Роль проблемных заданий в обучении математике
Мокрушина О. Г.
Основная задача общеобразовательной школы состоит не только в том, чтобы дать учащимся глубокие знания, но и в том, чтобы научить их самостоятельно решать возникающие вокруг задачи, творчески мыслить. « Повторять слова учителя – не значит быть его продолжателем», – говорил Д. И. Писарев
Увеличение умственной нагрузки на уроках математики заставляет задуматься над тем, как поддержать интерес учащихся к изучаемому материалу, их активность на протяжении всего урока. Возникновение интереса к математике у значительного числа учащихся зависит в большей степени от методики её преподавания, от того, насколько умело будет построена работа. Надо позаботиться о том, чтобы на уроках каждый ученик работал активно, и использовал это как отправную точку для возникновения и развития любознательности, глубокого познавательного интереса.
Пассивное изучение математики, как серьёзный недостаток можно исправить с помощью проблемного обучения. Важно отметить: без проблемной составляющей урока личностно ориентированного образования не бывает. Проблема – это всегда препятствие. Преодоление препятствий – движение, неизменный спутник развития.
Проблемное обучение позволяет ставить ученика в позицию исследователя, учит его анализировать ситуацию, обосновывать её, пробуждать у него интерес к ещё нерешенным задачам.
«Просто «думать» не умеет никто. Думать можно только над конкретным вопросом. Умение решать задачи в большей степени сводится к обучению тому, над чем надо думать в ходе решения.
есть психологическая реакция ученика на появление противоречия, то есть она характеризует определённое психологическое состояние субъекта, возникающее в процессе выполнения такого задания, которое требует открытия и усвоения новых заданий.
Психологами доказано, что мышление возникает в проблемной ситуации и направлено на её разрешение.
характеризует определённое психологическое состояние учащегося, возникающее в процессе выполнения задания, для которого нет готовых средств и которое требует усвоения новых знаний о предмете, способах или условиях выполнения задания.
может вызвать состояние эмоционального подъёма активности школьника, интереса к обучению, адекватной оценки учениками своих интеллектуальных возможностей.
Создание проблемной ситуации
Психологи утверждают, что существуют следующие правила создания проблемной ситуации:
означает, что в ходе деятельности человек натолкнулся на что-то непонятное, неизвестное. Возникшая проблемная ситуация затем переходит в осознаваемую человеком задачу.
это довольно смутное, ещё не очень ясное и малоосознаваемое впечатление, как бы сигнализирующее, что что-то не так, что-то не то. Процесс мышления начинается с анализа этой проблемной ситуации. В результате возникает, формируется задача (проблема).
Проблемная ситуация может создаваться на всех этапах процесса обучения: при объяснении, закреплении, контроле. Учитель создает проблемную ситуацию, направляет учащихся на ее решение, организует поиск решения. Таким образом, ребенок становится в позицию своего обучения и как результат у него образуются новые знания, он овладевает новыми способами действия.
Задачи для 1-го этапа урока ( у учащихся еще нет готового алгоритма действий. Для выполнения задания они применяют имеющийся опыт, опираются на интуицию и известные знания). На выполнение каждого задания – не более 5-7 мин.
Согласны ли вы с предложенным решением выпускника 11 класса:
Обоснуйте свой выбор.
Первый мастер шьет шубу за 5 дней, а второй – за 3 дня. Верно ли, что вдвоем оба мастера сошьют шубу за 4 дня. Почему?
3. (8-Область допустимых значений)
Ученик составил таблицу значений функции
Затем построил точки по найденным их координатам, соединил их отрезками прямых, получил график. Найдите ошибки. Что нужно сделать, чтобы устранить ошибки?
4. (8-Свойства площадей фигур)
Окна в вагонах метро имеют форму, изображенную на рисунке. Закругления верхних углов рамы и стекла обычно в виде дуги окружности. Окно приоткрыли, сдвинув стекло на 10 см. высота подвижной части окна равна 25 см. Чему равна площадь открытой части окна?
Какой гвоздь крепче держится в деревянной стене(труднее вытащить из стены) – круглый, квадратный или треугольный, если забивать их на одну глубину и площади их поперечных сечений равны?
6 .(7-Равнобедренный треугольник)
Один из углов равнобедренного треугольника содержит 38°. Какой это треугольник: остроугольный или тупоугольный?
7. (7-Степень с натуральным показателем)
Что больше: а
8 .( 6 – Положительные и отрицательные числа0
Что больше: а или 2а?
Натуральные числа от 1 начинают выписывать подряд. Какая цифра стоит на 2014-м месте?
10.(6 – Простые и составные числа)
Постройте всевозможные варианты прямоугольников с площадью, равной 1,2,3, 4,5, 6, 7, 8,9,10. Проанализируйте результаты, проведите классификацию предложенных чисел, укажите критерий.
11. (7-Неравенство треугольника)
Постройте треугольники со сторонами 10,2,4 ; 5,11,8; 6,4,2. Всегда ли можно построить треугольник с тремя заданными сторонами? Какому условию должны удовлетворять эти числа?
Два туриста, стоя на краю каньона, бросают камни весом 300 г и 500 г вниз. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определите, чей камень окажется на дне быстрее. Глубина каньона равна 1500м.
13. (6-Признаки делимости)
Ковбой Джо зашел в бар и попросил у бармена бутылку виски за 3 доллара, рубку за 6 долларов, 3 пачки табаку и 9 коробок непромокаемых спичек, цену которых он не знал. Бармен потребовал 11 долларов 80 центов(в одном долларе 100 центов), на что Джо вытащил револьвер . Бармен сосчитал снова и исправил ошибку. Как Джо догадался, что бармен пытался его обсчитать?
14. (9-Тождественные преобразования)
Два ученика решили уравнение 5х
Решение первого ученика:
х=0 или х=6. Ответ: х=0,х=6.
Решение второго ученика:
Возведем обе части уравнения в квадрат: 2х
2х(х-6) (х+6)=0. Ответ: х=0, х=6, х=-6.
Которое решение выполнено правильно? Объясните допущенные ошибки.
Задачи для 2-го этапа урока (учащиеся уже владеют алгоритмом действий и применяют его в нестандартной («неучебниковой» ) ситуации). На выполнение задания не более 15 мин.
Два поселка А и В расположены по разные стороны и на разных расстояниях от берегов реки. Где следует устроить переходный мост через речку, чтобы он одинаково отстоял от обоих поселков? (Берега реки считайте параллельными прямыми).
На одном и том же берегу реки, на разных расстояниях от нее, расположены два села А и В. Где следует построить мост через реку, чтобы он отстоял от этих сел на одном и том же расстоянии?
Дан угол в 54°. Как с помощью циркуля и линейки разделить его на три равных угла?
Дан угол в 36°. Как с помощью циркуля и линейки построить угол в 99°?
На противоположных берегах реки напротив друг друга растут две пальмы. Высота одной из них 10 м , другой – 15 м, расстояние между основаниями пальм 25 м. На верхушке каждой пальмы сидит птица. Внезапно птицы заметили рыбу, выплывшую на поверхность реки между пальмами. Птицы бросились к рыбе и достигли ее одновременно. На каком расстоянии от основания более высокой пальмы выплыла рыба?
Школьники Вадик и Саша увидели весы и взвесили на них свои портфели. Весы показали 3 кг и 2 кг. Когда они поставили на весы оба портфеля, то весы показали 6 кг.
— Как же так? – воскликнул Саша.—Два плюс три не равняется шести?
— Разве ты не видишь?—ответил Вадик.—У весов сдвинута стрелка.
Так сколько же весили портфели на самом деле?
Определить высоту дерева, если длина его тени 10,2 м, а длина тени человека, рост которого 1,7 м, равна 2,5 м.
Найдите площади следующих фигур, считая сторону одной клетки равной 1 см.
Две водопроводные трубы одного и того же диметра нужно заменить одной трубой с той же пропускной способностью. Каким должен быть диаметр этой трубы по сравнению с диаметром каждой из заменяемых труб?
За длину окружности вавилоняне принимали периметр вписанного в эту окружность правильного шестиугольника. Найти приближение для числа π, которым пользовались вавилоняне.
Задачи для выполнения дома (даются с целью активизации познавательной деятельности, развития творческого мышления, подготовки к рассмотрению нового материала). На выполнение – до 7 дней.
Когда создатель шахмат, древнеиндийский мудрец и математик Сисса бен Дахир, показал своё изобретение Правителю страны, тому так понравилась игра, что он позволил изобретателю право самому выбрать награду. Мудрец попросил у Повелителя за первую клетку шахматной доски заплатить ему одно зерно пшеницы (по другой версии — риса), за второе — два, за третье — четыре и т. д., удваивая количество зёрен на каждой следующей клетке. Правитель, не разбиравшийся в математике, быстро согласился, даже несколько обидевшись на столь невысокую оценку изобретения, и приказал казначею подсчитать и выдать изобретателю нужное количество зерна. Однако, когда неделю спустя казначей всё ещё не смог подсчитать, сколько нужно зёрен, правитель спросил, в чём причина такой задержки. Казначей показал ему расчёты и сказал, что расплатиться невозможно, поскольку количество зерна превышает весь урожай пшеницы, собранный за всю историю человечества. Сколько всего зерен должен был отдать Повелитель мудрецу?
Представьте письменный отчет по теме «Мой садовый участок» .
Представить схему расположения следующих объектов на участке:
2. 5 грядок общей площадью не более 400 кв. м;
3. 4 фруктовых дерева (на 1 дерево необходима площадь не менее 4 кв. м);
4. 5 ягодных кустарников.
Указать размеры домика, грядок. Вычислить площадь пола домика и боковую площадь. Определить стоимость требуемой краски для окрашивания домика снаружи, если 1кг краски стоит 80,3 руб. и на 4 кв. м расходуется 1 кг краски. Вычислить площадь грядок, площадь свободной территории, если площадь всего участка составляет 8 ар.
Расположить на участке бассейн, указать размеры, вычислить его площадь и объем.
Проложить кирпичные дорожки между грядками. Найти их общую площадь и требуемую сумму для покупки кирпича, если 1 кв. м кирпича стоит 272,4руб.
Найти периметр забора.
Найти требуемую сумму для закупки семян, если на 1кв. м почвы требуется 15 г семян, а 1 г семян стоит 14,8 руб.
Требуется поджарить 3 ломтика хлеба. На сковороде умещаются лишь два ломтика. На поджаривание ломтика с одной стороны требуется 1 мин. За какое кратчайшее время можно поджарить с двух сторон все три ломтика? (Время на перевертывание и перекладывание ломтиков можно в расчет не принимать).
Исследователю-путешественнику необходимо совершить шестидневный переход через бесплодную пустыню . Сам путешественник и сопровождающий его носильщик могут взять с собой каждый лишь четырехдневный запас пищи и воды для одного человека. Какое наименьшее число носильщиков потребуется для этого перехода?
Предполагается использовать 200000 р. на путевки в лагеря. Путевки имеются на 15, 27 и 45 дней, стоимость их соответственно 2100,4000 и 6000 руб. Сколько и каких путевок нужно купить, чтобы число дней отдыха было наибольшим?
Найдите значение выражения, если одинаковые буквы означают одинаковые цифры:
- Кульневич С. В., Лакоценина Т. П. Современный урок. Часть ІІІ: Проблемные уроки. – Ростов-н/Д: Учитель, 2005.
- Клименченко Д. В. Задачи по математике для любознательных.—М.,:Просвещение,1992.
- Нагибин Ф. Ф.,Канин Е. С. Математическая шкатулка. — М.,:Просвещение,1984.
- Занимательно о физике и математике. — М.,:Наука,1988.
Примеры проблемных ситуаций, используемых мною на уроках математики.
Создание
проблемных ситуаций через решение задач, связанных с жизнью.
Тема
«Периметр прямоугольника» ( 5 класс)
Семья
Коли летом переехала в новый дом. Им отвели земельный участок прямоугольной
формы. Папа решил поставить изгородь. Он попросил Колю сосчитать сколько
потребуется штакетника, для изгороди, если на 1 погонный метр изгороди
требуется 10 штук? Сколько денег потратит семья, если каждый десяток стоит 50
рублей.
:
нужно найти длину изгороди (периметр прямоугольника).
«Нахождение дроби от числа» (6 класс)
Решим
задачу: «Огород занимает 6 га земляного участка. На 2/3 огорода посажен
картофель. Какую часть всего земляного участка занимает картофель?» Можем ли мы
решить задачу? Как?
(6/3*2
= 4 (га))
Что
за ситуацию мы получили?
не знаем общего правила нахождения дроби от числа. Нужно вывести это правило.
Тема
“Площадь треугольника” (геометрия 8 класс)
«Три маляра должны покрасить
фронтон дома в форме прямоугольного треугольника со сторонами 3м и 4 м.
Хватит ли им 1 банки краски, если на ней написано: площадь покрытия 10г/кв.м.?»
Переведем задачу на математический язык:
«Найдите площадь S прямоугольного
треугольника, если один из катетов 3 м, а другой – 4 м» Отдельные
ученики догадались – зная формулу площади прямоугольника, смогут решить эту
задачу.
Первая проблемная ситуация
«Как вычислить площадь
прямоугольного треугольника, зная формулу для нахождения площади
прямоугольника?»
Дети предлагают: достроить
данный треугольник до прямоугольника.(если прямоугольный треугольник достроим
до прямоугольника, то мы получим два равных треугольника, которые равны по двум
катетам)
Вычисляют площадь прямоугольника, а
затем находят площадь прямоугольного треугольника.
Вторая проблемная ситуация: всегда ли можем
использовать получившуюся формулу , если треугольники бывают разной формы?
Задача: «Найти площадь любого
остроугольного треугольника.»
При помощи наводящих вопросов
ученики находят способ. Они предлагают достроить остроугольный треугольник до
параллелограмма.
Доказываем,
что полученные 2 треугольника равны по 3-му признаку равенства треугольников.
Вспоминаем
формулу площади параллелограмма;
Выводим
формулу площади любого остроугольного треугольника ;
Отвечаем
на вопрос задачи: площадь любого остроугольного треугольника равна половине
произведения его основания на высоту.
:
«Найти площадь любого тупоугольного треугольника».
С этой проблемой ученики
справляются быстро.
«Найти
площадь произвольного треугольника”. Проанализировав все случаи, сделайте
вывод.
Вопрос: «Чему
равна площадь произвольного треугольника?»
Предполагаемый
ответ учеников: «Площадь произвольного треугольника равна половине
произведения его основания на высоту.»
Тема: «Площадь прямоугольника» ( 5 класс)
На
прошлом уроке ребята мы измеряли длину и ширину нашего класса и по формуле,
нашли его периметр. Р== (6+9)·2=30м. Помните!
Посмотрите,
пожалуйста, на пол. Линолеум износился, много чёрных полос. Вам нравится? Мне
тоже не нравится. Я думаю, что летом нам нужно обязательно постелить новый
линолеум. Давайте с вами посчитаем, сколько денег нужно будет собрать с каждого
родителя на замену линолеума, если 1 погонный метр стоит 800 рублей. Проблемная
ситуация. Для решения этой задачи нам нужно найти площадь пола (площадь
прямоугольника).
10 класс тема «Возрастание и убывание
функций». До объявления темы урока предложить учащимся решение двух уравнений:
х3 =
27 х2
= 9
х3 =33
х2 = 32
х =
3 х = 3
Уравнения решены одним и
тем же способом и относятся к одному классу. Верно ли решены уравнении? (Второе
уравнение решено неверно, кроме корня 3 имеет еще корень х = -3). У учащихся
возникает вопрос почему? Решая эти уравнения мы выяснили при каких значениях
аргумента х функция х3 принимает значение 27, а функция х2
– значение 9? Результаты получились различные. В чем же дело? Очевидно дело в
функциях х3 и х2. Вероятно, что между функциями и х2,
которые относятся к одному классу функций существует весьма существенное
различие? Для его отыскания ученикам предлагается начертить схематически
графики функций и выяснить сколько раз функция х3 может принимать
значение равное 27, а х2 – значение 9? После этого ученики легко
видят, что каждое свое значение х3 принимает только один раз, что
нельзя сказать о функции х2. Вспоминают как называются такие
функции. Затем сообщается тема урока и идет работа над определениями
возрастающей и убывающей функций.
Создание
проблемных ситуаций через выполнение практических заданий.
Тема «Площадь прямоугольника» .(5 класс)
На
уроке технологии Дима выпиливал лобзиком и получил различные остатки фанеры. В
каком из остатков выбрасывается фанеры больше?
Проблемная
ситуация. Нужно найти площадь данной фигуры.
Вывод:
разбить фигуру на прямоугольники, найти площадь каждой части и сложить (один из
вариантов)
Тема «Координатная плоскость» (6 класс)
На этапе активного и осознанного усвоения нового материала, а также на этапе
закрепления применяю практические работы «Животные на плоскости», «Астрономия
и координатная плоскость». Ребята строят точки по координатам и рисуют животных
и созвездия, затем рассказывают про них. Также выполняют творческие работы,
сами предлагают свои рисунки и по ним составляют задания.
Темы: «Построение треугольника по трем элементам»,
Теорему о неравенстве треугольника вводим при изучении темы «Построение
треугольника по трем элементам», решая задачу на построение треугольника по
трем его сторонам. Предлагаем ученикам построить с помощью циркуля и линейки
треугольник со сторонами: а) 5см; 6см; 7см; б) 9см; 5см; 6см; в) 1см;
2см; 3см; г) 3см; 4см; 10см.
Ребята работают самостоятельно и приходят к тому, что построить треугольник
в последних двух примерах не удается. Возникает проблема: «При каких же
условиях существует треугольник»? Чертежи, полученные учащимися при решении
этой задачи, дают возможность легко сделать вывод: «Каждая сторона
треугольника меньше суммы двух других сторон». Доказываем полученную теорему.
Создание
проблемных ситуаций через решение задач на внимание и сравнение
Тема
«Сумма углов треугольника» (7 класс):
1) Построить треугольник по трем заданным
углам:
2) Два угла треугольника равны 118º и
62º. Найти величину третьего угла.
Тема:
«Площадь трапеции». (8 класс)
При выводе формулы для вычисления площади трапеции учитель предлагает учащимся
воспользоваться ранее изученными формулами для вычисления площади
прямоугольника, параллелограмма, треугольника, свойствами площадей.
Ребята предлагают различные способы:
а) провести диагональ и найти площадь трапеции как сумму площадей двух
треугольников;
б) провести две высоты и найти площадь трапеции как сумму площадей
прямоугольника и двух прямоугольных треугольников;
в) провести прямую, параллельную боковой стороне трапеции и найти площадь
трапеции как сумму площадей параллелограмма и треугольника.
Тема: «Четырехугольники». (8 класс)
К моменту изучения темы «Квадрат» учащимся знакомы такие виды
четырехугольников как прямоугольник, ромб и их свойства. Прошу учащихся
сформулировать определение квадрата. На что они дают два разных определения:
«Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны» или
«Квадратом называется ромб, у которого все углы прямые». Оба определения
верные. Обсуждаем, почему имеет право быть каждое из них.
Создание
проблемных ситуаций через умышленно допущенные учителем ошибки
Тема
«Линейные уравнения с одной переменной» (6
класс)
Решаю быстро уравнение:
(3х + 7) × 2 – 3 = 17
6х + 14 – 3 = 17
6х = 17 – 14 – 3
6х = 0
При проверке ответ не сходится.
Проблемная ситуация. Ищем ошибку. Дети решают проблему.
Создание
проблемных ситуаций через противоречие нового материала старому, уже известному
Пример № 8 Тема
«Формулы сокращённого умножения» (7 класс)
Вычисляем (2 × 5)²=
2² × 5² = 100
(3 ×
4)²= 3² × 4² = 9 × 16 = 144
(5 :
6)² = 5² : 6² = 25 : 36
(3 +
4)² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25
Попробуйте сосчитать по-другому.
( 3 + 4)² =7² = 49
Проблемная ситуация создана. Почему
разные результаты?
( 3 +4)² ≠ 3² +
4²
Создание
проблемных ситуаций через выполнение небольших исследовательских заданий.
Тема «Длина окружности» (6 класс)
Ещё
древние греки находили длину окружности по формуле – это диаметр
окружности.
Вопрос:
а что же такое
Работаем
в парах, выполняя необходимые измерения.
1. Опоясать
стакан ниткой, распрямить нитку, длина нитки примерно равна длине окружности
стакана. Чтобы получить более точный результат, нужно это проделать несколько
раз. Занесите данные в следующую таблицу.
2. Измерьте
диаметр стакана линейкой. Данные занесите в таблицу.
, как неизвестного множителя. Можно
пользоваться калькулятором.
4. Каждой
паре занести вычисленное значение в таблицу на доске.
это бесконечная дробь, современные машины
могут определить до миллиона знаков после запятой.
Для
того, чтобы легче запомнить цифры надо сосчитать количество букв в каждом
слове высказывания: «Это я знаю и помню прекрасно» или «Нужно только постараться
и запомнить всё как есть: три, четырнадцать, пятнадцать, девяносто два и
шесть!»
В
дальнейшей работе мы будем использовать значение
Исследование
проведено. На уроке кроме исследовательской работы удачно использовалась работа
в парах. Сотрудничество и взаимопомощь принесли желаемый результат. Проблема
решена.
7. Создание
проблемных ситуаций через использование занимательных заданий.
.
Тема: «Линейная функция»(7 класс)
найдите значение функции при = 0, 7, -5, 1.
Приглашаю к доске
ученика, даю ему карточку, на которой написано. На доске заготовлена таблица:
Ученик
из класса называет какое-нибудь значение х. Ученик у доски вписывает это
число в таблицу и, поставив его в формулу, находит и вписывает в таблицу
соответствующее ему значение у. Затем другой ученик из класса называет
другое значение х и ученик у доски проделывает те же операции. Задача
класса – “угадать” формулу, записанную на карточке. Проблемная ситуация
создана. Выигрывает тот ученик, который первый назовет формулу.
Тема: «Координатная плоскость» (6 класс)
В
начале урока учитель демонстрирует классу хорошо знакомые предметы, например,
шахматную доску, глобус, билет в театр. Учащимся предлагается ответить на
вопрос: «Что объединяет все эти предметы?».
Поиск
ответа можно начать с чтения отрывка из первой главы романа Ж. Верна «Дети капитана
Гранта».
После
окончания чтения учитель выстраивает подводящий диалог:
Почему
героям романа пришлось преодолеть столько километров пути в поисках пропавшей
экспедиции? – Не известно точное местонахождение героев.
Как
в географии описывается точно местонахождение объекта? – Указываются широта и
долгота (географические координаты).
Что
же общего у предметов, которые были предъявлены вам в начале урока? – Они
позволяют определить положение (место) человека в зрительном зале или фигуры на
шахматной доске.
Затем
учитель предлагает вернуться к математике и попробовать провести параллель
между объектами в географии и математике.
Как
описать положение точки на плоскости? – Ввести координаты на плоскости.
Какова
же тема урока? – Координаты на плоскости. ( На доске появляется тема урока)
Географические
координаты (широта и долгота) – это воображаемые окружности на поверхности
земного шара. Что можно взять на плоскости вместо окружностей? – Прямые.
Сколько
прямых и каково их взаимное расположение? – Две пересекающиеся прямые.
В
заключение диалога учитель подводит итог: «Наверное, таким же образом рассуждал
ещё один великий француз – Рене Декарт, когда предложил использовать две
взаимно перпендикулярные прямые для введения координат на плоскости. С тех пор
математики всего мира так и говорят – декартова система координат». ( На
слайде демонстрируется портрет Декарта)
Далее
на уроке рассматриваются типовые задачи (нахождение координат точки и
построение точки по заданным координатам) и выполняется задание «Рисуем по
координатам».
В
качестве домашнего задания можно предложить учащимся творческую работу
«Зашифруй рисунок», а также привести примеры из повседневной жизни, где мы
встречаемся с координатами на плоскости (артиллерия, домашний адрес).
Пример № 12. Тема: «Теорема, обратная теореме Пифагора» (8 класс)
Урок
начинается с рассказа о египетском треугольнике.
Развитие геометрии
было связано в том числе и с потребностями строительной техники. Так, еще
древним египтянам требовалось умение строить прямой угол. Этим занимались
работники – «натягиватели веревки», которые назывались так потому, что
построение осуществлялось с помощью веревки с завязанными узелками, длина
которой равнялась (3+4+5) единиц.
В землю вбивались
три кола, на которые и натягивалась веревка, так чтобы получился треугольник со
сторонами 3, 4 и 5 единиц. Египтяне знали, что угол между меньшими сторонами
будет прямым. Такой треугольник в математике до сих пор называется египетским. ( На доске –
рисунок прямоугольного треугольника со сторонами 3, 4 и 5 единиц)
Учитель
предлагает классу убедиться в верности построений древних египтян с помощью
теоремы, обратной теореме Пифагора.
В данный момент
урока уместно еще раз вспомнить:
о
строении любой теоремы (Дано – доказать; Условие – заключение),
о
связи между формулировками прямой и обратной теорем (условие и заключение
теорем «меняются местами»),
А
затем попросить учащихся самостоятельно сформулировать обратную теорему.
Обычно
учащиеся дают следующую формулировку: «Если квадрат гипотенузы равен сумме
квадратов катетов, то треугольник прямоугольный».
В
ходе беседы выясняем, что:
использовать
термины «катет» и «гипотенуза» нельзя,
вспоминаем,
что гипотенуза – большая сторона прямоугольного треугольника,
заменяем
слово «гипотенуза» словами «большая сторона», а «катеты» – на слова «две
другие стороны».
Учащиеся
корректируют данную ими ранее формулировку теоремы и получают: «Если квадрат
большей стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то
треугольник прямоугольный».
Осталось
только воспользоваться данной формулировкой, чтобы убедиться в том, что
треугольник со сторонами 3, 4 и 5 будет действительно прямоугольным.
. Тема: «Теорема Виета» (8 класс)
Урок
начинается с исторической зарисовки (на слайде – портрет Франсуа Виета).
век. Франция.
Адвокат и советник короля Генриха Франсуа Виет,
будучи выдающимся математиком, сумел раскрыть ключ шифра, состоявшего из 500
знаков, с помощью которого враги короля вели переписку с испанским двором. Но
среди математиков Виет известен своей теоремой о свойствах корней квадратного
уравнения.
Далее
учащимся предлагаются задания:
1) Запишите данные
уравнения в тетрадь и подчеркните те из них, которые имеют общее
отличие от остальных. Укажите это отличие.
а) – 5х – 6х + 1 = 0; б) 6 – 1 = 0; в)
х – 5х + 6 = 0;
г) 7х –
6х + 2 = 0; д) + 15 = 0; е)
– 4 = 0.
После выполнения этого задания даем
определение приведенного квадратного уравнения, записываем его в общем виде,
вводим обозначение коэффициентов.
2) Решите приведенные квадратные уравнения
и найдите сумму и произведение корней.
записываем только
условие приведенного квадратного уравнения, сумму и произведение корней:
Сравните
полученные числа и коэффициенты! Что интересного вы заметили?
Запишите это свойство для уравнения
На слайде: х +
Далее
учитель подводит итог работы: именно эту зависимость для любого квадратного
уравнения и увидел Франсуа Виет.
Теорема Виета для
квадратного уравнения общего вида:
Звучат стихи
Александра Гуревича, посвященные теореме Виета:
По праву достойна
в стихах быть воспета
О свойствах корней
теорема Виета.
Что лучше, скажи,
постоянства такого?
Умножишь ты корни
– и дробь уж готова,
В числителе «с»,
в знаменателе «а».
А сумма корней
тоже дроби равна,
Хоть с минусом
дробь эта, что за беда?
В числителе «», в знаменателе
«а»!
Тема: «Формулы сокращённого умножения»(7 класс)
Преступники
украли в банке большую сумму денег. Их поймали, но похищенную сумму установить
не удалось. Преступники категорически отказываются назвать её, утверждая, что
записали это число в виде степени и зашифровали не только основание, но и её
показатель. Экспертам удалось узнать основание степени. Это число 597. Но каким
был показатель не говорят. После очередного допроса преступники сказали, что
показатель степени является корнем уравнения
5972
= (600 – 3)2 =6002 -2 · 600 · 3 + 32 = 360000
– 3600 + 9 =356409
-первых
членов арифметической прогрессии» (9 класс)
Начать урок можно
с исторической зарисовки о детстве великого математика Карла Гаусса.
Попробуем
взглянуть на условие задачи с высоты наших знаний:
Что
требуется найти? – Сумму 100 первых членов. ( Вводим обозначение. На доске: -первых членов
арифметической прогрессии
Какова
будет тема урока? – Сумма -первых членов арифметической прогрессии.
На доске появляется тема урока и условие
задачи:
) – арифметическая прогрессия,
а = 1, а =
100,
Попробуйте
связать числа 101 и 50 с данными «нашей задачи». Что интересного вы заметили? –
101 = а + а,
50 = .
-первых членов
геометрической прогрессии. –
= (а +
а)·
= ·
Существует
еще одна формула суммы -первых членов геометрической прогрессии,
которую вы получите, если воспользуетесь формулой -члена
арифметической прогрессии а = а+ (
На доске появляются формулы:
Главный
фактор занимательности – это приобщение учащихся к творческому поиску,
активизация их самостоятельной исследовательской деятельности, так как
уникальность занимательной задачи служит мотивом к учебной деятельности,
развивая и тренируя мышление вообще и творческое, в
частности.
Пример № 16
-первых членов геометрической прогрессии» (9 класс)
Учитель
начинает урок с индийской легенды об изобретателе шахмат.
Рассказывают, что
индийский царь Шерам рассмеялся, услышав, какую награду попросил у него
изобретатель шахмат: за первую клетку шахматной доски 1 зерно, за вторую – 2,
за третью – 4, за четвертую – 8, и так до 64 клетки. Царь приказал немедленно
выдать столь «ничтожную» по его мнению, награду, взяв зерно из кладовых дворца.
Каково же было его удивление, когда на следующее утро он узнал, что в кладовых
дворца нет требуемого количества зерен. Не оказалось его и во всем царстве
Шерама! А мудрецы, которым царь велел исчислить требуемое количество зерен,
утверждали, что если бы удалось засеять пшеницей площадь всей поверхности
Земли, считая и моря, и океаны, и горы, и пустыни, и получить удовлетворительный
урожай, то, пожалуй, лет за пять Шерам смог бы рассчитаться с просителем. Как
вы считает – стоило ли ему смеяться?
Какое
же количество зерен потребовал изобретатель шахмат? Попробуйте и вы ответить на
этот вопрос! (Учащимся дается 5 минут на решение задачи.)
Вы
смогли выполнить задание? В чем затруднение? – Нет. Очень долго считать.
Какой
возникает вопрос? – Нельзя ли упростить решение? Нет ли формулы?
Давайте
«переведем» содержание задачи на язык математики, чтобы понять какую формулу мы
хотим получить. – Число зерен, которые потребовал мудрец за каждую клетку,
образуют геометрическую прогрессию, в которой всего 64 члена (по числу клеток
шахматной доски), первый член равен 1, а знаменатель 2. Нужно найти сумму
Какова
же тема урока? – Формула суммы -первых членов геометрической прогрессии.
На доске
появляется тема урока и условие задачи.
) – геометрическая прогрессия,
Далее
учащиеся под руководством учителя выводят формулу -первых членов
геометрической прогрессии.
Пример № 17. Тема
«НОК и НОД» (6 класс)
В легенде рассказывается, что, когда один
из помощников Магомета – мудрец Хозрат Али садился на коня, подошедший человек
спросил его:
– Какое число делится без остатка на 2, 3,
4, 5, 6, 7, 8, 9?
– Умножь число дней в неделе на число дней
в месяце (считая, что в месяце 30 дней) и на число месяцев в году. Прав ли
Хозрат Али? Почему?
Таким образом,
технология проблемного обучения на уроках математики – это способ достижения
цели через детальную разработку проблемы, которая должна завершиться вполне
реальным, осязаемым практическим результатом.
– рост мотивации к
изучению предмета;
– увеличение
количества участников и победителей олимпиад, математических конкурсов;
– рост качества
знаний учащихся
– методическая разработка серии уроков по
алгебре в 10 классе.