Система записи чисел — способ представления чисел в письменном виде.
Дмитрий Михайлович Беляев
Эксперт по предмету «Информатика»
Сергей Андреевич Дремук
Унарная система счисления — это непозиционная система счисления, состоящая из одной цифры, которая обозначает единицу.
Систе́ма счисле́ния (англ. или system of numeration) — символический метод записи чисел, представление чисел с помощью письменных знаков.
Системы счисления подразделяются на:
Екатерина Андреевна Гапонько
Историческим фактом является то, что лозунгом пифагорейцев было выражение: «Все есть число», которым подчеркивалась важная роль чисел в практической деятельности человека. В повседневной жизни каждый из нас сталкивается с множеством чисел, это и номера автомобилей, телефонов, и цены в магазинах, и размер семейного бюджета и т.п. Числа и цифры окружают нас повсюду.
Люди во все времена вели счет и записывали числа, даже в древности. Но записывали они их несколько иначе, чем мы сейчас, по другим правилам. Числа были представлены одним или несколькими символами, которые назвали цифрами.
Цифра – это символ, используемый при записи числа.
Изначально числа соответствовали тем предметам, которые пересчитывали. Но с появлением письменности их отделили от предметов, и появилось понятие натурального числа. Дробные числа появились тогда, когда у людей стали возникать потребности в измерениях, и единицы измерения (эталоны) не всегда укладывались целое число раз в измеряемые величины. Исторически понятие числа, как правило, связывают с развитием математики, в настоящее же время оно считается фундаментальным понятием не только математики, но еще и информатики.
Число – это некоторая величина.
Числа складываются из цифр по особым правилам. Разные народы на разных этапах развития человечества устанавливали эти правила. В настоящее время их называют системами счисления.
Система счисления – это совокупность приемов и правил представления чисел с помощью цифровых знаков.
«Системы счисления» 👇
Введение
Ещё с древности человека стали интересовать числа. Люди подсчитывали число дней в году, количество созвездий в небе, различные финансовые траты на сооружение строений, обустройство дорог и тому подобное. Без всякой натяжки возможно считать, что цифры заложены в основание жизнедеятельности человека практически любого вида. Для выполнения каких-либо математических расчётов, нужно обладать соответствующей системой и научиться её использовать.
Под системой счисления понимается набор символов и законов формирования на их базе числовых значений и осуществления арифметических действий.
Таким образом, применяя систему счисления, возможно производить разные вычислительные процедуры и в финале сформировать итог разрешения сформулированной задачи в форме числового значения. Очень важна в разных системах счисления форма выражения числовых значений. Можно разделить возможные форматы чисел на позиционные и непозиционные.
Для позиционного представления чисел, вес каждой цифры определяется её позицией в числовом выражении. Для непозиционного формата числа положение цифры в общем «списке» символов числа не имеет значения.
К примеру, общепринятая десятичная форма представления числа — это позиционная система. Например, число 33 состоит из единиц и десятков. То есть первая слева тройка означает три десятка, а вторая тройка это три единицы. Классический пример непозиционной системы — это латинские цифровые обозначения. Например, число “XVIII” расшифровывается как сумма всех входящих в него знаков. То есть: X + V + I + I + I = 18. В такой системе меняется лишь знак операции (сложение или вычитание) при подсчёте суммарного значения. Если меньшая цифра стоит перед большей, то она из неё вычитается. К примеру, XI = X + I = 11, но IX = X – I = 9, в данном случае буквы “X” и “I” обозначают цифры 10 и 1 соответственно.
«Унарная система счисления» 👇
“Все
есть число” – так говорили пифагорейцы,
подчеркивая необычайно важную роль
чисел.
Люди всегда считали и записывали
числа, даже пять тысяч лет назад. Но
записывали они их совершенно по-другому,
по другим правилам.
Известно множество
способов представления чисел. Число
изображается символом или группой
символов некоторого алфавита. Такие
символы называются цифрами.
Цифры
– это символы, участвующие в записи
числа и составляющие некоторый алфавит.
Что
же такое число?
Первоначально число было привязано к
тем предметам, которые пересчитывались.
Но с появлением письменности число
отделилось от предметов пересчета и
появилось понятие натурального числа.
Дробные числа появились в связи с тем,
что человеку потребовалось что-то
измерять и единица измерения не всегда
укладывалась целое число раз в измеряемой
величине.
Число – это некоторая величина.
Числа складываются из цифр по особым
правилам. На разных этапах развития
человечества, у разных народов эти
правила были различны. Сегодня мы их
называем системами счисления.
Система
счисления – это совокупность приемов
и правил для обозначения и именования
чисел.
Все системы счисления делятся на
позиционные и непозиционные. Непозиционные
системы счисления появились раньше
позиционных. Последние являются
результатом длительного исторического
развития непозиционных систем счисления.
В
непозиционных системах счисления
каждый знак всегда обозначает одно и
тоже число, независимо от позиции, в
которой он находится. Самой распространенной
непозиционной системой счисления
является римская система счисления.
I
– 1,V-
5,L
– 50,C
– 100,D
– 500,M
– 1000,
Математиками
сформулировано правило, что все остальные
числа получаются путем сложения или
вычитания. 60=50+10=LX
Римскими
цифрами пользовались очень долго,
сегодня они используются в основном
для наименования знаменательных дат,
томов, разделов и глав в книгах.
Непозиционные
системы счисления имеют ряд существенных
недостатков:
Существует
постоянная потребность введения
новых знаков для записи больших чисел.
Невозможно
представлять дробные и отрицательные
числа. Сложно выполнять арифметические
операции, так как не существует алгоритмов
их выполнения. В частности, у всех
народов наряду с системами счисления
были способы пальцевого счета, а у
греков была счетная доска абак – что-то
наподобие наших счетов.
Какие системы счисления называются непозиционными
В информатике используют позиционный и непозиционный метод записи чисел. Позиционный способ предполагает представление числовых обозначений в определенной последовательности для сохранения величины числа.
Непозиционная система счисления – это способ записи числа с помощью символов, в котором изменение положения знаков не влияет на значение величины числа.
Разновидности непозиционных систем счисления с примерами
Существует несколько видов непозиционной системы исчисления.
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
Биномиальная
В данном методе для записи чисел применяются биномиальные коэффициенты.
Биномиальные коэффициенты – это объединение количества сочетаний, определенное лишь для неотрицательных целых чисел. Такие обобщения зачастую возникают в задачах, требующих перебора всех возможных вариантов ответов, а также в теории вероятности.
Число x в рассматриваемой системе представляет собой сумму биномиальных коэффициентов:
Биномиальные числа бывают:
Пример преобразования матричной формы в линейную:
Каждой составляющей матрицы соответствует один биномиальный коэффициент. При сложении коэффициентов, соответствующих единицам в матрице, получится количественный эквивалент.
Применение биномиальных чисел:
Греческая
Греческая система счисления – это метод представления числа с помощью букв греческого алфавита и некоторых знаков доклассического периода. Другие названия данного способа – ионийская, новогреческая.
В Греции рассматриваемый алфавитный способ записи чисел стал применяться в III веке до н.э. Буквы греческого алфавита соответствуют следующим числам:
С помощью ионийской системы можно записать лишь числа от 1 до 999.
Римская
Римская система исчисления – это метод числовой записи посредством использования символов латинского алфавита.
Соответствие букв латиницы числовому значению:
Для представления чисел десятичной системы счисления в виде римских букв работают следующие правила:
При переводе числа 67 в римскую систему счисления получаем следующий набор латинских букв: LXVII = (50 + 10) + (5 + 2) = 60 + 7.
545 имеет вид DXLV = 500 + (50 – 10) +5.
Применение данной системы исчисления:
Древнеегипетская
Способ записи чисел, используемый в Древнем Египте, основывался на иероглифах. С помощью этих символов записывались основные числа 1, 10, 100 и т.д. Другие числовые значения получались с помощью сложения ключевых чисел.
Действие производилось в следующей последовательности:
Вавилонская
Вавилонская система исчисления – это позиционный метод записи чисел с основанием 60, применявшийся в Древнем Вавилоне. Это первая известная шестидесятеричная система.
В данной системе счисления числа записываются справа налево в порядке убывания: сотни, десятки, единицы. Досчитав до 60, отмечают новый числовой ряд, запись чисел вновь начинается с 1.
Цифрами вавилонского числового метода считались клинья, разные для записи единиц, десятков и нуля.
В измерении времени: час состоит из 60 минут, а минуты – из 60 секунд.
В измерении углов: градус равен 60 минутам, а минута – 60 секундам.
Система счисления майя
Цифры майя – это позиционная запись чисел с основанием 20, используемая племенами майя.
Рассматриваемый способ исчисления состоял из нуля и 19 сложных цифр. Ноль имел обозначение пустой ракушки. Цифры составлялись из точки и горизонтальной черточки. Точка означала единицу, черта – пятерку.
Цифры майя применялась в календарных расчетах. В бытовых целях использовали непозиционный метод записи. Об этом свидетельствует то, что в позиционной системе счисления цивилизации майя имеется больше чисел, чем необходимые 12.
Насколько полезной была для вас статья?
Выделите текст и нажмите одновременно клавиши «Ctrl» и «Enter»
Текст с ошибкой
Расскажите, что не так
Всего получено оценок: 118.
Набор символов для обозначения чисел и правила их использования составляют систему счисления. Системы счисления принято делить на позиционные и непозиционные. Описание и примеры непозиционных систем счисления приведены в данной статье.
Что такое непозиционная система счисления
В непозиционной системе счисления изменение положения символа в числе не влияет на значение самого числа.
Отличие позиционных и непозиционных систем хорошо видно при сравнении арабских и римских чисел. Числа, записанные арабскими цифрами, составляются в позиционной системе. И здесь важно учитывать понятие разрядности. Одна и та же цифра, в зависимости от того, в каком разряде числа она записывается, обозначает разную числовую величину. Например, в числе 234 цифра 2 обозначает величину двести, а в числе 324 – соответствует двадцати.
В римской системе счисления, цифра, в какое положение ее не помещай, всегда означает одно и то же. Например, с помощью римских цифр V и I, эквивалентных арабским 5 и 1, можно составить числа VI и IV, что соответствует 6 и 4. В непозиционной системе расположение цифры никак не влияет на ее значение.
История возникновения непозиционных систем счисления уходит корнями в глубокую древность. Жители древних государств: Вавилона, Майя, Древнего Египта, Греции и Рима, пользовались непозиционным принципом в составлении чисел. Некоторые из таких систем, например, римские цифры, используются и по сей день.
Римская система счисления
В римской системе ключевые числа записываются латинскими буквами I, V, X, L, C, D, M, а все остальные числовые значения получаются путем комбинирования этих знаков с использованием принципов сложения и вычитания.
Рис. 1. Римские цифры и их десятичные арабские эквиваленты.
Римская система получила название от места своего возникновения. Она начала использоваться еще в Древнем Риме, более двух тысяч лет назад. В римской системе есть одна особенность – в ней не используется цифра ноль.
Числа в римской системе следует записывать слева направо от большего к меньшему. Если в числе перед большей цифрой стоит меньшая, то ее следует вычесть из следующей за ней цифрой, исходя из принципа вычитания. Меньшие цифры, стоящие после больших, соответственно прибавляются.
Например, арабское число 1978 в римской системе будет записано так: MCMLXXVIII.
Римская система, в настоящее время используется для записи дат, обозначения валентности химических элементов.
Древние непозиционные системы счисления
Исторической науке известны древние системы счисления, использующие различные знаки, символы и рисунки для обозначения числовых значений. Самыми известными являются:
Древнеегипетская система счисления
В древнеегипетской системе счисления специальные символы заменяли числа 1, 10, 100, 1000, 1000, и так далее, кратные десяти.
Рис. 2. Символы древнеегипетской системы счисления и их десятичные эквиваленты.
Числа записывались в виде комбинации таких символов, повторяющихся в зависимости от значения конкретного разряда не более девяти раз. Например, в числе 45 символ для обозначения 10 записывается четыре раза, а символ единицы, повторяется пять раз.
Вавилонская система счисления
Вавилонская система представления чисел использует для обозначения чисел знаки в виде вертикальных и горизонтальных насечек – клиньев. Такую систему написания знаков называют клинописью.
Единицы в древнем Вавилоне обозначали прямыми клиньями, десятки – лежащими, то есть горизонтальными. Прямым клином обозначается также число шестьдесят.
Вавилонскую систему записи числовых значений называют также шестидесятеричной. Принцип разделения числового пространства на группы по 60 единиц используется и в настоящее время для определения временных отрезков. Один час состоит из 60 минут, одна минута – из 60 секунд.
Вавилонская система представляет собой комбинированный вариант системы счисления, так как представление чисел от 1 до 60 подчинено непозиционному принципу, а числа свыше шестидесяти представляются с использованием позиционного подхода.
Например, число 34 в вавилонской системе записывается как последовательность из трех горизонтальных клиньев, за которыми следует четыре прямых клина. А число 84 будет начинаться с прямого клина, обозначающего 60, за которым следуют два лежащих клина и затем четыре прямых.
Для обозначения чисел в различных бытовых ситуациях Майя использовали непозиционную систему представления чисел, в которой записывались числа от 0 до 19 с помощью знаков, представляющих собой комбинации точек и горизонтально расположенных отрезков.
Рис. 3. Цифры народа цивилизации майя.
Например, цифра для обозначения числа 17 выглядит как две точки, расположенные над тремя горизонтальными черточками.
Что мы узнали?
Для представления чисел используются позиционные и непозиционные системы счисления. В непозиционных системах расположение знаков, составляющих числа не влияет на их числовые значения. Самой известной непозиционной системой является система римских цифр. Известные исторической науке системы записи чисел древних народов Египта, Вавилона, цивилизации Майя применяли непозиционный принцип представления чисел, используя различные знаки для обозначения числовых эквивалентов.
Тест по теме
Чтобы попасть сюда – пройдите тест.
Оценка статьи
А какая ваша оценка?
Системы записи чисел разных народов
Еврейская система записи в качестве цифр использует 22 буквы еврейского алфавита. Каждая буква имеет своё числовое значение от 1 до 400 (см. также Гематрия). Ноль отсутствует. Цифры, записанные таким образом, наиболее часто можно встретить в нумерации лет по иудейскому календарю.
Греческая система записи
Греческая система записи, также известная как ионийская или новогреческая — непозиционная система записи. Алфавитная запись чисел, в которой в качестве символов для счёта, употребляют буквы классического греческого алфавита, а также некоторые буквы доклассической эпохи, такие как ϛ (стигма), ϟ (коппа) и ϡ (сампи).
Римская система записи
Каноническим примером почти непозиционной системы записи является римская, в которой в качестве цифр используются латинские буквы:
I обозначает 1,
Например, II = 1 + 1 = 2
здесь символ I обозначает 1 независимо от места в числе.
На самом деле, римская система не является полностью непозиционной, так как меньшая цифра, идущая перед большей, вычитается из неё, например:
IV = 4, в то время как:
VI = 6
Майя использовали 20-ичную систему счисления за одним исключением: во втором разряде было не 20, а 18 ступеней, то есть за числом
сразу следовало число
(0)(0). Это было сделано для облегчения расчётов календарного цикла, поскольку
(0)(0) = 360 примерно равно числу дней в солнечном году.
Для записи основными знаками были точки (единицы) и отрезки (пятёрки).
Данная система принципиально не намного отличается от предыдущей и сохранилась до наших дней. В ее основе находятся знаки:
- $I$ (один палец) для числа $1$;
- $V$ (раскрытая ладонь) для числа $5$;
- $X$ (две сложенные ладони) для $10$;
При составлении чисел римляне использовали следующие правила:
Необходимо записать число $1986$ в римской системе счисления.
Решение:
$1986 = 1000 + 900 + 50 + 30 + 6 = M + (M – C) + L + (X + X + X) + V + I = MCMLXXXVI$,
Римскими цифрами пользуются издревле: ими обозначаются даты, номера томов, разделов, глав. Раньше считал, что обычные арабские цифры можно легко подделать.
Единичная система записи
По-видимому, хронологически первая система записи чисел каждого народа, овладевшего счётом. Натуральное число изображается путём повторения одного и того же знака (чёрточки или точки). Например, чтобы изобразить число 26, нужно провести 26 чёрточек (или сделать 26 засечек на кости, камне и т. д.). Впоследствии, ради удобства восприятия больших чисел, эти знаки группируются по три или по пять. Затем равнообъёмные группы знаков начинают заменяться каким-либо новым знаком — так возникают прообразы будущих цифр.
Примеры применения унарной системы
Невзирая на очень простую структуру, унарные принципы используются и сегодня при осуществлении определённого класса вычислительных процедур. Обычно, эта система обнаруживает свою простоту и полезность в применении в тех случаях, когда не имеет значения финальное число компонентов, и требуется производить процесс счёта просто путём прибавления или вычитания одного компонента. Можно привести следующие примеры использования унарной системы счисления:
Древнеегипетская десятичная непозиционная система счисления
Данная система счисления появилась около 3000 лет до н.э. в результате того, что жители Древнего Египта придумали свою числовую систему, в которой при обозначении ключевых чисел $1$, $10$, $100$ и т.д. были использованы иероглифы, что было удобным при написании на глиняных дощечках, которые заменяли бумагу. Другие числа составлялись из них с помощью сложения. Сначала записывалось число высшего порядка, а затем низшего. Умножали и делили египтяне, последовательно удваивая числа. Каждая цифра могла повторяться до $9$ раз. Примеры чисел данной системы приведены ниже.
«Непозиционные системы счисления» 👇
Аддитивные и мультипликативные системы счисления
Система счисления – понятие сложное, включающее в себя законы, по которым читаются и записываются числа, и по которым выполняются действия над ними. Для этого важно знать тип системы счисления. По типу различают аддитивную и мультипликативную системы счисления.
Для аддитивной характерно то, что каждая цифра имеет свое значение, для прочтения числа необходимо сложить все значения используемых цифр. Например:
$XXXXVI = 10 + 10 + 10 + 10 + 5 + 1 = 46$
Для второго типа характерно то, что цифра может иметь различные значения в зависимости от ее местоположения в числе.
(иероглифы по порядку: $2$, $1000$, $4$, $100$, $2$, $10$, $5$)
В этой записи два раза используется иероглиф $«2»$, и в каждом случае он принимает разные значения $«2000»$ и $«20»$.
$2cdot 1000 + 4cdot 100 + 2cdot 10 + 5 = 2425$
Для аддитивной («добавительной») системы необходимо знать все цифры-символы и их значения (их бывает до 4-5 десятков), а также порядок записи. Например, в латинской записи если меньшая цифра записана перед большей, то производится вычитание, а если после, то сложение:
$IV = 5–1 = 4$
$VI = 5+1 = 6.$
В непозиционных системах счисления величина, которую обозначает цифра, не зависит от положения в числе. При этом система может накладывать ограничения на положение цифр, например, чтобы они были расположены в порядке убывания.
К наиболее распространённым сегодня непозиционным системам счисления относятся римские цифры.
Биномиальная система счисления
Представление числа в системе остаточных классов основано на понятии вычета и китайской теореме об остатках. С ОК определяется набором попарно взаимно простых модулей с произведением так, что каждому целому числу из отрезка ставится в соответствие набор вычетов , где
При этом китайская теорема об остатках гарантирует однозначность представления для чисел из отрезка
В СОК арифметические операции (сложение, вычитание, умножение, деление) выполняются покомпонентно, если про результат известно, что он является целочисленным и также лежит в
Недостатками СОК является возможность представления только ограниченного количества чисел, а также отсутствие эффективных алгоритмов для сравнения чисел, представленных в СОК. Сравнение обычно осуществляется через перевод аргументов из СОК в смешанную систему счисления по основаниям .
Система счисления Штерна-Броко
Система счисления Штерна-Броко — способ записи положительных рациональных чисел, основанный на дереве Штерна-Броко.
Позиционные и непозиционные системы счисления
Все известные системы счисления делятся на:
Непозиционные системы счисления появились задолго до позиционных. Последние являются, в свою очередь, результатом длительного исторического развития непозиционных систем счисления.
В непозиционных системах вес цифры не зависит от ее позиционирования в числе. Так, например, в римской системе счисления в числе $XXI$ (двадцать один) вес цифры $X$ в обеих позициях равен $10$.
Отличительным признаком непозиционной системы счисления является отсутствие в ней цифры $0$. При разработке правил выполнения арифметических действий с числами возникла необходимость введения символа $«0»$, который впоследствии стал иметь большое значение при совершенствовании способов представления чисел. Именно с появлением $0$ в наборе символов, являющихся цифрами, и связывают возникновение позиционных систем счисления, в которых вес каждой цифры соответствует занимаемой ею позиции в последовательности цифр, изображающих число.
Например, запись $56$ означает, что это число можно составить из $6$ единиц и $5$ десятков. Если поменять позиции цифр, можно получить другое число – $65$, содержащее $6$ десятков и $5$ единиц. Вес цифры $5$ уменьшился в $10$ раз, а вес цифры $6$ в $10$ раз вырос.
В любой позиционной системе счисления число представляется как многочлен. Например, представим десятичное число $4367$ в виде многочлена:
$4367 = 4000 + 300 + 60 + 7 = 4cdot 103 + 3cdot 102 + 6cdot 101 + 7cdot 100$,
где $10$ – основание десятичной системы.
Важной характеристикой любой позиционной системы является ее основание, которое представляет собой количество разных знаков либо символов, использующихся в изображении цифр в данной системе. Основание системы используется для описания ее количественных характеристик.
Позиционные системы счисления бывают:
На основе двоичной системы счисления построена работа всей вычислительной техники, поскольку цифра $0$ означает отсутствие сигнала, т.е. «выключено», а $1$ обозначает, что сигнал пошел, т.е. состояние «включено».
Восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления также используются в вычислительной технике (например, для организации передачи данных внутри компьютера).
Десятичная система счисления используется нами в повседневной жизни, это наша «арабская» система счета, в основании которой лежат цифры от $0$ до $9$.
История появления этих чисел достаточно запутана. Доподлинно известно, что они появились благодаря древним астрономам, а именно – их точным расчетам.
Как известно, в вавилонской системе счисления имелся знак, обозначающий пропущенный разряд. Во $II$ веке до н.э. с этими наблюдениями познакомились греческие астрономы. Они стали использовать данную систему счисления, однако целые числа изображали не клиньями, как вавилонцы, а в алфавитной нумерации (дроби в вавилонской шестидесятеричной системой счисления). Нулевой разряд греческие астрономы изображали символом $«0»$ (первая буква греческого слова Ouden – ничто).
На рубеже $II$ и $VI$ веков н.э. индийские астрономы заимствовали у греческих шестидесятеричную систему и изображение круглого греческого нуля. Индийцы совместили принципы греческой нумерации с китайской десятичной мультипликативной системой. При этом они стали обозначать цифры одним знаком, как было принято в древнеиндийской нумерации брахми, что явилось завершающим этапом в создании десятичной системы счисления.
Превосходная работа индийских математиков была воспринята арабскими учеными, и Аль-Хорезми в $IX$ веке написал книгу «Индийское искусство счета», в которой описывает десятичную позиционную систему счисления. Простые и удобные правила сложения и вычитания больших чисел, записанных в позиционной системе, сделали ее очень популярной среди европейских купцов.
В $XII$ в. Хуан из Севильи перевел на латынь книгу «Индийское искусство счета», и индийская система счета широко распространилась по всей Европе. А поскольку работа Аль-Хорезми была написана на арабском языке, то за индийской нумерацией в Европе закрепилось неверное название – «арабская». Сами же арабы называют цифры индийскими, а арифметику, основанную на десятичной системе – индийским счетом.
Написание «арабских» цифр со временем претерпевало изменения. Написание, используемое нами, установилось в $XVI$ веке.
Достаточно широко раньше использовалась двенадцатеричная система счисления. Она произошла от счета на пальцах. Счет вели большим пальцем руки, используя фаланги других четырёх пальцев: всего их $12$.
Элементы данной системы используются и в наше время в Англии в системе мер ($1$ фут = $12$ дюймам) и в денежной системе ($1$ шиллинг = $12$ пенсам). Нередко встречаются в быту элементы двенадцатеричной системы счисления: чайные и столовые сервизы на $12$ персон.
Числа в английском языке от $1$ до $12$ имеют свое название, последующие числа являются составными:
Для чисел от $13$ до $19$ – окончание слов – $teen$. Например, $15$ – $fiveteen$.
Основным достоинством позиционных систем счисления является возможность записи больших чисел посредством малого количества цифр, а также упрощение выполнения арифметических действий с числами.
Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу
Поиск по теме
Смешанные системы счисления
Смешанная система счисления является обобщением -ичной системы счисления и также зачастую относится к позиционным системам счисления. Основанием смешанной системы счисления является возрастающая последовательность чисел , и каждое число в ней представляется как линейная комбинация:
, где на коэффициенты , называемые как и прежде цифрами, накладываются некоторые ограничения.
Записью числа в смешанной системе счисления называется перечисление его цифр в порядке уменьшения индекса , начиная с первого ненулевого.
В зависимости от вида как функции от смешанные системы счисления могут быть степенными, показательными и т. п. Когда для некоторого , смешанная система счисления совпадает с показательной -ичной системой счисления.
Наиболее известным примером смешанной системы счисления является представление времени в виде количества суток, часов, минут и секунд. При этом величина « дней, часов, минут, секунд» соответствует значению секунд.
Факториальная система счисления
В факториальной системе счисления основаниями являются последовательность факториалов , и каждое натуральное число представляется в виде:
, где
Факториальная система счисления используется при декодировании перестановок списками инверсий: имея номер перестановки, можно воспроизвести её саму следующим образом: номер перестановки (нумерация начинается с нуля) записывается в факториальной системе счисления, при этом коэффициент при числе будет обозначать число инверсий для элемента в том множестве, в котором производятся перестановки (число элементов меньших , но стоящих правее его в искомой перестановке).
Пример: рассмотрим множество перестановок из 5 элементов, всего их 5! = 120 (от перестановки с номером 0 — (1,2,3,4,5) до перестановки с номером 119 — (5,4,3,2,1)), найдём перестановку с номером 100:
положим — коэффициент при числе , тогда , , , , тогда: число элементов меньших 5, но стоящих правее равно 4; число элементов меньших 4, но стоящих правее равно 0; число элементов меньших 3, но стоящих правее равно 2; число элементов меньших 2, но стоящих правее равно 0 (последний элемент в перестановке «ставится» на единственное оставшееся место) — таким образом, перестановка с номером 100 будет иметь вид: (5,3,1,2,4)
Проверка данного метода может быть осуществлена путём непосредственного подсчёта инверсий для каждого элемента перестановки.
Фибоначчиева система счисления
Фибоначчиева система счисления основывается на числах Фибоначчи. Каждое натуральное число в ней представляется в виде:
, где — числа Фибоначчи, , при этом в коэффициентах есть конечное количество единиц и не встречаются две единицы подряд.
Единичная система счисления
Необходимость в записи чисел стала возникать у людей еще в древности после того, как они научились считать. Свидетельством этого являются археологические находки в местах стойбищ первобытных людей, которые относятся к периоду палеолита ($10$-$11$ тыс. лет до н.э.). Изначально количество предметов изображали, используя определенные знаки: черточки, насечки, кружочки, нанесенные на камни, дерево или глину, а также узлы на веревках.
Ученые эту систему записи чисел называют единичной (унарной), поскольку число в ней образовано повторением одного знака, который символизирует единицу.
Позднее, чтобы облегчить счет, эти знаки люди стали объединять.
С примерами использования единичной системы счисления можно встретится и в нашей жизни. Например, маленькие дети пытаются изобразить на пальцах сколько им лет, или же счетные палочки используют для обучения счету в первом классе.
Единичная система не совсем удобна, так как записи выглядят очень длинно и их нанесение довольно утомительно, поэтому со временем стали появляться более практичые в использовании системы счисления.
Вот некоторые примеры.
Алфавитные системы счисления
Данные системы счисления более совершенны. К ним относятся греческая, славянская, финикийская, еврейская и другие. В этих системах числа от $1$ до $9$, а также количество десятков (от $10$ до $90$), сотен (от $100$ до $900$) были обозначены буквами алфавита.
У славянских народов числовые значения букв устанавливались в соответствии с порядком славянского алфавита, использовавшего изначально глаголицу, а затем кириллицу.
Алфавитная система использовалась и в древней Руси. До конца $XVII$ века в качестве цифр использовались $27$ букв кириллицы.
Непозиционные системы счисления имеют ряд существенных недостатков:
В позиционных системах счисления один и тот же числовой знак (цифра) в записи числа имеет различные значения в зависимости от того места (разряда), где он расположен. Изобретение позиционной нумерации, основанной на поместном значении цифр, приписывается шумерам и вавилонянам; развита была такая нумерация индусами и имела неоценимые последствия в истории человеческой цивилизации. К числу таких систем относится современная десятичная система счисления, возникновение которой связано со счётом на пальцах. В средневековой Европе она появилась через итальянских купцов, в свою очередь заимствовавших её у арабов.
Под позиционной системой счисления обычно понимается -ичная система счисления, которая определяется целым числом , называемым основанием системы счисления. Целое число без знака в -ичной системе счисления представляется в виде конечной линейной комбинации степеней числа :
, где — это целые числа, называемые цифрами, удовлетворяющие неравенству
Каждая степень в такой записи называется весовым коэффициентом разряда. Старшинство разрядов и соответствующих им цифр определяется значением показателя (номером разряда). Обычно в записи ненулевых чисел начальные нули опускаются.
Если не возникает разночтений (например, когда все цифры представляются в виде уникальных письменных знаков), число записывают в виде последовательности его -ичных цифр, перечисляемых по убыванию старшинства разрядов слева направо:
Например, число сто три представляется в десятичной системе счисления в виде:
Наиболее часто употребляемыми в настоящее время позиционными системами являются:
В позиционных системах чем больше основание системы счисления, тем меньшее количество разрядов (то есть записываемых цифр) требуется при записи числа.
Системы счисления. Позиционные система счисления
Большое
количество недостатков непозиционных
систем счисления привело людей к
открытию позиционного принципа. Системы
счисления, основанные на позиционном
принципе возникли независимо одна от
другой в древнем Междуречье (Вавилоне),
у племени Майя и в Индии.
В
древнем Вавилоне примерно во II тысячелетие
до нашей эры была такая система счисления
– числа менее 60 обозначались с помощью
двух знаков для единицы, и для десятка.
Современная десятичная система счисления
возникла приблизительтно в V веке н.э.
в Индии. Возникновение этой системы
стало возможным после величайшего
открытия – цифры “0” для обозначения
отсутствующей величины.
Индийцы познакомились с греческой и
вавилонской системой счисления примерно
между II и VI вв н.э. В это время индийцы
использовали десятичную мультипликативную
систему счисления. Они соединили ее с
принципами нумерации чисел греческих
астрономов.
С
возникшей в Индии десятичной системой
счисления первыми познакомились арабы
и завезли эту систему в Европу. С тех
пор цифры, используемые для записи
чисел в десятичной системе счисления,
называют арабскими.
Позиционные
системы счисления – это системы, в
которых количественные значения цифр,
используемых для записи чисел, зависят
от их положения.
Наиболее
распространенными в настоящее время
позиционными системами счисления
являются десятичная, двоичная, восмеричная
и шестнадцатиричная.
Основными
характеристиками позиционной системы
счисления являются алфавит цифр и
основание.
Алфавит
системы счисления – это
совокупность всех цифр, используемых
в системе счисления.
Основание системы счисления – количество
цифр, используемое для представления
чисел.
Основанием может
быть любое натуральное число.
В
позиционных системах счисления один
и тот же знак может обозначать различные
числа в зависимости от позиции занимаемой
этим знаком в записи числа. Например,
запись «5555» в десятичной системе
счисления обозначает число «пять
тысяч
пятьсот пятьдесят пять» с помощью
одного знака, одной цифры 5, повторенной
четыре раза, и каждая из этих четырех
пятерок обозначает число, отличное от
других, в зависимости от позиции знака
5 в этой записи: крайняя правая – число
пять, вторая справа – число пятьдесят,
третья справа – число пятьсот и, наконец,
первая слева – число пять тысяч.
Унарная система счисления
Под унарной системой счисления понимается метод отображения числовых значений, основанный на единственном цифровом символе.
Согласно данным историков, неизвестны древние цивилизации, которые бы применяли такую примитивнейшую систему для вычислительных операций, однако подтверждён такой факт, что унарная система счисления была положена в основу почти всех представлений о числах в древние времена. В качестве примера можно взять древний Египет. Там унарную систему применяли, чтобы считать от одного до десяти, а далее прибавляли новое обозначение для десятков и считали дальше, суммируя палочки. Когда счёт достигал сотен, опять применялся новый необходимый знак, и продолжали далее. Римская система тоже в своей основе имела унарную систему. Правильность такого вывода можно подтвердить, взглянув на первые три цифры: I, II, III. Истоки унарных систем счисления можно найти и у цивилизаций востока. Например, чтобы посчитать что-либо древние китайцы, японцы и корейцы по аналогии с римской системой, вначале применяли унарные методы счёта, а впоследствии добавляли новую символику.