль градусов. Это самая правая точка полуокружности.

    Точка с координатами (0; 1)  соответствует углу в 90 градусов. Это самая верхняя точка полуокружности.

    Точка с координатами (-1; 0) отвечает углу в 180°. Это самая левая точка полуокружности.

    Каждому углу от нуля до 180 градусов соответствует точка на единичной полуокружности.

    Косинусом угла
    \alpha
    называется абсцисса (то есть координата по оси OX
    ) точки на единичной полуокружности, соответствующей данному углу \alpha
    .

    Синусом угла
    \alpha
     называется ордината (то есть координата по оси OY
    ) точки на единичной полуокружности, соответствующей данному углу \alpha
    .

    Для каждого угла от 0 до 180 градусов мы можем определить синус и косинус.

    Чтобы найти синус угла от 0 до 180 градусов, отмечаем его на единичной полуокружности. И смотрим, чему равна ордината (координата по вертикали) соответствующей точки.

    Обратим внимание – определение синуса и косинуса как отношений противолежащего (или прилежащего) катета к гипотенузе – это частный случай для углов от нуля до 90 градусов.

    И синус, и косинус не могут быть больше 1. Потому что это координаты точек на единичной полуокружности. Самая большая абсцисса точки на единичной полуокружности равна 1 (крайняя правая точка), а самая маленькая -1 (крайняя левая точка).

    Например, мы хотим найти синус и косинус 30 градусов.

    ТАНГЕНСОМ ОСТРОГО УГЛА ПРЯМОУГОЛЬНИКА НАЗЫВАЕТСЯ ОТНОШЕНИЕ ПРИЛЕЖАЩЕГО КАТЕТА К ОСИ ТРЕУГОЛЬНИКА

    Находим на единичной полуокружности точку, соответствующую углу в 30 градусов. 

    Абсцисса этой точки – это косинус 30 градусов.

    А ордината этой точки – синус 30 градусов.

    Вот так для любого угла от 0 до 180˚ находим синус и косинус. А поделив синус на косинус, находим тангенс. Конечно, если косинус не равен нулю.

    Обратите внимание, что для углов от 0 до 90 градусов и синус, и косинус, и тангенс, и котангенс положительны. А для углов от 90 до 180 градусов синус положителен, а косинус, тангенс и котангенс отрицательны.

    cos150^{\circ}=-\frac{\sqrt{3}}{2}

    ТАНГЕНСОМ ОСТРОГО УГЛА ПРЯМОУГОЛЬНИКА НАЗЫВАЕТСЯ ОТНОШЕНИЕ ПРИЛЕЖАЩЕГО КАТЕТА К ОСИ ТРЕУГОЛЬНИКА

    Смотрите: у углов 30˚ и 150˚ синусы равны, а косинусы равны по модулю и противоположны по знаку. И это не случайно. Это потому, что 30˚+ 150˚=180˚.

    Для углов \alpha
    и 180^{\circ}-\alpha
      верны равенства:

    В курсе тригонометрии 10-11 класса мы будем говорить о синусе и косинусе произвольного угла, то есть любого. И тогда мы дорисуем нашу полуокружность до тригонометрического круга. А пока – перейдем к примерам ОГЭ.

    1. Найдите косинус 120 градусов.

    Находим на единичной полуокружности угол 120˚. Его косинус равен  (-\frac{1}{2})
    .

    2. Найдите тангенс угла \alpha = 135^{\circ}
    .

    Решение: Находим угол \alpha = 135^{\circ}
    на единичной полуокружности. Его синус равен \frac{\sqrt{2}}{2}
    , а косинус равен -\frac{\sqrt{2}}{2}
    . Поделим эти числа друг на друга:

    \frac{\sqrt{2}}{2}:(- \frac{\sqrt{2}}{2})= -1.

    Благодарим за то, что пользуйтесь нашими публикациями.
    Информация на странице «Тригонометрия для углов от 0 до 180 градусов.» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
    Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
    Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.

    Публикация обновлена:

    26.09.2023

    Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника

    Изучение тригонометрии мы начнем с прямоугольного треугольника. Определим, что такое синус и косинус, а также тангенс и котангенс острого угла. Это основы тригонометрии.

    Напомним, что прямой угол
    — это угол, равный 90 градусов. Другими словами, половина развернутого угла.

    Острый угол
    — меньший 90 градусов.

    Тупой угол
    — больший 90 градусов. Применительно к такому углу «тупой» — не оскорбление, а математический термин 🙂

    Развёрнутый, прямой, острый и тупой углы

    Нарисуем прямоугольный треугольник. Прямой угол обычно обозначается C. Обратим внимание, что сторона, лежащая напротив угла, обозначается той же буквой, только маленькой. Так, сторона, лежащая напротив угла A, обозначается a



    .

    Угол A обозначается соответствующей греческой буквой \alpha



    .

    Гипотенуза и катеты

    Гипотенуза
    прямоугольного треугольника — это сторона, лежащая напротив прямого угла.

    Катеты
    — стороны, лежащие напротив острых углов.

    Катет a



    , лежащий напротив угла \alpha



    , называется противолежащим
    (по отношению к углу \alpha



    ). Другой катет b



    , который лежит на одной из сторон угла \alpha



    , называется прилежащим
    .

    Синус
    острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к гипотенузе:

    Косинус
    острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение прилежащего катета к гипотенузе:

    Тангенс
    острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение противолежащего катета к прилежащему:

    Другое (равносильное) определение: тангенсом острого угла называется отношение синуса угла к его косинусу:

    Котангенс
    острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение прилежащего катета к противолежащему (или, что то же самое, отношение косинуса к синусу):

    Обратите внимание на основные формулы для синуса, косинуса, тангенса и котангенса, которые приведены ниже. Они пригодятся нам при решении задач.

    ТАНГЕНСОМ ОСТРОГО УГЛА ПРЯМОУГОЛЬНИКА НАЗЫВАЕТСЯ ОТНОШЕНИЕ ПРИЛЕЖАЩЕГО КАТЕТА К ОСИ ТРЕУГОЛЬНИКА

    Давайте докажем некоторые из них.

    1. Сумма углов любого треугольника равна 180^{\circ}



      . Значит, сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равнa
      90^{\circ}



      .
    2. С одной стороны, \sin A =\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle a}{\displaystyle c}



      как отношение противолежащего катета к гипотенузе. С другой стороны, \cos B =\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle a}{\displaystyle c}



      , поскольку для угла \beta



      катет а
      будет прилежащим. Получаем, что \cos \beta =\sin \alpha



      . Иными словами, \cos \left( 90^{\circ}-A \right) = \sin A



      .
    3. Возьмем теорему Пифагора: a^2+b^2=c^2



      . Поделим обе части на c^2,
      получаем \displaystyle \left ( \frac{a}{c} \right )^2+\left ( \frac{b}{c} \right )^2=\left ( \frac{c}{c} \right )^2 ,
      то есть \sin ^2 A+\cos^2 A=1.

      Мы получили основное тригонометрическое тождество
      .

    4. Поделив обе части основного тригонометрического тождества на \cos^2 A



      , получим: 1+tg ^2 A = \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle \cos ^2 A }.



      Это значит, что если нам дан тангенс острого угла \alpha



      , то мы сразу можем найти его косинус. Аналогично, 1+ctg ^2 A =\genfrac{}{}{}{0}{1}{\sin ^2 A }.


    Хорошо, мы дали определения и записали формулы. А для чего все-таки нужны синус, косинус, тангенс и котангенс?

    Мы знаем, что сумма углов любого треугольника равна 180^{\circ}




    .

    Знаем соотношение между сторонами
    прямоугольного треугольника. Это теорема Пифагора: a^2+b^2=c^2



    .

    Получается, что зная два угла в треугольнике, можно найти третий. Зная две стороны в прямоугольном треугольнике, можно найти третью. Значит, для углов — свое соотношение, для сторон — свое. А что делать, если в прямоугольном треугольнике известен один угол (кроме прямого) и одна сторона, а найти надо другие стороны?

    ТАНГЕНСОМ ОСТРОГО УГЛА ПРЯМОУГОЛЬНИКА НАЗЫВАЕТСЯ ОТНОШЕНИЕ ПРИЛЕЖАЩЕГО КАТЕТА К ОСИ ТРЕУГОЛЬНИКА

    С этим и столкнулись люди в прошлом, составляя карты местности и звездного неба. Ведь не всегда можно непосредственно измерить все стороны треугольника.

    Синус, косинус и тангенс — их еще называют тригонометрическими функциями угла
    — дают соотношения между сторонами
    и углами
    треугольника. Зная угол, можно найти все его тригонометрические функции по специальным таблицам. А зная синусы, косинусы и тангенсы углов треугольника и одну из его сторон, можно найти остальные.

    Мы тоже нарисуем таблицу значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса для «хороших» углов от 0^{\circ}



    до 90^{\circ}



    .

    Обратите внимание на два прочерка в таблице. При соответствующих значениях углов тангенс и котангенс не существуют.

    Если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то синусы этих углов равны, косинусы этих углов равны и тангенсы этих углов равны.

    В самом деле, пусть АВС и A_1B_1C_1
    — два прямоугольных треугольника с прямыми углами С и C_1
    и равными острыми углами А и A_1.

    ТАНГЕНСОМ ОСТРОГО УГЛА ПРЯМОУГОЛЬНИКА НАЗЫВАЕТСЯ ОТНОШЕНИЕ ПРИЛЕЖАЩЕГО КАТЕТА К ОСИ ТРЕУГОЛЬНИКА

    Треугольники АВС и A_1B_1C_1
    подобны по первому признаку подобия треугольников, поэтому \displaystyle \frac{AB}{A_1 B_1}=\frac{BC}{B_1 C_1}=\frac{AC}{A_1 C_1 } .

    Из этих равенств следует, что \displaystyle \frac{BC}{AB}=\frac{B_1 C_1}{A_1 B_1} ,
    т. е. sin А = sin A_1.

    Аналогично, \displaystyle \frac{AC}{AB}=\frac{A_1C_1}{A_1 B_1},
    т. е. cos А = cos A_1,
    и \displaystyle \frac{BC}{AC}=\frac{B_1C_1}{A_1 C_1},
    т. е. tg A = tg A_1.

    Это значит, что синус, косинус и тангенс зависят только от величины угла.

    Разберем несколько задач по тригонометрии из Банка заданий ФИПИ.


    В треугольнике ABC угол C равен 90^{\circ}



    , sin A = 0,1. Найдите cos B.

    Задача решается за четыре секунды.

    Поскольку A+B = 90^{\circ}



    , sin A = cos B = 0,1
    .


    В треугольнике ABC



    угол C



    равен 90^{\circ}



    , AB=5



    , \sin A = \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 7}{\displaystyle 25}



    .

    ТАНГЕНСОМ ОСТРОГО УГЛА ПРЯМОУГОЛЬНИКА НАЗЫВАЕТСЯ ОТНОШЕНИЕ ПРИЛЕЖАЩЕГО КАТЕТА К ОСИ ТРЕУГОЛЬНИКА

    \sin A = \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle a}{\displaystyle c} = \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle BC}{\displaystyle AB} = \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 7}{\displaystyle 25}.

    BC= \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 7}{\displaystyle 25} \cdot AB = \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 7}{\displaystyle 5}.

    Найдем AC по теореме Пифагора.

    AC=\sqrt{AB^2-BC^2} = \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 24}{\displaystyle 5} = 4,8.

    Задача 3.
    В треугольнике АВС угол С равен 90^\circ ,
    AВ = 13, ВС = 5. Найдите косинус и тангенс острого угла А. Ответ округлите до сотых.

    ТАНГЕНСОМ ОСТРОГО УГЛА ПРЯМОУГОЛЬНИКА НАЗЫВАЕТСЯ ОТНОШЕНИЕ ПРИЛЕЖАЩЕГО КАТЕТА К ОСИ ТРЕУГОЛЬНИКА

    Для угла А противолежащий катет – это ВС,

    АВ является гипотенузой треугольника, лежит против \angle C.
    Значит, sin A \displaystyle = \frac{BC}{AB}= \frac{5}{13}.

    Катет, прилежащий к \angle A
    – это катет АС, следовательно, cos⁡ А \displaystyle = \frac{AC}{AB}=\frac{AC}{13}.

    Длину катета АС найдем по теореме Пифагора: AC^2+BC^2=AB^2.

    Ответ: 0,92; 0,42.

    Заметим, что если катеты прямоугольного треугольника равны 5 и 12, то гипотенуза равна 13. Это одна из так называемых Пифагоровых троек. О них мы расскажем в других статьях сайта.

    Задача 4.
    В треугольнике АВС угол С равен 90^\circ ,
    AC = 2, sin A= \displaystyle \frac{\sqrt{17}}{17} .

    ТАНГЕНСОМ ОСТРОГО УГЛА ПРЯМОУГОЛЬНИКА НАЗЫВАЕТСЯ ОТНОШЕНИЕ ПРИЛЕЖАЩЕГО КАТЕТА К ОСИ ТРЕУГОЛЬНИКА

    AC = b = 2, BC = a, AB = c.

    Так как sin A \displaystyle = \frac{a}{c} = \frac{BC}{AB} = \frac{\sqrt{17}}{17},
    \displaystyle \frac{a}{c} = \frac{\sqrt{17}}{17} ,
    \displaystyle c = \frac{17a}{\sqrt{17}}=\sqrt{17}a.

    По теореме Пифагора a^2+b^2=c^2,
    получим

    a^2+2^2=(\sqrt{17} a)^2;

    a^2+4=17a^2;

    16a^2=4,


    \displaystyle a= \frac{1}{2}=0,5;

    BC = 0,5.

    Задача 5.
    В треугольнике АВС угол С равен 90^\circ ,
    AC = 4,
    tg A = \displaystyle \frac{33}{4\sqrt{33}} .
    Найдите AB.

    ТАНГЕНСОМ ОСТРОГО УГЛА ПРЯМОУГОЛЬНИКА НАЗЫВАЕТСЯ ОТНОШЕНИЕ ПРИЛЕЖАЩЕГО КАТЕТА К ОСИ ТРЕУГОЛЬНИКА

    AC = b = 4, tg A \displaystyle = \frac{a}{b}=\frac{33}{4\sqrt{33}},

    \displaystyle \frac{a}{4}=\frac{33}{4\sqrt{33}},


    \displaystyle a=\frac{4 \cdot 33}{4 \cdot \sqrt{33}}=\sqrt{33},

    AB = c = \sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{(\sqrt{33})^2+4^2}=\sqrt{33+16} =7.

    В треугольнике АВС угол С равен 90^ \circ,
    CH – высота, AB = 13, tg A = \displaystyle \frac{1}{5} .
    Найдите AH.

    ТАНГЕНСОМ ОСТРОГО УГЛА ПРЯМОУГОЛЬНИКА НАЗЫВАЕТСЯ ОТНОШЕНИЕ ПРИЛЕЖАЩЕГО КАТЕТА К ОСИ ТРЕУГОЛЬНИКА

    AВ = с = 13, tg A = \displaystyle \frac{a}{b}=\frac{1}{5} ,
    тогда b = 5a.

    По теореме Пифагора \triangle
    ABC: a^2+b^2=c^2,

    a^2+(5a)^2=13^2,

    26 a^2=169,

    \triangle AHC \approx \triangle ACB
    (по двум углам), следовательно \displaystyle \frac{AH}{AC}=\frac{AC}{AB} ,
    откуда

    \displaystyle AH = \frac{AC^2}{AB}=\frac{b^2}{c}=\left ( \frac{65}{\sqrt{26}}\right )^2:13=12,5.

    Задача 7.
    В треугольнике АВС угол С равен 90^\circ,

    CH – высота, BC = 3, sin A = \displaystyle \frac{1}{6} .

    ТАНГЕНСОМ ОСТРОГО УГЛА ПРЯМОУГОЛЬНИКА НАЗЫВАЕТСЯ ОТНОШЕНИЕ ПРИЛЕЖАЩЕГО КАТЕТА К ОСИ ТРЕУГОЛЬНИКА

    Так как sin A = \displaystyle \frac{a}{c} = \frac{BC}{AB} = \frac{1}{6},
    тогда \displaystyle \frac{3}{c} = \frac{1}{6} ,
    c = АВ = 18.

    sin A = \displaystyle \frac{a}{c}
    = cos⁡ B = \displaystyle \frac{1}{6} .

    {cos B=\ \ }\displaystyle \frac{BH}{BC}
    = \displaystyle \frac{1}{6}\ ,
    получим \displaystyle \frac{BH}{3}=\displaystyle \frac{1}{6},

    тогда BH = \displaystyle \frac{3}{6}=\displaystyle \frac{1}{2}
    = 0,5,

    AH = AB – BH = 18 – 0,5 = 17,5.

    Задача 8.
    В треугольнике АВС угол С равен 90 {}^\circ,
    CH — высота, BC = 3, cos A = \displaystyle \frac{\sqrt{35}}{6}.

    ТАНГЕНСОМ ОСТРОГО УГЛА ПРЯМОУГОЛЬНИКА НАЗЫВАЕТСЯ ОТНОШЕНИЕ ПРИЛЕЖАЩЕГО КАТЕТА К ОСИ ТРЕУГОЛЬНИКА

    Так как для \triangle
    АВС: cos
    A = \displaystyle \frac{AC}{AB}=\
    sin В = \displaystyle \frac{\sqrt{35}}{6},

    а для \triangle
    ВНС: sin В = \displaystyle \frac{CH}{BC}\
    = \displaystyle \frac{\sqrt{35}}{6}
    , откуда СН = \displaystyle \frac{BC \cdot \ \sqrt{35}}{6}=\displaystyle \frac{3\ \cdot \sqrt{35}}{6}=\displaystyle \frac{\sqrt{35}}{2},

    По теореме Пифагора найдем ВН:

    BH = \sqrt{{BC}^2-{CH}^2}=\sqrt{3^2-{\left(\displaystyle \frac{\sqrt{35}}{2}\right)}^2}=

    =\sqrt{9-\displaystyle \frac{35}{4}}=\sqrt{\displaystyle \frac{1}{4}}=\displaystyle \frac{1}{2}=0,5.

    Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой. Поэтому для \triangle
    АВС получим:

    Задача 9.
    В треугольнике АВС угол С равен 90 {}^\circ,
    CH — высота, СН = 24 и BН = 7. Найдите sin A.

    ТАНГЕНСОМ ОСТРОГО УГЛА ПРЯМОУГОЛЬНИКА НАЗЫВАЕТСЯ ОТНОШЕНИЕ ПРИЛЕЖАЩЕГО КАТЕТА К ОСИ ТРЕУГОЛЬНИКА

    По определению sin A= \displaystyle \frac{a}{c}
    = \displaystyle \frac{BC}{AB}
    = {cos B}.

    Рассмотрим \triangle
    BHC : {cos B=\ \ }\displaystyle \frac{BH}{BC}.

    ВС найдем по теореме Пифагора:

    тогда {cos B=\ \ }\displaystyle \frac{BH}{BC}=\displaystyle \frac{7}{25}=0,28,
    а значит и sin A = {cos B\ \ }
    = 0,28.

    Задача 10.
    В треугольнике АВС угол С равен 90 {}^\circ,
    CH — высота, СН = 8 и BН = 4. Найдите tg A.

    ТАНГЕНСОМ ОСТРОГО УГЛА ПРЯМОУГОЛЬНИКА НАЗЫВАЕТСЯ ОТНОШЕНИЕ ПРИЛЕЖАЩЕГО КАТЕТА К ОСИ ТРЕУГОЛЬНИКА

    По определению sin A = \displaystyle \frac{a}{c}
    = \displaystyle \frac{BC}{AB}
    = ;\ \ \
    cos A = \displaystyle \frac{b}{c}
    = \displaystyle \frac{AC}{AB}
    = {sin B },

    тогда tg A = \displaystyle \frac{sin\ A}{{cos A\ }}=\displaystyle \frac{cosB}{sinB}=ctgB,
    который найдем из \triangle
    BHC:

    ctgB=\displaystyle \frac{BH}{CH}=\displaystyle \frac{4}{8}=0,5.

    Задача 11.
    В треугольнике АВС угол С равен 90 {}^\circ,
    CH — высота, BН = 12, tg A = \displaystyle \frac{2}{3}.
    Найдите АН.

    ТАНГЕНСОМ ОСТРОГО УГЛА ПРЯМОУГОЛЬНИКА НАЗЫВАЕТСЯ ОТНОШЕНИЕ ПРИЛЕЖАЩЕГО КАТЕТА К ОСИ ТРЕУГОЛЬНИКА

    По определению tg A= \displaystyle \frac{BC}{AC}=ctgB=\displaystyle \frac{2}{3}.

    Для \triangle
    BHC: ctgB=\displaystyle \frac{BH}{CH}=\displaystyle \frac{2}{3}
    , значит \displaystyle \frac{12}{CH}=\displaystyle \frac{2}{3},
    СН = \displaystyle \frac{12\ \cdot 3}{2}=18.

    Для \triangle
    АHC: tg A= \displaystyle \frac{CH}{AH}=\displaystyle \frac{2}{3},
    то \displaystyle \frac{18}{AH}=\displaystyle \frac{2}{3},
    AH = \displaystyle \frac{18\ \cdot 3}{2}=27.

    Задача 12.
    В треугольнике АВС угол С равен 90 {}^\circ,
    CH — высота, BН = 12, sin A = \displaystyle \frac{2}{3}.
    Найдите АВ.

    ТАНГЕНСОМ ОСТРОГО УГЛА ПРЯМОУГОЛЬНИКА НАЗЫВАЕТСЯ ОТНОШЕНИЕ ПРИЛЕЖАЩЕГО КАТЕТА К ОСИ ТРЕУГОЛЬНИКА

    Так как cos В = \displaystyle \frac{BC}{AB}
    = sin A = \displaystyle \frac{2}{3}.

    Из \triangle
    СВН имеем cos В = \displaystyle \frac{HB}{BC}
    = \displaystyle \frac{2}{3},
    тогда ВС = \displaystyle \frac{3\ \cdot \ HB}{2}=\displaystyle \frac{3 \cdot 12}{2}=18.

    В \triangle
    АВС имеем sinA = \displaystyle \frac{BC}{AB}
    = \displaystyle \frac{2}{3},
    тогда AВ = \displaystyle \frac{3 \cdot BC}{2}=\displaystyle \frac{3 \cdot 18}{2}=27.

    Задача 13.
    В треугольнике АВС угол С равен 90 {}^\circ,
    из вершины прямого угла к гипотенузе проведена высота СН. Найдите cos A, AC и AB, если СН = 12, ВС = 20.

    ТАНГЕНСОМ ОСТРОГО УГЛА ПРЯМОУГОЛЬНИКА НАЗЫВАЕТСЯ ОТНОШЕНИЕ ПРИЛЕЖАЩЕГО КАТЕТА К ОСИ ТРЕУГОЛЬНИКА

    Найдем НВ по теореме Пифагора из \triangle
    ВСН:

    HB = \sqrt{BC^2-BH^2}=\sqrt{20^2-12^2}=\sqrt{(20-12)(20+12)}=



    sin В =

    =

    Для

    АВС: cos A =

    получили cos A = 0,6.

    Найдем АС и АВ несколькими способами.

    Так как cos A = \displaystyle \frac{AC}{AB}=\displaystyle \frac{3}{5},
    то пусть АС = 3х, АВ = 5х,

    тогда по теореме Пифагора {AC}^2+{BC}^2=\ {AB}^2,
    получим <img src="https://l.wordpress.com/latex.php?latex=%7B%283x%29%7D%5E2%2B%7B%2820%29%7D%5E2%3D%5C%20%7B%285x%29%7D%5E2&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1" title="{(3x)}^2+{AC=15,\ \ AB=25.}^2=\ {(5x)}^2″ alt=”{(3x)}^2+{AC=15,\ \ AB=25.}^2=\ {(5x)}^2″>

    {25x}^2-{9x}^2=\ {20}^2 ,

    {16x}^2=\ {20}^2,

    x^2=\ {\left(\displaystyle \frac{20}{4}\right)}^2,

    х = 5 ( так как х \textgreater
    0). Значит, AC=15,\ \ AB=25.

    \triangle HBC \approx \triangle CBA
    (по двум углам), значит \displaystyle \frac{HB}{CB}=\frac{HC}{AC}=\frac{BC}{AB}
    или \displaystyle \frac{16}{20}={12}{AC}={20}{AB} = k,

    k = \displaystyle \frac{16}{20}=\displaystyle \frac{4}{5}\ ,
    тогда \displaystyle \frac{12}{AC}=\displaystyle \frac{4}{5},
    АС = \displaystyle \frac{12 \cdot 5}{4}=15
    ; \displaystyle \frac{20}{AB}=\displaystyle \frac{4}{5},
    АВ = \displaystyle \frac{20\ \cdot 5}{4}=25.

    {CH}^2=AH \cdot HB
    (высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой) , тогда {12}^2=AH\ \cdot 16,
    АН = 144:16 = 9.

    АВ = АН + НВ = 9 + 16 = 25.

    По теореме Пифагора найдем АС:

    Ответ: cos A = 0,6; АС = 15, АВ = 25.

    Высота ВН прямоугольного треугольника АВС, проведенная из вершины прямого угла В, равна 24 и отсекает от гипотенузы АС отрезок НС, равный 18.

    Найдите АВ и cos А.

    ТАНГЕНСОМ ОСТРОГО УГЛА ПРЯМОУГОЛЬНИКА НАЗЫВАЕТСЯ ОТНОШЕНИЕ ПРИЛЕЖАЩЕГО КАТЕТА К ОСИ ТРЕУГОЛЬНИКА

    Из прямоугольного \triangle
    ВНС по теореме Пифагора найдем гипотенузу ВС и cos C:

    ВС = \sqrt{{HC}^2+{BH}^2}=\sqrt{{18}^2+{24}^2}=\sqrt{324+576}
    = \sqrt{900}=30;\

    cos C = \displaystyle \frac{HC}{BC}=\displaystyle \frac{18}{30}=\displaystyle \frac{3}{5}.

    Для \triangle
    АВС: sin А = \displaystyle \frac{BC}{AC}
    = cos C = \displaystyle \frac{3}{5}.

    Для \triangle
    АНВ: sin А = \displaystyle \frac{BH}{AB}
    = \displaystyle \frac{3}{5},
    то \displaystyle \frac{24}{AB}
    = \displaystyle \frac{3}{5},
    АВ = \displaystyle \frac{24\ \cdot 5}{3}=40.

    Из основного тригонометрического тождества найдем

    cos A = \sqrt{1-{sin}^2A}=\sqrt{1-0,36}=\sqrt{0,64}=0,8.

    Ответ: АВ = 40, cos A = 0,8.

    Гипотенуза АС прямоугольного треугольника АСЕ равна 50, sin А = \displaystyle \frac{7}{25}.

    Найдите площадь треугольника.

    ТАНГЕНСОМ ОСТРОГО УГЛА ПРЯМОУГОЛЬНИКА НАЗЫВАЕТСЯ ОТНОШЕНИЕ ПРИЛЕЖАЩЕГО КАТЕТА К ОСИ ТРЕУГОЛЬНИКА

    В прямоугольном \triangle
    АСЕ sin А = \displaystyle \frac{CE}{AC},

    значит CE=AC\ \cdot sinA=50\ \cdot
    \displaystyle \frac{7}{25}
    = 14.

    Второй катет найдем, используя теорему Пифагора: AE= \sqrt{{AC}^2-{CE}^2};

    AE = \sqrt{{50}^2-{14}^2}=\sqrt{(50-14)(50+14)}\ =\sqrt{36\cdot 64}=6\cdot8=48.

    Площадь прямоугольного треугольника равна S = \displaystyle \frac{1}{2}ab,

    В треугольнике АВС угол С — прямой, катеты АВ = 13 и ВС = 12, СК — высота.

    Найдите sin \angle ACK.
    Результат округлите до сотых.

    ТАНГЕНСОМ ОСТРОГО УГЛА ПРЯМОУГОЛЬНИКА НАЗЫВАЕТСЯ ОТНОШЕНИЕ ПРИЛЕЖАЩЕГО КАТЕТА К ОСИ ТРЕУГОЛЬНИКА

    значит \angle ACK=\angle ABC,
    sin \angle ACK=\displaystyle \frac{AK}{AC}=\displaystyle \frac{AC}{AB}.

    Найдем АС по теореме Пифагора из \triangle
    САВ:

    AC = \sqrt{{AB}^2-{BC}^2}=\sqrt{{13}^2-{12}^2}=

    =\sqrt{(13-12)(13+12)}=\sqrt{25}= 5.

    Задача 17.
    В треугольнике АВС АС = ВС, АВ = 72, cos A = \displaystyle \frac{12}{13}.
    Найдите высоту СН.

    ТАНГЕНСОМ ОСТРОГО УГЛА ПРЯМОУГОЛЬНИКА НАЗЫВАЕТСЯ ОТНОШЕНИЕ ПРИЛЕЖАЩЕГО КАТЕТА К ОСИ ТРЕУГОЛЬНИКА

    Так как АС = ВС, то \triangle
    АВС — равнобедренный с основанием АВ, тогда

    высота СН является медианой, то есть АН = НВ = \displaystyle \frac{1}{2}AB=36.

    Поскольку \triangle
    АСН — прямоугольный,

    cos A = \displaystyle \frac{AH}{AC}=
    \displaystyle \frac{12}{13},
    то есть \displaystyle \frac{36}{AC}=
    \displaystyle \frac{12}{13}
    \Rightarrow
    АС = \displaystyle \frac{36\ \cdot 13}{12}=39.

    По теореме Пифагора {AH}^2+{CH}^2={AC}^2,
    тогда

    CH = \sqrt{{AC}^2-{AH}^2}\ = \sqrt{{39}^2-{36}^2}=

    =\sqrt{(39-36)(39+36)}=\sqrt{3\cdot 3\cdot 25}=15.

    Задача 18.
    В треугольнике АВС угол С равен 90 {}^\circ,
    sin A = \displaystyle \frac{11}{14},
    AC = 10 \sqrt{3}.
    Найдите АВ.

    ТАНГЕНСОМ ОСТРОГО УГЛА ПРЯМОУГОЛЬНИКА НАЗЫВАЕТСЯ ОТНОШЕНИЕ ПРИЛЕЖАЩЕГО КАТЕТА К ОСИ ТРЕУГОЛЬНИКА

    Поскольку sin A = \displaystyle \frac{BC}{AB}=
    \displaystyle \frac{11}{14},
    то можно обозначить

    ВС = 11х, АВ = 14х.

    По теореме Пифагора AC^2+{BC}^2={AB}^2;

    {(10\sqrt{3})}^2+{(11x)}^2={(14x)}^2;

    {(14x)}^2-{(11x)}^2 = 3 \cdot 100;

    (14х- 11х)(14х + 11х) = 3 \cdot
    100;

    3\cdot 25 x^2 = 3 \cdot 100.

    x^2=4,
    учитывая, что длина стороны положительна, х = 2,

    следовательно, АВ = 14 \cdot
    2 = 28.

    Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством {sin}^2A+{cos}^2A=1;

    cos A = \sqrt{1-{sin}^2A}=\sqrt{1-{\left(\displaystyle \frac{11}{14}\right)}^2}=\sqrt{\displaystyle \frac{196-121}{196}}=\sqrt{\displaystyle \frac{75}{196}}=\displaystyle \frac{5\sqrt{3}}{14}.

    По определению cos A = \ \displaystyle \frac{AC}{AB},
    значит \displaystyle \frac{AC}{AB}=\ \displaystyle \frac{5\sqrt{3}}{14}.

    Так как АС=10 \sqrt{3},
    то \displaystyle \frac{10\sqrt{3}}{AB}=\ \displaystyle \frac{5\sqrt{3}}{14},
    откуда АВ = \displaystyle \frac{10\sqrt{3}\ \cdot 14}{5\sqrt{3}}
    = 28.

    Задача 19.
    Найдите углы ромба АВСD, если его диагонали АС и ВD равны 4 \sqrt{3}
    и 4.

    ТАНГЕНСОМ ОСТРОГО УГЛА ПРЯМОУГОЛЬНИКА НАЗЫВАЕТСЯ ОТНОШЕНИЕ ПРИЛЕЖАЩЕГО КАТЕТА К ОСИ ТРЕУГОЛЬНИКА

    Пусть \angle
    ВАО = \alpha .

    Диагонали ромба делят его углы пополам, значит, \angle DAO=\angle BAO
    = \alpha .

    Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, следовательно, в прямоугольном треугольнике АВО катет АО = \displaystyle \frac{1}{2}\ AC=2\sqrt{3},
    а катет ВО = \displaystyle \frac{1}{2}BD\ =2.

    Поэтому tg \alpha =\displaystyle \frac{BO}{AO}=\displaystyle \frac{2}{2\sqrt{3}}=\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}},
    откуда \alpha =30{}^\circ .

    \angle BAD=2\alpha =60{}^\circ , \; \angle ADC=\angle ABC=180{}^\circ -60{}^\circ =120{}^\circ .

    Часто в задачах встречаются треугольники с углами 90^{\circ},\, 30^{\circ}



    и 60^{\circ}



    или с углами 90^{\circ},\, 45^{\circ}



    и 45^{\circ}



    . Основные соотношения для них запоминайте наизусть!

    Прямоугольные треугольники с углами 30, 60, 90 и 45, 45, 90 градусов

    Для треугольника с углами 90^{\circ},\, 30^{\circ}



    и 60^{\circ}



    катет, лежащий напротив угла в 30^{\circ}



    , равен половине гипотенузы
    .

    Треугольник с углами 90^{\circ},\, 45^{\circ}



    и 45^{\circ}



    — равнобедренный. В нем гипотенуза в \sqrt{2}



    раз больше катета.

    В треугольнике АВС угол С равен 90 {}^\circ,
    угол А равен 30 {}^\circ,
    АВ = 2 \sqrt{3}\ .

    Найдите высоту CH.

    ТАНГЕНСОМ ОСТРОГО УГЛА ПРЯМОУГОЛЬНИКА НАЗЫВАЕТСЯ ОТНОШЕНИЕ ПРИЛЕЖАЩЕГО КАТЕТА К ОСИ ТРЕУГОЛЬНИКА

    По свойству катета, лежащего против угла {30}^\circ,
    имеем ВС = \displaystyle \frac{1}{2}
    АВ = \sqrt{3}.

    В \triangle
    BHC: \angle BHC=90{}^\circ ,\; \ \angle B=60{}^\circ ,
    то \angle HCB=30{}^\circ ,
    следовательно, ВН = \displaystyle \frac{1}{2}
    BC = \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}.

    По теореме Пифагора найдем НС:

    HC = \sqrt{{BC}^2-{BH}^2}=\sqrt{{\left(\sqrt{3}\right)}^2-{\left(\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2}=\sqrt{3-\displaystyle \frac{3}{4}}=

    =\sqrt{2\displaystyle \frac{1}{4}}=\sqrt{\displaystyle \frac{9}{4}}=\displaystyle \frac{3}{2}=1,5.

    В треугольнике АВС угол С равен 90 {}^\circ,
    CH — высота, АВ = 2, \angle A=30{}^\circ .
    Найдите АH.

    ТАНГЕНСОМ ОСТРОГО УГЛА ПРЯМОУГОЛЬНИКА НАЗЫВАЕТСЯ ОТНОШЕНИЕ ПРИЛЕЖАЩЕГО КАТЕТА К ОСИ ТРЕУГОЛЬНИКА

    Из \triangle
    АВС найдем ВС = \displaystyle \frac{1}{2}
    АВ = 1 (по свойству катета, лежащего против угла 30 {}^\circ
    ),

    Из \triangle
    ВСН: \angle BHC=90{}^\circ ,\ \ \angle B=60{}^\circ ,
    то \angle HCB=30{}^\circ ,
    следовательно,

    ВН = \displaystyle \frac{1}{2}
    ВС = \ \displaystyle \frac{1}{2}.

    АН = АВ — НВ = 2 – \displaystyle \frac{1}{2}\
    = 1,5.

    Еще раз повторим, что такое синус, косинус и тангенс угла в прямоугольном треугольнике.

    ТАНГЕНСОМ ОСТРОГО УГЛА ПРЯМОУГОЛЬНИКА НАЗЫВАЕТСЯ ОТНОШЕНИЕ ПРИЛЕЖАЩЕГО КАТЕТА К ОСИ ТРЕУГОЛЬНИКА

    Как запомнить эти соотношения? Лучший способ – решать много задач, и на уроках геометрии, и готовясь к ЕГЭ. Тогда все формулы, равенства, соотношения запомнятся сами собой.

    Мы рассмотрели задачи на решение прямоугольных треугольников — то есть на нахождение неизвестных сторон или углов. Но это не всё! В вариантах ЕГЭ по математике множество задач, где фигурирует синус, косинус, тангенс или котангенс внешнего угла треугольника
    . Об этом — в следующей статье.

    Если вам понравился разбор данной темы – записывайтесь на  курсы подготовки к ЕГЭ по математике онлайн

    Спасибо за то, что пользуйтесь нашими публикациями.
    Информация на странице «Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
    Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
    Также вы можете воспользоваться другими материалами из разделов нашего сайта.

    Публикация обновлена:

    05.10.2023

    ТАНГЕНСОМ ОСТРОГО УГЛА ПРЯМОУГОЛЬНИКА НАЗЫВАЕТСЯ ОТНОШЕНИЕ ПРИЛЕЖАЩЕГО КАТЕТА К ОСИ ТРЕУГОЛЬНИКА

    Гипотенуза
    прямоугольного треугольника
    – это сторона, лежащая напротив прямого угла.

    Катеты
    – стороны, лежащие напротив острых углов. Катет , лежащий напротив угла , называется противолежащим (по отношению к углу ). Другой катет , который лежит на одной из сторон угла , называется прилежащим.

    ТАНГЕНСОМ ОСТРОГО УГЛА ПРЯМОУГОЛЬНИКА НАЗЫВАЕТСЯ ОТНОШЕНИЕ ПРИЛЕЖАЩЕГО КАТЕТА К ОСИ ТРЕУГОЛЬНИКА

    ТАНГЕНСОМ ОСТРОГО УГЛА ПРЯМОУГОЛЬНИКА НАЗЫВАЕТСЯ ОТНОШЕНИЕ ПРИЛЕЖАЩЕГО КАТЕТА К ОСИ ТРЕУГОЛЬНИКА

    В прямоугольном треугольнике синус одного острого угла равен косинусу другого, и наоборот:

    \(sin∠A=cos∠B;\ \sin \angle A=\cos \angle B; \ sin∠A=cos∠B\; \\ sin∠B=cos∠A; \ \sin \angle B=\cos \angle A; \ sin∠B=cos∠A.\)

    Таблица значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса:

    Определение тангенса

    Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.

    tg(α) = sin(α)/cos(α)

    tg(a) = 1/ctg(a)

    Таблица тангенсов в радианах

    tg(0°) = 0
    <span data-katex="{tg\Large{(\frac{\pi}{12}})\normalsize = tg = -\sqrt{3}+2}”> tg(π/12) = tg(15°) = 0,2679491924
    <span data-katex="{tg\Large{(\frac{\pi}{6}})\normalsize = tg = \Large{\frac{\sqrt{3}}{3}}}”> tg(π/6) = tg(30°) = 0,5773502692
    <span data-katex="{tg\Large{(\frac{\pi}{4}})\normalsize = tg = 1}”> tg(π/4) = tg(45°) = 1
    <span data-katex="{tg\Large{(\frac{\pi}{3}})\normalsize = tg = \sqrt{3}}”> tg(π/3) = tg(60°) = 1,732050808
    <span data-katex="{tg\Large{(\frac{5\pi}{12}})\normalsize = tg = \sqrt{3}+2}”> tg(5π/12) = tg(75°) = 3,732050808
    <span data-katex="{tg\Large{(\frac{\pi}{2}})\normalsize = tg

    = \infty}”> tg(π/2) = tg(90°) = ∞
    <span data-katex="{tg\Large{(\frac{7\pi}{12}})\normalsize = tg

    = -\sqrt{3}-2}”> tg(7π/12) = tg(105°) = -3,732050808
    <span data-katex="{tg\Large{(\frac{2\pi}{3}})\normalsize = tg = -\sqrt{3}}”> tg(2π/3) = tg(120°) = -1,732050808
    <span data-katex="{tg\Large{(\frac{3\pi}{4}})\normalsize = tg = -1}”> tg(3π/4) = tg(135°) = -1
    <span data-katex="{tg\Large{(\frac{5\pi}{6}})\normalsize = tg = \Large{-\frac{\sqrt{3}}{3}}}”> tg(5π/6) = tg(150°) = -0,5773502692
    <span data-katex="{tg\Large{(\frac{11\pi}{12}})\normalsize = tg = \sqrt{3}-2}”> tg(11π/12) = tg(165°) = -0,2679491924
    <span data-katex="{tg(\pi) = tg = 0}”> tg(π) ​​= tg(180°) = 0
    <span data-katex="{tg\Large{(\frac{13\pi}{12}})\normalsize = tg = -\sqrt{3}+2}”> tg(13π/12) = tg(195°) = 0,2679491924
    <span data-katex="{tg\Large{(\frac{7\pi}{6}})\normalsize = tg = \Large{\frac{\sqrt{3}}{3}}}”> tg(7π/6) = tg(210°) = 0,5773502692
    <span data-katex="{tg\Large{(\frac{5\pi}{4}})\normalsize = tg

    = 1}”> tg(5π/4) = tg(225°) = 1
    tg(4π/3) = tg(240°) = 1,732050808
    tg(17π/12) = tg(255°) = 3,732050808
    tg(3π/2) = tg(270°) = ∞
    tg(19π/12) = tg(285°) = -3,732050808
    tg(5π/3) = tg(300°) = -1,732050808
    tg(7π/4) = tg(315°) = -1
    tg(11π/6) = tg(330°) = -0,5773502692
    tg(23π/12) = tg(345°) = -0,2679491924

    Отношения сторон и углов прямоугольного треугольника.

    В прямоугольном треугольнике тригонометрические функции
    используются для вычисления сторон и острых углов треугольника.

    ТАНГЕНСОМ ОСТРОГО УГЛА ПРЯМОУГОЛЬНИКА НАЗЫВАЕТСЯ ОТНОШЕНИЕ ПРИЛЕЖАЩЕГО КАТЕТА К ОСИ ТРЕУГОЛЬНИКА

    Синус острого угла прямоугольного треугольника
    называется отношением противоположного катета к гипотенузе.

    sina = противоположный катет: гипотенуза

    сина = а:с

    Косинус острого угла прямоугольного треугольника
    называется отношением противоположного катета к гипотенузе.

    cosa = прилежащая сторона: гипотенуза

    cosa = b:c

    Тангенс острого угла прямоугольного треугольника
    называется отношением противоположного катета к прилежащему катету.

    tga = противоположная сторона: соседняя сторона

    tga = a:b

    Тангенс угла равен отношению синуса угла к косинусу угла.

    Если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то равны синусы этих углов, равны косинусы этих углов, равны тангенсы этих углов.

    111

    2

    а
    +
    потому что

    2

    а
    =
    1

    .

    По теореме Пифагора c

    2

    =
    а

    2

    +
    б

    2

    , поэтому полученная дробь имеет одинаковые числитель и знаменатель – такая дробь равна 1.

    Равенство грех

    2

    а
    +
    потому что

    2

    а
    =
    1

    называется основным тригонометрическим тождеством.

    Как выбрать правильную функцию при решении задачи?

    Если используются только категории, используется tg.

    Если используется гипотенуза (задана или ее необходимо вычислить), то используется sin или cos.

    Если используется противоположная нога (дан или надо вычислить), то используется грех.

    Если используется соседняя сторона, используется cos.

    Если в треугольнике даны оба острых угла, то на рисунке лучше отметить только один угол, чтобы можно было четко понять, где находятся прилежащий и противоположный катеты.

    Значения тригонометрических функций
    (которое нужно знать наизусть):

    Размеры остальных углов можно найти в таблице или приблизительно рассчитать с помощью калькулятора.

    Праймер.
    В прямоугольном треугольнике с прямым углом В известно, что АВ = 6 см, ∠А = 60°. Найти АС.

    Искомый отрезок — гипотенуза; дан угол и прилежащий катет, поэтому будем использовать cos.

    cosA
    =
    AB

    AC

    =
    cos
    60
    °
    =
    1

    2

    =
    6

    AC

    , следовательно, АС = 12 см.

    Повторение основных понятий, связанных с прямоугольным треугольником

    На этом уроке мы познакомимся с синусом, косинусом и тангенсом – тригонометрическими функциями, связывающими острый угол прямоугольного треугольника с катетами и гипотенузой этого треугольника. Это очень важные понятия, которые будут встречаться не только в геометрии, но и в алгебре, физике и во многих других науках.

    Напомним основные сведения о прямоугольном треугольнике (см. Рис. 1).

    ТАНГЕНСОМ ОСТРОГО УГЛА ПРЯМОУГОЛЬНИКА НАЗЫВАЕТСЯ ОТНОШЕНИЕ ПРИЛЕЖАЩЕГО КАТЕТА К ОСИ ТРЕУГОЛЬНИКА

    ТАНГЕНСОМ ОСТРОГО УГЛА ПРЯМОУГОЛЬНИКА НАЗЫВАЕТСЯ ОТНОШЕНИЕ ПРИЛЕЖАЩЕГО КАТЕТА К ОСИ ТРЕУГОЛЬНИКА
     – катеты; AB=c – гипотенуза.

    Также в прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна ТАНГЕНСОМ ОСТРОГО УГЛА ПРЯМОУГОЛЬНИКА НАЗЫВАЕТСЯ ОТНОШЕНИЕ ПРИЛЕЖАЩЕГО КАТЕТА К ОСИ ТРЕУГОЛЬНИКА
    : ТАНГЕНСОМ ОСТРОГО УГЛА ПРЯМОУГОЛЬНИКА НАЗЫВАЕТСЯ ОТНОШЕНИЕ ПРИЛЕЖАЩЕГО КАТЕТА К ОСИ ТРЕУГОЛЬНИКА
    .

    Для прямоугольного треугольника также верна теорема Пифагора: ТАНГЕНСОМ ОСТРОГО УГЛА ПРЯМОУГОЛЬНИКА НАЗЫВАЕТСЯ ОТНОШЕНИЕ ПРИЛЕЖАЩЕГО КАТЕТА К ОСИ ТРЕУГОЛЬНИКА
    .

    Введём теперь понятие синуса, косинуса и тангенса острого угла прямоугольного треугольника.

    Определение синуса, косинуса и тангенса острого угла прямоугольного треугольника

    Синусом острого угла прямоугольного треугольника
    называется отношение противолежащего этому углу катета к гипотенузе.

    Косинусом острого угла прямоугольного треугольника
    называется отношение прилежащего к этому углу катета к гипотенузе.

    Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника
    называется отношение противолежащего этому углу катета к прилежащему катету.

    Связь катетов и гипотенузы, двух катетов через тригонометрические функции угла

    С помощью введённых понятий можно находить катеты или гипотенузу.

    Например, из формулы: ТАНГЕНСОМ ОСТРОГО УГЛА ПРЯМОУГОЛЬНИКА НАЗЫВАЕТСЯ ОТНОШЕНИЕ ПРИЛЕЖАЩЕГО КАТЕТА К ОСИ ТРЕУГОЛЬНИКА
    . Аналогично: ТАНГЕНСОМ ОСТРОГО УГЛА ПРЯМОУГОЛЬНИКА НАЗЫВАЕТСЯ ОТНОШЕНИЕ ПРИЛЕЖАЩЕГО КАТЕТА К ОСИ ТРЕУГОЛЬНИКА
    .

    Также можно получить формулу для связи длин двух катетов: ТАНГЕНСОМ ОСТРОГО УГЛА ПРЯМОУГОЛЬНИКА НАЗЫВАЕТСЯ ОТНОШЕНИЕ ПРИЛЕЖАЩЕГО КАТЕТА К ОСИ ТРЕУГОЛЬНИКА
    .

    Связь синуса и косинуса двух острых углов прямоугольного треугольника

    При решении задач очень важно знать соотношения между синусом, косинусом и тангенсом острого угла прямоугольного треугольника.

    Рассмотрим следующие две формулы: ТАНГЕНСОМ ОСТРОГО УГЛА ПРЯМОУГОЛЬНИКА НАЗЫВАЕТСЯ ОТНОШЕНИЕ ПРИЛЕЖАЩЕГО КАТЕТА К ОСИ ТРЕУГОЛЬНИКА
    . Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна ТАНГЕНСОМ ОСТРОГО УГЛА ПРЯМОУГОЛЬНИКА НАЗЫВАЕТСЯ ОТНОШЕНИЕ ПРИЛЕЖАЩЕГО КАТЕТА К ОСИ ТРЕУГОЛЬНИКА
    , то формула приобретает следующий вид:

    ТАНГЕНСОМ ОСТРОГО УГЛА ПРЯМОУГОЛЬНИКА НАЗЫВАЕТСЯ ОТНОШЕНИЕ ПРИЛЕЖАЩЕГО КАТЕТА К ОСИ ТРЕУГОЛЬНИКА

    Аналогично получаем: ТАНГЕНСОМ ОСТРОГО УГЛА ПРЯМОУГОЛЬНИКА НАЗЫВАЕТСЯ ОТНОШЕНИЕ ПРИЛЕЖАЩЕГО КАТЕТА К ОСИ ТРЕУГОЛЬНИКА
    . Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна ТАНГЕНСОМ ОСТРОГО УГЛА ПРЯМОУГОЛЬНИКА НАЗЫВАЕТСЯ ОТНОШЕНИЕ ПРИЛЕЖАЩЕГО КАТЕТА К ОСИ ТРЕУГОЛЬНИКА
    , то формула приобретает следующий вид:

    ТАНГЕНСОМ ОСТРОГО УГЛА ПРЯМОУГОЛЬНИКА НАЗЫВАЕТСЯ ОТНОШЕНИЕ ПРИЛЕЖАЩЕГО КАТЕТА К ОСИ ТРЕУГОЛЬНИКА

    Формула, связывающая тангенс с синусом и косинусом

    Докажем теперь важную формулу, связывающую тангенс с синусом и косинусом:

    ТАНГЕНСОМ ОСТРОГО УГЛА ПРЯМОУГОЛЬНИКА НАЗЫВАЕТСЯ ОТНОШЕНИЕ ПРИЛЕЖАЩЕГО КАТЕТА К ОСИ ТРЕУГОЛЬНИКА

    Доказательство независимости значения тригонометрических функций от размеров треугольника

    Запишем определение синуса и косинуса острого угла прямоугольного треугольника: ТАНГЕНСОМ ОСТРОГО УГЛА ПРЯМОУГОЛЬНИКА НАЗЫВАЕТСЯ ОТНОШЕНИЕ ПРИЛЕЖАЩЕГО КАТЕТА К ОСИ ТРЕУГОЛЬНИКА
    , ТАНГЕНСОМ ОСТРОГО УГЛА ПРЯМОУГОЛЬНИКА НАЗЫВАЕТСЯ ОТНОШЕНИЕ ПРИЛЕЖАЩЕГО КАТЕТА К ОСИ ТРЕУГОЛЬНИКА
    . Тогда: ТАНГЕНСОМ ОСТРОГО УГЛА ПРЯМОУГОЛЬНИКА НАЗЫВАЕТСЯ ОТНОШЕНИЕ ПРИЛЕЖАЩЕГО КАТЕТА К ОСИ ТРЕУГОЛЬНИКА
    . Доказано.

    Рассмотрим следующую важную задачу.

    Даны прямоугольные треугольники ТАНГЕНСОМ ОСТРОГО УГЛА ПРЯМОУГОЛЬНИКА НАЗЫВАЕТСЯ ОТНОШЕНИЕ ПРИЛЕЖАЩЕГО КАТЕТА К ОСИ ТРЕУГОЛЬНИКА
    . Кроме того, ТАНГЕНСОМ ОСТРОГО УГЛА ПРЯМОУГОЛЬНИКА НАЗЫВАЕТСЯ ОТНОШЕНИЕ ПРИЛЕЖАЩЕГО КАТЕТА К ОСИ ТРЕУГОЛЬНИКА
    .

    ТАНГЕНСОМ ОСТРОГО УГЛА ПРЯМОУГОЛЬНИКА НАЗЫВАЕТСЯ ОТНОШЕНИЕ ПРИЛЕЖАЩЕГО КАТЕТА К ОСИ ТРЕУГОЛЬНИКА
     (так как оба треугольника прямоугольные с равными острыми углами). Значит, выполняется следующее соотношение: ТАНГЕНСОМ ОСТРОГО УГЛА ПРЯМОУГОЛЬНИКА НАЗЫВАЕТСЯ ОТНОШЕНИЕ ПРИЛЕЖАЩЕГО КАТЕТА К ОСИ ТРЕУГОЛЬНИКА
    .

    Отсюда получаем: ТАНГЕНСОМ ОСТРОГО УГЛА ПРЯМОУГОЛЬНИКА НАЗЫВАЕТСЯ ОТНОШЕНИЕ ПРИЛЕЖАЩЕГО КАТЕТА К ОСИ ТРЕУГОЛЬНИКА
    .

    Вывод:
    синус, косинус и тангенс не зависят от треугольника, а зависят только от угла.

    Основное тригонометрическое тождество

    Сформулируем и докажем одну из важнейших теорем, связывающих синус и косинус острого угла прямоугольного треугольника, – основное тригонометрическое тождество
    .

    Основное тригонометрическое тождество: 
    ТАНГЕНСОМ ОСТРОГО УГЛА ПРЯМОУГОЛЬНИКА НАЗЫВАЕТСЯ ОТНОШЕНИЕ ПРИЛЕЖАЩЕГО КАТЕТА К ОСИ ТРЕУГОЛЬНИКА
    .

    ТАНГЕНСОМ ОСТРОГО УГЛА ПРЯМОУГОЛЬНИКА НАЗЫВАЕТСЯ ОТНОШЕНИЕ ПРИЛЕЖАЩЕГО КАТЕТА К ОСИ ТРЕУГОЛЬНИКА
    , тогда: ТАНГЕНСОМ ОСТРОГО УГЛА ПРЯМОУГОЛЬНИКА НАЗЫВАЕТСЯ ОТНОШЕНИЕ ПРИЛЕЖАЩЕГО КАТЕТА К ОСИ ТРЕУГОЛЬНИКА
     (при доказательстве мы пользовались теоремой Пифагора: ТАНГЕНСОМ ОСТРОГО УГЛА ПРЯМОУГОЛЬНИКА НАЗЫВАЕТСЯ ОТНОШЕНИЕ ПРИЛЕЖАЩЕГО КАТЕТА К ОСИ ТРЕУГОЛЬНИКА
    ).

    Рассмотрим пример, иллюстрирующий связь тригонометрических функций.

    Решение примера

    Дано: ТАНГЕНСОМ ОСТРОГО УГЛА ПРЯМОУГОЛЬНИКА НАЗЫВАЕТСЯ ОТНОШЕНИЕ ПРИЛЕЖАЩЕГО КАТЕТА К ОСИ ТРЕУГОЛЬНИКА
     – прямоугольный ( ТАНГЕНСОМ ОСТРОГО УГЛА ПРЯМОУГОЛЬНИКА НАЗЫВАЕТСЯ ОТНОШЕНИЕ ПРИЛЕЖАЩЕГО КАТЕТА К ОСИ ТРЕУГОЛЬНИКА
    ), ТАНГЕНСОМ ОСТРОГО УГЛА ПРЯМОУГОЛЬНИКА НАЗЫВАЕТСЯ ОТНОШЕНИЕ ПРИЛЕЖАЩЕГО КАТЕТА К ОСИ ТРЕУГОЛЬНИКА
    .

    Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: ТАНГЕНСОМ ОСТРОГО УГЛА ПРЯМОУГОЛЬНИКА НАЗЫВАЕТСЯ ОТНОШЕНИЕ ПРИЛЕЖАЩЕГО КАТЕТА К ОСИ ТРЕУГОЛЬНИКА
    . Подставим в него известное нам значение синуса: ТАНГЕНСОМ ОСТРОГО УГЛА ПРЯМОУГОЛЬНИКА НАЗЫВАЕТСЯ ОТНОШЕНИЕ ПРИЛЕЖАЩЕГО КАТЕТА К ОСИ ТРЕУГОЛЬНИКА
    . Отсюда: ТАНГЕНСОМ ОСТРОГО УГЛА ПРЯМОУГОЛЬНИКА НАЗЫВАЕТСЯ ОТНОШЕНИЕ ПРИЛЕЖАЩЕГО КАТЕТА К ОСИ ТРЕУГОЛЬНИКА
    . Так как косинус, по определению, – это отношение катета к гипотенузе, то он может быть только положительным, поэтому: ТАНГЕНСОМ ОСТРОГО УГЛА ПРЯМОУГОЛЬНИКА НАЗЫВАЕТСЯ ОТНОШЕНИЕ ПРИЛЕЖАЩЕГО КАТЕТА К ОСИ ТРЕУГОЛЬНИКА
    .

    Найдём теперь тангенс угла, пользуясь формулой: ТАНГЕНСОМ ОСТРОГО УГЛА ПРЯМОУГОЛЬНИКА НАЗЫВАЕТСЯ ОТНОШЕНИЕ ПРИЛЕЖАЩЕГО КАТЕТА К ОСИ ТРЕУГОЛЬНИКА
    .

    На этом уроке мы рассмотрели понятия синуса, косинуса и тангенса острого угла прямоугольного треугольника, вывели некоторые их свойства и формулы связи между этими величинами. На следующем уроке мы познакомимся со значениями синуса, косинуса и тангенса для некоторых конкретных значений углов.

    1. Александров А. Д. и др. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2006.
    2. Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Прасолов В. В. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2011.
    3. Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир С. М. Геометрия, 8 класс. – М.: ВЕНТАНА-ГРАФ, 2009.

    Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

    1. № 133(а-г), 134(а-г), Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Прасолов В. В. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2011.
    2. Найдите синус, косинус и тангенс наименьшего угла египетского треугольника.
    3. Найдите косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника, синус которого равен ТАНГЕНСОМ ОСТРОГО УГЛА ПРЯМОУГОЛЬНИКА НАЗЫВАЕТСЯ ОТНОШЕНИЕ ПРИЛЕЖАЩЕГО КАТЕТА К ОСИ ТРЕУГОЛЬНИКА
      .
    1. Главная
    2. Справочники
    3. Справочник по геометрии 7-9 класс
    4. Подобные треугольники
    5. Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника

    Рассмотрим прямоугольный
    треугольник
    АВС

    с прямым углом
    С

    :

    ТАНГЕНСОМ ОСТРОГО УГЛА ПРЯМОУГОЛЬНИКА НАЗЫВАЕТСЯ ОТНОШЕНИЕ ПРИЛЕЖАЩЕГО КАТЕТА К ОСИ ТРЕУГОЛЬНИКА

    Катет ВС

    этого треугольника является противолежащим углу А

    , а катет
    АС

    – прилежащим к этому углу.

    Синусом
    острого угла
    прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета
    к гипотенузе


    . Синус
    угла, который равен ТАНГЕНСОМ ОСТРОГО УГЛА ПРЯМОУГОЛЬНИКА НАЗЫВАЕТСЯ ОТНОШЕНИЕ ПРИЛЕЖАЩЕГО КАТЕТА К ОСИ ТРЕУГОЛЬНИКА
    , обозначается
    символом ТАНГЕНСОМ ОСТРОГО УГЛА ПРЯМОУГОЛЬНИКА НАЗЫВАЕТСЯ ОТНОШЕНИЕ ПРИЛЕЖАЩЕГО КАТЕТА К ОСИ ТРЕУГОЛЬНИКА
    , читается
    : “синус альфа”.

    Косинусом
    острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета
    к гипотенузе


    . Косинус
    угла, который равен ТАНГЕНСОМ ОСТРОГО УГЛА ПРЯМОУГОЛЬНИКА НАЗЫВАЕТСЯ ОТНОШЕНИЕ ПРИЛЕЖАЩЕГО КАТЕТА К ОСИ ТРЕУГОЛЬНИКА
    , обозначается
    символом ТАНГЕНСОМ ОСТРОГО УГЛА ПРЯМОУГОЛЬНИКА НАЗЫВАЕТСЯ ОТНОШЕНИЕ ПРИЛЕЖАЩЕГО КАТЕТА К ОСИ ТРЕУГОЛЬНИКА
    , читается
    : “косинус альфа”.

    Тангенсом
    острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета
    к прилежащему катету


    . Тангенс
    угла, который равен ТАНГЕНСОМ ОСТРОГО УГЛА ПРЯМОУГОЛЬНИКА НАЗЫВАЕТСЯ ОТНОШЕНИЕ ПРИЛЕЖАЩЕГО КАТЕТА К ОСИ ТРЕУГОЛЬНИКА
    , обозначается
    символом ТАНГЕНСОМ ОСТРОГО УГЛА ПРЯМОУГОЛЬНИКА НАЗЫВАЕТСЯ ОТНОШЕНИЕ ПРИЛЕЖАЩЕГО КАТЕТА К ОСИ ТРЕУГОЛЬНИКА
    , читается
    : “тангенс альфа”.

    Из формул

    и ТАНГЕНСОМ ОСТРОГО УГЛА ПРЯМОУГОЛЬНИКА НАЗЫВАЕТСЯ ОТНОШЕНИЕ ПРИЛЕЖАЩЕГО КАТЕТА К ОСИ ТРЕУГОЛЬНИКА получаем:

    ТАНГЕНСОМ ОСТРОГО УГЛА ПРЯМОУГОЛЬНИКА НАЗЫВАЕТСЯ ОТНОШЕНИЕ ПРИЛЕЖАЩЕГО КАТЕТА К ОСИ ТРЕУГОЛЬНИКА

    Сравнивая с формулой

    , находим:

    Получили, что тангенс
    угла равен отношению синуса к косинусу этого угла.

    если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то синусы этих углов равны, косинусы этих углов равны и тангенсы этих углов равны.

    ТАНГЕНСОМ ОСТРОГО УГЛА ПРЯМОУГОЛЬНИКА НАЗЫВАЕТСЯ ОТНОШЕНИЕ ПРИЛЕЖАЩЕГО КАТЕТА К ОСИ ТРЕУГОЛЬНИКА
    АВС

    , ТАНГЕНСОМ ОСТРОГО УГЛА ПРЯМОУГОЛЬНИКА НАЗЫВАЕТСЯ ОТНОШЕНИЕ ПРИЛЕЖАЩЕГО КАТЕТА К ОСИ ТРЕУГОЛЬНИКА
    А 1
    В 1
    С 1


    , ТАНГЕНСОМ ОСТРОГО УГЛА ПРЯМОУГОЛЬНИКА НАЗЫВАЕТСЯ ОТНОШЕНИЕ ПРИЛЕЖАЩЕГО КАТЕТА К ОСИ ТРЕУГОЛЬНИКА
    С

    = ТАНГЕНСОМ ОСТРОГО УГЛА ПРЯМОУГОЛЬНИКА НАЗЫВАЕТСЯ ОТНОШЕНИЕ ПРИЛЕЖАЩЕГО КАТЕТА К ОСИ ТРЕУГОЛЬНИКА
    С 1


    = 90 0
    , ТАНГЕНСОМ ОСТРОГО УГЛА ПРЯМОУГОЛЬНИКА НАЗЫВАЕТСЯ ОТНОШЕНИЕ ПРИЛЕЖАЩЕГО КАТЕТА К ОСИ ТРЕУГОЛЬНИКА
    А

    = ТАНГЕНСОМ ОСТРОГО УГЛА ПРЯМОУГОЛЬНИКА НАЗЫВАЕТСЯ ОТНОШЕНИЕ ПРИЛЕЖАЩЕГО КАТЕТА К ОСИ ТРЕУГОЛЬНИКА
    А 1


    .

    Доказать

    : sin A

    = sin A 1


    , cos A

    = cos A 1


    , tg A

    = tg A 1


    .

    ТАНГЕНСОМ ОСТРОГО УГЛА ПРЯМОУГОЛЬНИКА НАЗЫВАЕТСЯ ОТНОШЕНИЕ ПРИЛЕЖАЩЕГО КАТЕТА К ОСИ ТРЕУГОЛЬНИКА

    ТАНГЕНСОМ ОСТРОГО УГЛА ПРЯМОУГОЛЬНИКА НАЗЫВАЕТСЯ ОТНОШЕНИЕ ПРИЛЕЖАЩЕГО КАТЕТА К ОСИ ТРЕУГОЛЬНИКА
    АВС

    ТАНГЕНСОМ ОСТРОГО УГЛА ПРЯМОУГОЛЬНИКА НАЗЫВАЕТСЯ ОТНОШЕНИЕ ПРИЛЕЖАЩЕГО КАТЕТА К ОСИ ТРЕУГОЛЬНИКА
    ТАНГЕНСОМ ОСТРОГО УГЛА ПРЯМОУГОЛЬНИКА НАЗЫВАЕТСЯ ОТНОШЕНИЕ ПРИЛЕЖАЩЕГО КАТЕТА К ОСИ ТРЕУГОЛЬНИКА
    А 1
    В 1
    С 1


    по первому признаку
    подобия треугольников (т.к. ТАНГЕНСОМ ОСТРОГО УГЛА ПРЯМОУГОЛЬНИКА НАЗЫВАЕТСЯ ОТНОШЕНИЕ ПРИЛЕЖАЩЕГО КАТЕТА К ОСИ ТРЕУГОЛЬНИКА
    С

    = ТАНГЕНСОМ ОСТРОГО УГЛА ПРЯМОУГОЛЬНИКА НАЗЫВАЕТСЯ ОТНОШЕНИЕ ПРИЛЕЖАЩЕГО КАТЕТА К ОСИ ТРЕУГОЛЬНИКА
    С 1


    = 90 0
    , ТАНГЕНСОМ ОСТРОГО УГЛА ПРЯМОУГОЛЬНИКА НАЗЫВАЕТСЯ ОТНОШЕНИЕ ПРИЛЕЖАЩЕГО КАТЕТА К ОСИ ТРЕУГОЛЬНИКА
    А

    = ТАНГЕНСОМ ОСТРОГО УГЛА ПРЯМОУГОЛЬНИКА НАЗЫВАЕТСЯ ОТНОШЕНИЕ ПРИЛЕЖАЩЕГО КАТЕТА К ОСИ ТРЕУГОЛЬНИКА
    А 1


    ). Из подобия треугольников следует пропорциональность
    сходственных сторон
    , поэтому мы можем записать:

    ТАНГЕНСОМ ОСТРОГО УГЛА ПРЯМОУГОЛЬНИКА НАЗЫВАЕТСЯ ОТНОШЕНИЕ ПРИЛЕЖАЩЕГО КАТЕТА К ОСИ ТРЕУГОЛЬНИКА

    Из этих равенств следует, что ТАНГЕНСОМ ОСТРОГО УГЛА ПРЯМОУГОЛЬНИКА НАЗЫВАЕТСЯ ОТНОШЕНИЕ ПРИЛЕЖАЩЕГО КАТЕТА К ОСИ ТРЕУГОЛЬНИКА
    т.е. sin A

    = sin A 1


    . Аналогично

    ТАНГЕНСОМ ОСТРОГО УГЛА ПРЯМОУГОЛЬНИКА НАЗЫВАЕТСЯ ОТНОШЕНИЕ ПРИЛЕЖАЩЕГО КАТЕТА К ОСИ ТРЕУГОЛЬНИКА
    , т.е. cos A

    = cos A 1


    , и

    ТАНГЕНСОМ ОСТРОГО УГЛА ПРЯМОУГОЛЬНИКА НАЗЫВАЕТСЯ ОТНОШЕНИЕ ПРИЛЕЖАЩЕГО КАТЕТА К ОСИ ТРЕУГОЛЬНИКА
    , т.е. tg A

    = tg A 1


    , что и требовалось доказать

    .

    Мы получили, что синус
    , косинус
    и тангенс
    острого угла зависит
    только
    от величины
    этого угла.

    Докажем основное тригонометрическое тождество:

    ТАНГЕНСОМ ОСТРОГО УГЛА ПРЯМОУГОЛЬНИКА НАЗЫВАЕТСЯ ОТНОШЕНИЕ ПРИЛЕЖАЩЕГО КАТЕТА К ОСИ ТРЕУГОЛЬНИКА

    Из формул

    и ТАНГЕНСОМ ОСТРОГО УГЛА ПРЯМОУГОЛЬНИКА НАЗЫВАЕТСЯ ОТНОШЕНИЕ ПРИЛЕЖАЩЕГО КАТЕТА К ОСИ ТРЕУГОЛЬНИКА получаем

    ТАНГЕНСОМ ОСТРОГО УГЛА ПРЯМОУГОЛЬНИКА НАЗЫВАЕТСЯ ОТНОШЕНИЕ ПРИЛЕЖАЩЕГО КАТЕТА К ОСИ ТРЕУГОЛЬНИКА

    По теореме Пифагора

    ТАНГЕНСОМ ОСТРОГО УГЛА ПРЯМОУГОЛЬНИКА НАЗЫВАЕТСЯ ОТНОШЕНИЕ ПРИЛЕЖАЩЕГО КАТЕТА К ОСИ ТРЕУГОЛЬНИКА
    ТАНГЕНСОМ ОСТРОГО УГЛА ПРЯМОУГОЛЬНИКА НАЗЫВАЕТСЯ ОТНОШЕНИЕ ПРИЛЕЖАЩЕГО КАТЕТА К ОСИ ТРЕУГОЛЬНИКА

    Определение подобных треугольников

    Отношение площадей подобных треугольников

    Первый признак подобия треугольников

    Второй признак подобия треугольников

    Третий признак подобия треугольников

    Средняя линия треугольника

    Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике

    Практические приложения подобия треугольников

    О подобии произвольных фигур

    Значение синуса, косинуса и тангенса для углов 30, 45 и 60

    Правило встречается в следующих упражнениях

    Задание 623
    ,
    Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

    Задание 676
    ,
    Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

    Задание 849
    ,
    Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

    Задание 1024
    ,
    Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

    Задание 1033
    ,
    Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

    Задание 1036
    ,
    Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

    Задание 1037
    ,
    Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

    Задание 1038
    ,
    Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

    Задание 1104
    ,
    Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

    Задание 1238
    ,
    Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник


    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *