ЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ

Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами — обыкновенное дифференциальное уравнение вида:

Квадра́тное уравне́ние — алгебраическое уравнение второй степени с общим видом

в котором — неизвестное, а коэффициенты , и — вещественные или комплексные числа.

Корень уравнения — это значение неизвестного , обращающее квадратный трёхчлен в ноль, а квадратное уравнение в верное числовое равенство. Также это значение называется корнем самого многочлена

Полным называют такое квадратное уравнение, все коэффициенты которого отличны от нуля.

Неполным называется такое квадратное уравнение, в котором хотя бы один из коэффициентов, кроме старшего (либо второй коэффициент, либо свободный член), равен нулю.

Квадратное уравнение является разрешимым в радикалах, то есть его корни могут быть выражены через коэффициенты в общем виде.

(a = 4);

(b = -3);

(c = 1).

Корни квадратного уравнения вычисляют по формулам:

,  где (D =)

b2
−4ac

(D) называется дискриминантом.

По значению дискриминанта можно определить количество корней квадратного уравнения.

Если (D < 0) (отрицательный), то у уравнения нет действительных корней.

Если (D = 0), то у уравнения два равных корня.

Приведённое квадратное уравнение (коэффициент при

равен

, т. е. (а = 1))

можно решить с помощью обратной теоремы Виета:

Неполные квадратные уравнения

Неполные квадратные уравнения имеют

вида:

1. если (c = 0), то

2. если (b = 0), то

Неполные квадратные уравнения можно решать с помощью формул дискриминанта, но рациональнее выбрать специальные способы:

можно решить, разложив на множители (вынести за скобку (x))

(x = 0)  или (ax+b=0).     Значит, один корень равен (0), а второй корень

(т. к. произведение двух чисел равно (0) только тогда, когда хотя бы один из множителей равен (0)).

Ответ: (x = 0);  (x = 15).

можно решить, извлекая корень из каждой части уравнения.

; (обе стороны делятся на (a))

x2=−ca
−ca

.   Извлекая корень из правой части уравнения, получаем (x) по модулю.

Это значит, что

из этого следует, что

У уравнения нет решения, т. к. квадратный корень из отрицательного числа не имеет смысла (также известно, что число во второй степени не может быть отрицательным).

МБОУ СОШ № 114 с углубленным изучением математики г. Барнаул Чуркина М. В. у читель математики Применение свойств коэффициентов квадратного уравнения при решении уравнений в заданиях ЕГЭ

Свойства коэффициентов квадратного уравнения Пусть ах² + bх + с = 0, где а ≠ 0 – квадратное уравнение Если а + b + с = 0, то х 1 = 1, х 2 = Если а – b + с =0 ( а + с = b), то х 1 = – 1, х 2 =

1 ) х² – 3х + 2 = 0 Если a + b + c = 1 +(- 3) + 2 = 0, то х 1 = 1, х 2 = 2 2) х² + 3х +2 = 0 Если a – b + c = 1 – 3+ 2 = 0, то х 1 = -1, х 2 = – 2 3 ) 76х² + 69х – 7= 0 Если a – b + c =76 – 69 – 7= 0, то х 1 =-1 , х 2 =-(- ) = 4 ) х² – 2015х + 2014 = 0 Если a + b + c =1 – 2015 + 2014=0 , то х 1 =1,х 2 =2014

5) Решите биквадратное уравнение a – b + c = 4 – 5 + 1 = 0, тогда = – 1, = – Ответ: корней нет 83(х+3)² – 97(х+3) + 14 = 0 a + b + c = 83 – 97 + 14 = 0 , тогда х + 3 = 1 х + 3= х 1 = – 2 х 2 = – 2

Трансцендентное уравнение — уравнение, не являющееся алгебраическим. Трансцендентное уравнение –это уравнение, содержащее показательные, логарифмические, тригонометрические, обратные тригонометрические функции. с os 3 x + 1,2 cos2x = 0 log² 5 x + 3 log 5 x + 7 = 0 cos2x – 8

7) cos²2x + 3cos2x + 2 = 0, тогда a – b + c = 1 – 3+ 2 = 0, cos2x = – 1 cos2x = -2. 2х = π + 2π k , kϵZ решений нет х = + π k , kϵZ 8) log² 5 x + 3 log 5 x + 2 = 0, тогда a – b + c = 1 – 3+ 2 = 0, тогда log 5 x = – 1 log 5 x = – 2 х = х =

Дано соотношение: Выразите a через b

Домашнее задание: Решите уравнения, используя свойства коэффициентов квадратного уравнения 1 ) х² + 18х – 19 = 0 2) х² – 18х – 19 = 0 3) 341 + 290х – 51 = 0 4) 4 – х + = 2 5) 2 arcsin²x – 7arcsinx + 5 = 0 Успехов!

называют уравнение вида

, где коэффициенты (a), (b), (c) — любые действительные числа, причём

Коэффициенты (a), (b), (c) имеют отдельные названия:

(a) называют первым коэффициентом, или старшим коэффициентом;

(b) — вторым коэффициентом, или коэффициентом при (x);

(c) — третим коэффициентом, или свободным членом.

Если старший коэффициент квадратного уравнения равен

, то такое уравнение называют

если старший коэффициент отличен от

, то квадратное уравнение называют .

имеет старший коэффициент, равный 

, поэтому оно неприведённое,

имеет старший коэффициент, равный 

, поэтому оно приведённое.

Квадратные уравнения также бывают полные и неполные.

квадратное уравнение — это квадратное уравнение, в котором присутствуют все три слагаемых; иными словами, это уравнение, у которого коэффициенты (b) и (c) не равны нулю.

квадратное уравнение — это квадратное уравнение, в котором отсутствуют некоторые слагаемые; иначе говоря, это квадратное уравнение, в котором хотя бы один из коэффициентов (b), (c) нулевой.

речи нет, этот член всегда присутствует в квадратном уравнении.

называют всякое значение переменной (x), при котором квадратный трёхчлен

обращается в нуль; такое значение переменной (x) называют также корнем квадратного трёхчлена.

Алгоритм решения неполных квадратных уравнений

1. Уравнение вида

имеет одно решение: (x=0).

2. Уравнение вида

решается способом разложения на множители и имеет два решения: (x(ax + b) = 0); то есть (x = 0) или (ax + b = 0). Получаем:

— отрицательное число, уравнение

не имеет решений (исходное уравнение

также не имеет решений).

— положительное число, т. е.

имеет два корня:

. В этом случае допускается более короткая запись:

(полное или неполное) может иметь два корня, один корень или не иметь корней.

Для решения квадратных уравнений полезно иметь под рукой таблицу квадратов.

Изображение графиков двух функций с точкой пересечения, координаты которой при подстановке в каждое уравнение дадут одно и то же значение

Линейное уравнение — это алгебраическое уравнение, у которого полная степень составляющих его многочленов равна 1. Линейное уравнение можно представить:

где — это переменные (или неизвестные) величины (также известные как корни линейного уравнения), а — постоянные или коэффициенты, которые являются действительными числами. Коэффициенты могут квалифицироваться как параметры при уравнении и могут быть любыми выражениями при условии, что сами по себе не содержат переменных. Чтобы уравнение имело смысл, коэффициенты не должны равняться нулю. Также линейное уравнение можно получить, если приравнять линейный многочлен к нулю над некоторым полем, откуда для многочлена берутся коэффициенты.

Решение уравнения — это нахождение таких значений переменных, которые при подстановке дали бы верное равенство. Если переменная всего одна, то для линейного уравнения существует только одно решение (при условии, что ). Часто «линейным уравнением» называют именно подобные уравнения с одной «неизвестной». Если переменных две, то любое решение может быть проиллюстрировано и проверено с помощью прямоугольной системы координат в двумерном (евклидовом) пространстве. Решение одного линейного уравнения изображается как вертикальная прямая в прямоугольной системе координат для данного уравнения, но эта же прямая может быть иллюстрацией решения и другого уравнения. Каждая линия может рассматриваться как множество всех решений линейного уравнения с двумя переменными, поэтому подобные уравнения и называются линейными. В общем, множество решений линейного уравнения с n переменными образуют гиперплоскость (подпространство размерности n-1) в евклидовом пространстве с размерностью n.

Линейные уравнения применяются абсолютно во всех сферах математики и их приложениях в физике и инженерном деле отчасти потому, что нелинейные системы часто хорошо можно «приблизить» и упростить линейными уравнениями. Совокупность в виде двух и более линейных уравнений, для которой надо найти конкретное решение, является системой линейных алгебраических уравнений.

Материал к уроку по теме «Решение квадратных уравнений с помощью свойств   коэффициентов»

Изучение нового материала

Урок  углубления знаний

Формирование знания и умения решения квадратных уравнений с помощью свойств коэффициентов

на доске написано

«Человеку, изучающему алгебру, часто полезно решить одну и ту же задачу тремя различными способами, чем решать три-четыре различные задачи. Решая одну задачу различными способами, можно путем сравнения выяснить, какой из них короче, эффективнее. Так вырабатывается опыт».                                                                                                                                                                                                                                                                                                У. У. Сойер

Вступительное слово учителя. Сообщается цель, задачи занятия, план работы на занятии.

Актуализация опорных теоретических и практических знаний – повторение формул корней квадратных уравнений, алгоритмов известных способов решения квадратных уравнений.

С целью повторения и закрепления теоретических знаний проводится математический диктант. Продолжите предложение:

Взаимопроверка (ответы проецируются на экран).

Работа в группах (учащиеся делятся на 3 группы, назначается руководитель группы, который помогает организовать работу группы).

На экран проецируются в произвольном порядке различные виды квадратных уравнений. I группа выписывает и решает уравнения вида ax+bx+c=0. I I группа – приведённые квадратные уравнения.  III группа –   неполные квадратные уравнения.

– 9x + 4 = 0 – 6x – 16 = 0  10 + 3x-x

– 16x = 09 –  x+ 8 = 0

+9x + 2 = 03 – 5x – 2x-5x-1 = 0

Руководители групп делегируют учеников поочередно к доске для решения уравнений.

Далее повторение следующих способов решения квадратных уравнений:

1. Способа разложения на множители

+ 9х + 2 = 0

2. Способа выделения квадрата двучлена

+ 2х – 5 = 0

3. Графического способа

– 2х – 3 = 0

К доске выходят по одному представителю от каждой группы, остальные учащиеся решают в тетради. I группа решает квадратное уравнение разложением левой части уравнения на множители, II группа – выделением квадрата двучлена, III группа – графическим способом.

Проверка проводится по группам учащихся с одинаковыми заданиями.

1) Способом разложения на множители:

+ 7х + 2х + 2 = 0

7х (х + 1) + 2(х +1) = 0

(7х + 2) (х + 1) = 0

7х + 2 = 0х + 1 = 0

х = – 2/7х = – 1

– 2/7; –1.

2) Способом выделения квадрата двучлена:

+ 2/3 х –5/3) = 0

+ 2* 1/3 х + 1/9 – 1/9 – 5/3=0

(х + 1/3)– 16/9 = 0

х + 1/3 = 4/3х + 1/3 = –4/3

х = –5/3

3) Графическим способом

, графиком является парабола

у = 2х + 3, графиком является прямая

Прямая и парабола

имеют две общие точки,

абсциссы которых являются

– 1; 3.

Изучение нового материала. Ознакомление ещё с одним способом решения квадратных уравнений, который поможет быстро и, притом, устно найти корни уравнения. Его можно назвать так: свойства коэффициентов квадратного уравнения.

Рассмотрим несколько квадратных уравнений и найдём сумму коэффициентов.

– 8x + 3 = 0                           x                             5 – 8 + 3 = 0

– 7x + 1 = 0                           x                             6 – 7 + 1 = 0

+ 3x – 5 = 0                           x                             2 + 3 – 5 = 0

– 8x + 7 = 0                             x= 7                               1 – 8 + 7 = 0

Какой вывод вы можете сделать?

: Если сумма коэффициентов квадратного уравнения равна 0, то:

1) один корень равен

2) другой корень равен

Решите устно (уравнения спроецированы на экран).

+ 23x – 24 = 0

+ x – 3 = 0

+ 15x – 16  = 0

+ x – 6 = 0

– 9x + 2  = 0

–  x – 3  = 0

– 2000x + 1 = 0

– 448x – 391 = 0

Проверка: представители групп записывают варианты своих ответов на доске.

Решим письменно на доске и в тетрадях 3 квадратных уравнения (по одному уравнению каждой группе) по формулам корней квадратных уравнений:

+7x +  3= 0

– 9x – 10 = 0

– 4x – 9 = 0

Попробуйте найти некую закономерность в корнях уравнений в соответствии с коэффициентами. Сделайте вывод.

Если для коэффициентов выполняется равенство  а – в + с = 0, то один из корней уравнения равен  , а другой

Решите устно уравнения (спроецированы на экран).

+ 27x + 16 = 0

– 7x – 8 = 0

+ 10x + 1 = 0

+ 5x – 1 = 0

+  x – 6= 0

+ 978х + 39 = 0

Проверка: Запись ответов на доске по группам.

Доказываем справедливость полученных выводов и записываем доказательство с примерами в  справочной тетради.

Пусть дано квадратное уравнение

+ bх +  с

а + b + с0 (т.е. сумма коэффициентов уравнения равна нулю), то    х= 1, х

. Разделим обе части уравнения на а ≠ 0, получим приведенное квадратное уравнение

Согласно теореме Виета

а + b + с = 0, откуда  b =  – а – с

, что и требовалось доказать.

Если а – b + с = 0, или b = а + с, то х= – 1, х

. По теореме Виета

а – b + с =b = а + с.

137х – 208 = 0

. Так как  а +  b +  с = 0 (345 – 137 – 208 = 0)= 1,  х =     = –

2. Решим уравнение  + 247х + 115 = 0

а  –  b + с = 0 (132 – 247 + 115 = 0)= – 1,  х

Подвести итоги занятия.

Учитель сообщает о том, что есть еще несколько способов решения квадратных уравнений, которые будут рассмотрены на следующих занятиях, рекомендует поискать их в математических книгах.

Корни квадратного уравнения на множестве комплексных чисел

Квадратное уравнение с вещественными коэффициентами всегда имеет с учётом кратности два комплексных корня, о чём гласит основная теорема алгебры. При этом, в случае неотрицательного дискриминанта корни будут вещественными, а в случае отрицательного — комплексно-сопряжёнными:

Уравнение с комплексными коэффициентами

В комплексном случае квадратное уравнение решается по той же формуле

и указанным выше её вариантам, но различимыми являются только два случая: нулевого дискриминанта (один двукратный корень) и ненулевого (два корня единичной кратности).

Если динамическая система представлена нелинейными дифференциальными уравнениями математической физики, то для применения классических методов анализа этих систем требуется их линеаризация.

Неоднородное уравнение интегрируется методом вариации произвольных постоянных (Метод Лагранжа).

Вид общего решения неоднородного уравнения

Если дано частное решение неоднородного уравнения , и  — фундаментальная система решений соответствующего однородного уравнения, то общее решение уравнения задается формулой

где  — произвольные постоянные.

Как в общем случае линейных уравнений, имеет место принцип суперпозиции, используемый в разных формулировках принципа суперпозиции в физике.

В случае, когда функция в правой части состоит из суммы двух функций

частное решение неоднородного уравнения тоже состоит из суммы двух функций

где являются решениями неоднородного уравнения с правыми частями , соответственно.

Квазимногочлен

В случае, когда  — квазимногочлен, то есть

где  — многочлены, частное решение уравнения ищется в виде

В частности, когда

где  — многочлен, частное решение уравнения ищется в виде

Здесь  — многочлен, , с неопределенными коэффициентами, которые находятся подстановкой в уравнение. является кратностью , как корня характеристического уравнения однородного уравнения.

Здесь  — многочлен, , а является кратностью нуля, как корня характеристического уравнения однородного уравнения.

Исторические сведения о квадратных уравнениях

Правила решения квадратных уравнений во многом аналогичны современным, однако в вавилонских текстах не зафиксированы рассуждения, путём которых эти правила были получены.

Формулировка для приведённого квадратного уравнения

Сумма корней приведённого квадратного уравнения (вещественных или комплексных) равна второму коэффициенту , взятому с противоположным знаком, а произведение этих корней — свободному члену :

С его помощью приведённые уравнения можно решать устно:

Для неприведённого квадратного уравнения

В общем случае, то есть для неприведённого квадратного уравнения

На практике (следуя методу «переброски») для вычисления корней применяется модификация теорема Виета:

по которой можно устно находить ax1, ax2, а оттуда — сами корни:

Но у некоторых неприведённых уравнений корни можно устно угадать даже по стандартной теореме Виета:

Уравнение с одной переменной

Дано линейное уравнение в виде результата умножения двух чисел; известен один из множителей, второй неизвестен, но известен результат.

В данном случае для того, чтобы найти неизвестный множитель , результат умножения 24 нужно разделить на известный множитель 3. Результатом операции деления будет 8 как корень данного уравнения.

Линейное уравнение такого типа, как

не имеет решения, так как результат умножения любого числа на 0 всегда даёт 0. Вместе с тем уравнение вида

имеет бесконечно много решений. Следовательно, для него может быть любым числом.

Корни квадратного уравнения на множестве действительных чисел

Дискриминантом квадратного уравнения называется величина .

Данный метод универсальный, однако не единственный.

II способ. Корни квадратного уравнения при чётном коэффициенте b

Для уравнений вида , то есть при чётном , где

Примечание: данные ниже формулы можно получить, подставив в стандартные формулы выражение b = 2k, через несложные преобразования.

III способ. Решение неполных квадратных уравнений

К решению неполных квадратных уравнений практикуется особый подход. Рассматриваются три возможных ситуации.

IV способ. Использование частных соотношений коэффициентов

Существуют частные случаи квадратных уравнений, в которых коэффициенты находятся в соотношениях между собой, позволяющих решать их гораздо проще.

Корни квадратного уравнения, в котором сумма старшего коэффициента и свободного члена равна второму коэффициенту

Если в квадратном уравнении сумма первого коэффициента и свободного члена равна второму коэффициенту: , то его корнями являются и число, противоположное отношению свободного члена к старшему коэффициенту ().

Способ 1. Сначала выясним, действительно ли такое уравнение имеет два корня (в том числе, два совпадающих):

Да, это так, ведь при любых действительных значениях коэффициентов , а значит и дискриминант неотрицателен. Таким образом, если , то уравнение имеет два корня, если же , то оно имеет только один корень.
Найдём эти корни:

В частности, если , то корень будет один:

Геометрическая интерпретация: парабола, заданная аналитически указанной формулой, пересекает ось x в двух точках, абсциссами которых и являются корни, хотя бы один из которых равен -1

Используем геометрическую модель корней квадратного уравнения: их мы будем рассматривать как точки пересечения параболы с осью абсцисс. Всякая парабола вне зависимости от задающего её выражения является фигурой, симметричной относительно прямой . Это означает, что отрезок всякой перпендикулярной к ней прямой, отсекаемый на ней параболой, делится осью симметрии пополам. Сказанное, в частности, верно и для оси абсцисс. Таким образом, для всякой параболы справедливо одно из следующих равенств: (если ) или (если верно неравенство противоположного смысла). Используя тождество , выражающее геометрический смысл модуля, а также принимая, что (это можно доказать, подставив равенство в квадратный трёхчлен: , поэтому -1 – корень такого уравнения) , приходим к следующему равенству: Если учитывать, что разность в том случае, когда мы прибавляем модуль, всегда положительна, а в том, когда отнимаем – отрицательна, что говорит о тождественности этих случаев, и, к тому же, помня о равенстве , раскрываем модуль: . Во втором случае, совершив аналогичные преобразования, придём к тому же результату, ч. т. д.

Совершим подстановку условия в уравнение . Тогда
Откуда либо .

Отсюда следует, что перед решением какого-либо квадратного уравнения целесообразна проверка возможности применения к нему этой теоремы: сравнить сумму старшего коэффициента и свободного члена со вторым коэффициентом.

Корни квадратного уравнения, сумма всех коэффициентов которого равна нулю

Если в квадратном уравнении сумма всех его коэффициентов равна нулю (), то корнями такого уравнения являются и отношение свободного члена к старшему коэффициенту ().

Способ 1. Прежде всего заметим, что из равенства следует, что
Установим количество корней:

При любых значениях коэффициентов уравнение имеет хотя бы один корень: действительно, ведь при любых значениях коэффициентов , а значит и дискриминант неотрицателен. Обратите внимание, что если , то уравнение имеет два корня, если же , то только один.
Найдём эти корни:

В частности, если , то уравнение имеет только один корень, которым является число .

Способ 2. Пользуясь данным выше определением корня квадратного уравнения, обнаруживаем путём подстановки, что число 1 является таковым в рассматриваемом случае: – верное равенство, следовательно, единица – корень такого вида квадратных уравнений. Далее, по теореме Виета находим второй корень: согласно этой теореме, произведение корней уравнения равно числу, равному отношению свободного члена к старшему коэффициенту – , ч.т.д.

Отсюда следует, что перед решением уравнения стандартными методами целесообразна проверка применимости к нему этой теоремы, а именно сложение всех коэффициентов данного уравнения и установление, не равна ли нулю эта сумма.

V способ. Разложение квадратного трёхчлена на линейные множители

Если трёхчлен вида удастся каким-либо образом представить в качестве произведения линейных множителей , то можно найти корни уравнения — ими будут и , действительно, ведь а решив указанные линейные уравнения, получим вышеописанное. Квадратный трёхчлен не всегда раскладывается на линейные множители с действительными коэффициентами: это возможно, если соответствующее ему уравнение имеет действительные корни.

Рассматриваются некоторые частные случаи.

Использование формулы квадрата суммы (разности)

Если квадратный трёхчлен имеет вид , то применив к нему названную формулу, можно разложить его на линейные множители и, значит, найти корни:

Выделение полного квадрата суммы (разности)

Также названную формулу применяют, пользуясь методом, получившим названия «выделение полного квадрата суммы (разности)». Применительно к приведённому квадратному уравнению с введёнными ранее обозначениями, это означает следующее:

Примечание: данная формула совпадает с предлагаемой в разделе «Корни приведённого квадратного уравнения», которую, в свою очередь, можно получить из общей формулы

путём подстановки равенства . Этот факт не просто совпадение: описанным методом, произведя, правда, некоторые дополнительные рассуждения, можно вывести и общую формулу, а также доказать свойства дискриминанта.

VI способ. Использование прямой и обратной теоремы Виета

Прямая теорема Виета (см. ниже) и обратная ей теорема позволяют решать приведённые квадратные уравнения устно, не прибегая к вычислениям по формуле

.

Согласно обратной теореме, всякая пара чисел (число) , будучи решением системы уравнений

являются корнями уравнения .

Подобрать устно числа, удовлетворяющие этим уравнениям, поможет прямая теорема. С её помощью можно определить знаки корней, не зная сами корни. Для этого следует руководствоваться правилом:

1) если свободный член отрицателен, то корни имеют различный знак, и наибольший по модулю из корней — знак, противоположный знаку второго коэффициента уравнения;
2) если свободный член положителен, то оба корня обладают одинаковым знаком, и это — знак, противоположный знаку второго коэффициента.

VII способ. Метод «переброски»

По своей сущности метод «переброски» является просто модификацией теоремы Виета.

Метод «переброски» — это сведение уравнения, которое нельзя привести так, чтобы все коэффициенты остались целыми, к приведённому уравнению с целыми коэффициентами:

1) умножаем обе части на старший коэффициент:

2) заменяем

Далее решаем уравнение относительно по методу, описанному выше, и находим .

Сумма коэффициентов при степенях введённого неизвестного равна нулю, поэтому

Возвращаемся к «старой» переменной:

Корни приведённого квадратного уравнения

Квадратное уравнение вида в котором старший коэффициент равен единице, называют приведённым. В этом случае формула для корней

упрощается до

p, со знаком взяв обратным,
На два мы его разделим,
И от корня аккуратно
Знаком «минус-плюс» отделим.
А под корнем очень кстати
Половина p в квадрате
Минус q — и вот решенья,
То есть корни уравненья.

Чтобы x найти к половине p,
Взятой с минусом не забудь,
Радикал приставь с плюсом минусом,
Аккуратно, не как-нибудь.
А под ним квадрат половины p,
Ты, убавь на q и конец,
Будет формула приведенная,
Рассуждений твоих венец.
Будет формула приведенная,
Рассуждений твоих венец.

Корень кратности многочлена  это число , такое что этот многочлен делится без остатка на , но не на .

Уравнение порядка n

интегрируется следующим образом:

Пусть  — все различные корни характеристического многочлена, являющегося левой частью характеристического уравнения

кратностей , соответственно, .

являются линейно независимыми (вообще говоря, комплексными) решениями однородного уравнения, они образуют фундаментальную систему решений.

Общее решение уравнения является линейной комбинацией с произвольными постоянными (вообще говоря, комплексными) коэффициентами фундаментальной системы решений.

Воспользовавшись формулой Эйлера для пар комплексно сопряженных корней можно заменить соответствующие пары комплексных функций в фундаментальной системе решений парами вещественных функций вида

и построить общее решение уравнения в виде линейной комбинации с произвольными вещественными постоянными коэффициентами.

Уравнение второго порядка

Однородное уравнение второго порядка:

Пусть  — корни характеристического уравнения

являющегося квадратным уравнением.

Вид общего решения однородного уравнения зависит от значения дискриминанта :

Общее решение имеет вид:

Разложение квадратного трёхчлена на множители и теоремы, следующие из этого

Если известны оба корня квадратного трёхчлена, его можно разложить по формуле

Для доказательства этого утверждения воспользуемся теоремой Виета. Согласно этой теореме, корни и квадратного уравнения образуют соотношения с его коэффициентами: . Подставим эти соотношения в квадратный трёхчлен:

В случае нулевого дискриминанта это соотношение становится одним из вариантов формулы квадрата суммы или разности.

Из формулы

имеются два важных следствия:

Если квадратный трёхчлен раскладывается на линейные множители с вещественными коэффициентами, то он имеет вещественные корни.

Пусть . Тогда, переписав это разложение, получим:

Сопоставив полученное выражение с формулой

, находим, что корнями такого трёхчлена являются и . Так как коэффициенты вещественны, то и числа, противоположные их отношениям также являются элементами множества .

Если квадратный трёхчлен не имеет вещественных корней, то он не раскладывается на линейные множители с вещественными коэффициентами.

Действительно, если мы предположим противное (что такой трёхчлен раскладывается на линейные множители), то, согласно следствию 1, он имеет корни в множестве , что противоречит условию, а потому наше предположение неверно, и такой трёхчлен не раскладывается на линейные множители.

Для квадратичной функции:(x) = x2 − x − 2 = (x + 1)(x − 2) действительной переменной x, x — координаты точки, где график пересекает ось абсцисс, x = −1 и x = 2, являются решениями квадратного уравнения: x2 − x − 2 = 0.

Уравнения, сводящиеся к квадратным

Уравнение вида является уравнением, сводящимся к квадратному.

В общем случае оно решается методом введения новой переменной, то есть заменой где — множество значений функции , c последующим решением квадратного уравнения .

Также при решении можно обойтись без замены, решив совокупность двух уравнений:

К примеру, если , то уравнение принимает вид:

С помощью замены

к квадратному уравнению сводится уравнение

Линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами второго порядка

подстановкой сводится к характеристическому квадратному уравнению:

Если решения этого уравнения и не равны друг другу, то общее решение имеет вид:

, где и — произвольные постоянные.

Для комплексных корней можно переписать общее решение, используя формулу Эйлера:

где A, B, C, φ — любые постоянные. Если решения характеристического уравнения совпадают , общее решение записывается в виде:

Уравнения такого типа часто встречаются в самых разнообразных задачах математики и физики, например, в теории колебаний или теории цепей переменного тока.

Уравнение с тремя и более переменными

Линейное уравнение, в котором содержится больше двух переменных, может иметь форму типа . Коэффициент , иногда обозначаемый как , является свободным членом. Коэффициентами могут в таком случае называть все переменные типа при условии . В уравнениях с тремя неизвестными последние обозначаются буквами и .

Решение такого уравнения — такой -кортеж, замена каждого элемента в котором соответствующей переменной преобразовала бы уравнение в верное равенство. Чтобы уравнение имело смысл, хотя бы один коэффициент при переменной должен быть ненулевым. Если же все коэффициенты при переменных равняются нулю, то либо уравнение будет противоречивым (при ) как не имеющее решений, либо же любой будет решением данного уравнения. Все -кортежи, которые являются решением линейного уравнения с — это координаты точек в системе координат для (n − 1)-размерной гиперплоскости в евклидовом пространстве (или аффинном пространстве, если коэффициенты — комплексные числа или принадлежат любому полю). В случае трёх переменных эта гиперплоскость становится плоскостью (согласно одной из аксиом Евклидовой геометрии).

Если в линейном уравнении aj ≠ 0, тогда существует решение данного уравнения для Если коэффициенты — вещественные числа, то таким образом определяется вещественнозначная функция для n вещественных переменных.

Дано линейное уравнение с тремя неизвестными:

Решением данного уравнения будет являться плоскость, которой принадлежат три точки типа:

Уравнение с двумя переменными

Решением или корнями такого уравнения называют такую пару значений переменных , которая обращает его в тождество. Таких решений (корней) линейное уравнение с двумя переменными имеет бесконечное множество.

Существуют и другие формы линейного уравнения, к которым его можно привести с помощью простых алгебраических преобразований (прибавления одной и той же величины к уравнению, умножения или деления на одно и то же число, не равное нулю и т.д.)

График функции для рассматриваемого уравнения

Дано линейное уравнение:

Для определения множества всех решений можно преобразовать уравнение в функцию с зависимостью от . В таком случае получится

и при

Так выводится график данной функции, включающий все пары x и y, обращающим уравнение в верное равенство:

В случае, если , то уравнение можно привести к такому виду, чтобы значение зависело от . Уравнение может быть представлено в таком случае в форме линейной функции , где (или сразу ). График функции в данном случае (т.е. геометрическая модель или иллюстрация для данного уравнения) представляет собой прямую типа , где k — угловой коэффициент (он же ), а m = — координата точки пересечения графика с осью y.

В математическом анализе линейными называются те функции, график которых является именно прямой. В линейной алгебре линейной называется функция, отображающая сумму на сумме изображений слагаемых. Таким образом, в линейной алгебре функция является линейной, если , а её график проходит через начало координат. Во избежание путаницы функции, графики которых являются произвольными линиями, называются аффинными.

Геометрическое место точек линейного уравнения от двух переменных вида

y = ax + b

Вертикальная линия уравнения

Горизонтальная линия уравнения

Графики линейных уравнений

Любая пара , являющаяся решением уравнения , может быть отражена в прямоугольной системе координат в виде точки в двумерном пространстве. В таком случае все решения уравнения формируют линию при условии, что и не равняются нулю. Верно и обратное, что каждая линия является множеством решений линейного уравнения. Само словосочетание «линейное уравнение» и имеет корни в соотношении между прямыми линиями и уравнениями: линейное уравнение с двумя переменными представляет собой уравнение, все решения которого графически представляют собой линию.

В случае, если , линия является графиком функции , описанным выше. Если , то линия будет вертикальной, параллельной оси ординат (-оси), для уравнения , которое не является графиком функции . Соответственно, если , то линия является графиком функции , а если — то горизонтальной линией, параллельной оси абсцисс, для уравнения

Уравнение Коши — Эйлера

Уравнение Коши — Эйлера является частным случаем линейного дифференциального уравнения вида:

приводимым к линейному дифференциальному уравнению с постоянными коэффициентами подстановкой вида .

Графическое решение квадратного уравнения

Графиком квадратичной функции является парабола. Решениями (корнями) квадратного уравнения называют абсциссы точек пересечения параболы с осью абсцисс. Если парабола, описываемая квадратичной функцией, не пересекается с осью абсцисс, уравнение не имеет вещественных корней. Если парабола пересекается с осью абсцисс в одной точке (в вершине параболы), уравнение имеет один вещественный корень (также говорят, что уравнение имеет два совпадающих корня). Если парабола пересекает ось абсцисс в двух точках, уравнение имеет два вещественных корня (см. изображение справа.)

Если коэффициент положительный, ветви параболы направлены вверх и наоборот. Если коэффициент положительный (при положительном , при отрицательном наоборот), то вершина параболы лежит в левой полуплоскости и наоборот.

Графический способ решения квадратных уравнений

Помимо универсального способа, описанного выше, существует так называемый графический способ. В общем виде этот способ решения рационального уравнения вида заключается в следующем: в одной системе координат строят графики функций и и находят абсциссы общих точек этих графиков; найденные числа и будут корнями уравнения.

Есть всего пять основных способов графического решения квадратных уравнений.

Для решения квадратного уравнения строится график функции
и отыскиваются абсциссы точек пересечения такого графика с осью .

Для решения того же уравнения этим приёмом уравнение преобразуют к виду
и строят в одной системе координат графики квадратичной функции и линейной функции , затем находят абсциссу точек их пересечения.

Данный приём подразумевает преобразование исходного уравнения к виду , используя метод выделения полного квадрата суммы (разности) и затем в . После этого строятся график функции (им является график функции , смещённый на единиц масштаба вправо или влево в зависимости от знака) и прямую , параллельную оси абсцисс. Корнями уравнения будут абсциссы точек пересечения параболы и прямой.

Квадратное уравнение преобразуют к виду , строят график функции (им является график функции , смещённый на единиц масштаба вверх, если этот коэффициент положителен, либо вниз, если он отрицателен), и , находят абсциссы их общих точек.

Квадратное уравнение преобразуют к особому виду:

Совершив преобразования, строят графики линейной функции и обратной пропорциональности , отыскивают абсциссы точек пересечения этих графиков. Этот приём имеет границу применимости: если , то приём не используется.

Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки

Описанные выше приёмы графического решения имеют существенные недостатки: они достаточно трудоёмки, при этом точность построения кривых — парабол и гипербол — низка. Указанные проблемы не присущи предлагаемому ниже методу, предполагающему относительно более точные построения циркулем и линейкой.

Чтобы произвести такое решение, нужно выполнить нижеследующую последовательность действий.

Иллюстрация к доказательству.

Рассматриваемый способ предполагает построение окружности, пересекающей ось ординат в точках (точке), абсциссы которых являются корнями (или корнем) решаемого уравнения. Как нужно строить такую окружность? Предположим, что она уже построена. Окружность определяется однозначно заданием трёх своих точек. Пусть в случае, если корня два, это будут точки , где , естественно, действительные корни квадратного уравнения (подчёркиваем: если они имеются). Найдём координаты центра такой окружности. Для этого докажем, что эта окружность проходит через точку . Действительно, согласно теореме о секущих, в принятых обозначениях выполняется равенство (см рисунок). Преобразовывая это выражение, получаем величину отрезка OD, которой и определяется искомая ордината точки D: (в последнем преобразовании использована теорема Виета (см. ниже в одноимённом разделе)). Если же корень один, то есть ось абсцисс будет касательной к такой окружности, и окружность пересекает ось y в точке с ординатой 1, то она обязательно пересечёт её и в точке с указанной выше ординатой (в частности, если 1=c/a, это могут быть совпадающие точки), что доказывается аналогично с использованием уже теоремы о секущей и касательной, являющаяся частным случаем теоремы о секущих. В первом случае (), определяющими будут точка касания, точка оси y с ординатой 1, и её же точка с ординатой . Если c/a и 1 – совпадающие точки, а корня два, определяющими будут эта точка и точки пересечения с осью абсцисс. В случае, когда (1=c/a) и корень один, указанных сведений достаточно для доказательства, так как такая окружность может быть только одна – её центром будет вершина квадрата, образуемого отрезками касательных и перпендикулярами, а радиус – стороне этого квадрата, составляющей 1. Пускай S – центр окружности, имеющей с осью абсцисс две общие точки. Найдём его координаты: для этого опустим от этой точки перпендикуляры к координатным осям. Концы этих перпендикуляров будут серединами отрезков AB и CD – ведь треугольники ASB и CSD равнобедренные, так как в них AS=BS=CS=DS как радиусы одной окружности, следовательно, высоты в них, проведённые к основаниям, также являются и медианами. Найдём координаты середин названных отрезков. Так как парабола симметрична относительно прямой , то точка этой прямой с такой же абсциссой будет являться серединой отрезка AB. Следовательно, абсцисса точки S равна этому числу. В случае же, если уравнение имеет один корень, то ось x является касательной по отношению к окружности,поэтому, согласно её свойству, её радиус перпендикулярен оси, следовательно, и в этом случае указанное число – абсцисса центра. Её ординату найдём так: . В третьем из возможных случаев, когда ca=1 (и, значит, a=c), то .

Итак, нами найдены необходимые для построения данные. Действительно, если мы построим окружность с центром в точке , проходящую через точку , то она, в случаях, когда уравнение имеет действительные корни, пересечёт ось x в точках, абсциссы которых есть эти корни. Причём, если длина радиуса больше длины перпендикуляра к оси Ox, то уравнение имеет два корня (предположив обратное, мы бы получили противоречие с доказанным выше), если длины равны, то один (по той же причине), если же длина радиуса меньше длины перпендикуляра, то окружность не имеет общих точек с осью x, следовательно, и действительных корней у уравнения нет (доказывается тоже от противного: если корни есть, то окружность, проходящая через A, B, C совпадает с данной, и поэтому пересекает ось, однако она не должна пересекать ось абсцисс по условию, значит, предположение неверно).