В системе координат построим полуокружность радиуса с центром в начале координат.
Как уже известно, в прямоугольном треугольнике синус острого угла определяется как отношение противолежащего катета к гипотенузе, а косинус острого угла определяется как отношение прилежащего катета к гипотенузе.
В треугольнике (AOX):
Так как радиус полуокружности (R = AO = 1), то
Длина отрезка (AX) равна величине координаты (y) точки (A), а длина отрезка (OX) равна величине координаты (x) точки (A):
В прямоугольном треугольнике тангенс острого угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету, а значит,
Используя единичную полуокружность и рассмотренную информацию, определим синус, косинус и тангенс для
Рассмотрим оба острых угла в треугольнике (AOX). Если вместе они образуют
, то оба выразим через
Видим, что справедливы равенства:
Рассмотрим тупой угол, который также выразим через
Справедливы следующие равенства:
Эти формулы называются формулами приведения:
Если в треугольнике (AOX) применить теорему Пифагора, получаем
. Заменив отрезки соответственно синусом и косинусом, мы напишем
лавное тригонометрическое тождество
Это тождество позволяет вычислить величину синуса угла, если дан косинус
(как уже отмечено, синус для углов
только или ):
— или величину косинуса угла, если дан синус:
Для острых углов косинус положительный, а для тупых углов берём отрицательное значение.
Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника
Изучение тригонометрии мы начнем с прямоугольного треугольника. Определим, что такое синус и косинус, а также тангенс и котангенс острого угла. Это основы тригонометрии.
Напомним, что прямой угол — это угол, равный 90 градусов. Другими словами, половина развернутого угла.
Острый угол — меньший 90 градусов.
Тупой угол — больший 90 градусов. Применительно к такому углу «тупой» — не оскорбление, а математический термин 🙂
Нарисуем прямоугольный треугольник. Прямой угол обычно обозначается C. Обратим внимание, что сторона, лежащая напротив угла, обозначается той же буквой, только маленькой. Так, сторона, лежащая напротив угла A, обозначается .
Угол A обозначается соответствующей греческой буквой .
Гипотенуза прямоугольного треугольника — это сторона, лежащая напротив прямого угла.
Катеты — стороны, лежащие напротив острых углов.
Катет , лежащий напротив угла , называется противолежащим (по отношению к углу ). Другой катет , который лежит на одной из сторон угла , называется прилежащим.
Синус острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к гипотенузе:
Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение прилежащего катета к гипотенузе:
Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение противолежащего катета к прилежащему:
Другое (равносильное) определение: тангенсом острого угла называется отношение синуса угла к его косинусу:
Котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение прилежащего катета к противолежащему (или, что то же самое, отношение косинуса к синусу):
Обратите внимание на основные формулы для синуса, косинуса, тангенса и котангенса, которые приведены ниже. Они пригодятся нам при решении задач.
Давайте докажем некоторые из них.
Хорошо, мы дали определения и записали формулы. А для чего все-таки нужны синус, косинус, тангенс и котангенс?
Мы знаем, что сумма углов любого треугольника равна .
Знаем соотношение между сторонами прямоугольного треугольника. Это теорема Пифагора: .
Получается, что зная два угла в треугольнике, можно найти третий. Зная две стороны в прямоугольном треугольнике, можно найти третью. Значит, для углов — свое соотношение, для сторон — свое. А что делать, если в прямоугольном треугольнике известен один угол (кроме прямого) и одна сторона, а найти надо другие стороны?
С этим и столкнулись люди в прошлом, составляя карты местности и звездного неба. Ведь не всегда можно непосредственно измерить все стороны треугольника.
Синус, косинус и тангенс — их еще называют тригонометрическими функциями угла — дают соотношения между сторонами и углами треугольника. Зная угол, можно найти все его тригонометрические функции по специальным таблицам. А зная синусы, косинусы и тангенсы углов треугольника и одну из его сторон, можно найти остальные.
Мы тоже нарисуем таблицу значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса для «хороших» углов от до .
Обратите внимание на два прочерка в таблице. При соответствующих значениях углов тангенс и котангенс не существуют.
Если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то синусы этих углов равны, косинусы этих углов равны и тангенсы этих углов равны.
В самом деле, пусть АВС и
— два прямоугольных треугольника с прямыми углами С и
и равными острыми углами А и
Треугольники АВС и
подобны по первому признаку подобия треугольников, поэтому
Из этих равенств следует, что
т. е. sin А = sin
т. е. cos А = cos
т. е. tg A = tg
Это значит, что синус, косинус и тангенс зависят только от величины угла.
Разберем несколько задач по тригонометрии из Банка заданий ФИПИ.
В треугольнике ABC угол C равен , sin A = 0,1. Найдите cos B.
Задача решается за четыре секунды.
Поскольку , sin A = cos B = 0,1.
. В треугольнике угол равен , , .
Найдем AC по теореме Пифагора.
Задача 3. В треугольнике АВС угол С равен
Для угла А противолежащий катет – это ВС,
АВ является гипотенузой треугольника, лежит против
Значит, sin A
Катет, прилежащий к
– это катет АС, следовательно, cos А
Длину катета АС найдем по теореме Пифагора:
Ответ: 0,92; 0,42.
Заметим, что если катеты прямоугольного треугольника равны 5 и 12, то гипотенуза равна 13. Это одна из так называемых Пифагоровых троек. О них мы расскажем в других статьях сайта.
Задача 4. В треугольнике АВС угол С равен
AC = 2, sin A=
AC = b = 2, BC = a, AB = c.
Так как sin A
Задача 5. В треугольнике АВС угол С равен
AC = b = 4, tg A
CH – высота, AB = 13, tg A =
AВ = с = 13, tg A =
(по двум углам), следовательно
Задача 7. В треугольнике АВС угол С равен
CH – высота, BC = 3, sin A =
Так как sin A =
= cos B =
тогда BH =
AH = AB – BH = 18 – 0,5 = 17,5.
Задача 8. В треугольнике АВС угол С равен 90
CH — высота, BC = 3, cos A =
Так как для
sin В =
ВНС: sin В =
, откуда СН =
По теореме Пифагора найдем ВН:
Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой. Поэтому для
Задача 9. В треугольнике АВС угол С равен 90
По определению sin A=
ВС найдем по теореме Пифагора:
а значит и sin A =
Задача 10. В треугольнике АВС угол С равен 90
По определению sin A =
тогда tg A =
который найдем из
Задача 11. В треугольнике АВС угол С равен 90
CH — высота, BН = 12, tg A =
По определению tg A=
АHC: tg A=
Задача 12. В треугольнике АВС угол С равен 90
CH — высота, BН = 12, sin A =
Так как cos В =
= sin A =
СВН имеем cos В =
тогда ВС =
АВС имеем sinA =
тогда AВ =
Задача 13. В треугольнике АВС угол С равен 90
Найдем НВ по теореме Пифагора из
АВС: cos A =
получили cos A = 0,6.
Найдем АС и АВ несколькими способами.
Так как cos A =
тогда по теореме Пифагора
х = 5 ( так как х
(по двум углам), значит
(высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой) , тогда
АН = 144:16 = 9.
АВ = АН + НВ = 9 + 16 = 25.
По теореме Пифагора найдем АС:
Ответ: cos A = 0,6; АС = 15, АВ = 25.
Высота ВН прямоугольного треугольника АВС, проведенная из вершины прямого угла В, равна 24 и отсекает от гипотенузы АС отрезок НС, равный 18.
Найдите АВ и cos А.
cos C =
АВС: sin А =
= cos C =
АНВ: sin А =
Из основного тригонометрического тождества найдем
Ответ: АВ = 40, cos A = 0,8.
Гипотенуза АС прямоугольного треугольника АСЕ равна 50, sin А =
Найдите площадь треугольника.
АСЕ sin А =
Второй катет найдем, используя теорему Пифагора:
Площадь прямоугольного треугольника равна S =
В треугольнике АВС угол С — прямой, катеты АВ = 13 и ВС = 12, СК — высота.
Найдем АС по теореме Пифагора из
Задача 17. В треугольнике АВС АС = ВС, АВ = 72, cos A =
Так как АС = ВС, то
высота СН является медианой, то есть АН = НВ =
Задача 18. В треугольнике АВС угол С равен 90
AC = 10
Поскольку sin A =
то можно обозначить
ВС = 11х, АВ = 14х.
(14х- 11х)(14х + 11х) = 3
следовательно, АВ = 14
Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством
По определению cos A =
Так как АС=10
откуда АВ =
Задача 19. Найдите углы ромба АВСD, если его диагонали АС и ВD равны 4
Диагонали ромба делят его углы пополам, значит,
Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, следовательно, в прямоугольном треугольнике АВО катет АО =
а катет ВО =
Часто в задачах встречаются треугольники с углами и или с углами и . Основные соотношения для них запоминайте наизусть!
Для треугольника с углами и катет, лежащий напротив угла в , равен половине гипотенузы.
Треугольник с углами и — равнобедренный. В нем гипотенуза в раз больше катета.
угол А равен 30
Найдите высоту CH.
По свойству катета, лежащего против угла
имеем ВС =
следовательно, ВН =
По теореме Пифагора найдем НС:
CH — высота, АВ = 2,
АВС найдем ВС =
АВ = 1 (по свойству катета, лежащего против угла 30
АН = АВ — НВ = 2 –
Еще раз повторим, что такое синус, косинус и тангенс угла в прямоугольном треугольнике.
Как запомнить эти соотношения? Лучший способ – решать много задач, и на уроках геометрии, и готовясь к ЕГЭ. Тогда все формулы, равенства, соотношения запомнятся сами собой.
Мы рассмотрели задачи на решение прямоугольных треугольников — то есть на нахождение неизвестных сторон или углов. Но это не всё! В вариантах ЕГЭ по математике множество задач, где фигурирует синус, косинус, тангенс или котангенс внешнего угла треугольника. Об этом — в следующей статье.
Если вам понравился разбор данной темы – записывайтесь на курсы подготовки к ЕГЭ по математике онлайн
Спасибо за то, что пользуйтесь нашими публикациями.
Информация на странице «Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из разделов нашего сайта.
Публикация обновлена:
05.10.2023
Определение котангенса угла
Котангенс является обратно пропорциональной величиной к тангенсу. То есть, это отношение прилежащего катета к противолежащему.
Для простоты запоминания можно дать такое определение: котангенс угла — это отношение ближнего от рассматриваемого угла катета к дальнему катету.
Пусть в прямоугольном треугольнике синус угла равен , а косинус этого угла равен . Найдите котангенс данного по условию угла.
После того, как мы изучили и тангенс, и котангенс, можно рассмотреть еще одно тождество:
Связь тангенса с котангенсом
Вывод его прост:
Благодаря ему можно быстро и без каких-либо трудностей вычислять одну из этих величин.
Каков тангенс угла, если его котангенс равен ?
Еще одно тождество помогает решить задачи, связанные с котангенсом:
Оно появляется путем деление каждого слагаемого основного тождества тригонометрии на квадрат синуса.
Найдите котангенс угла, если квадрат его синуса равен .
Не получается самостоятельно разобраться с темой? Заказать написание статьи по математике!
Тест по теме «Вычисление котангенса»
Гипотенуза прямоугольного треугольника – это сторона, лежащая напротив прямого угла.
Катеты – стороны, лежащие напротив острых углов. Катет , лежащий напротив угла , называется противолежащим (по отношению к углу ). Другой катет , который лежит на одной из сторон угла , называется прилежащим.
В прямоугольном треугольнике синус одного острого угла равен косинусу другого, и наоборот:
(sin∠A=cos∠B; sin angle A=cos angle B; sin∠A=cos∠B; \ sin∠B=cos∠A; sin angle B=cos angle A; sin∠B=cos∠A.)
Таблица значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса:
Что такое котангенс в прямоугольном треугольнике? Как найти котангенс? От чего зависит значение котангенса?
Котангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему.
Например, в треугольнике ABC для угла A
прилежащий катет — АC,
противолежащий катет — BC.
Поэтому котангенс угла A в прямоугольном треугольнике ABC — это
Для угла B треугольника ABC
прилежащий катет — BC,
противолежащий — AC.
Поэтому, котангенс угла B в треугольнике ABC
равен отношению BC к AC:
Таким образом, котангенс острого угла прямоугольного треугольника — это некоторое число, получаемое в результате деления длины прилежащего к этому углу катета на длину катета противолежащего.
Так как длины катетов — положительные числа, то и котангенс острого угла прямоугольного треугольника является положительным числом.
Котангенс зависит не от длин катетов, а от их отношения. Для угла определенной величины отношение между катетами, а значит, и значение котангенса, — число постоянное.
Если изменить длины сторон треугольника, но углы оставить без изменения, то котангенсы этих углов не изменятся.
в треугольнике ABC B=30º,
в треугольнике MNK M=30º.
Что такое синус, косинус, тангенс, котангенс
18 мая 2022
Сегодня мы узнаем, что такое синус, косинус, тангенс и котангенс. Это первый и самый важный урок по тригонометрии на всём сайте.
Никаких сложных формул и длинных решений. Всё расписано максимально подробно. Изучите этот урок — и никаких проблем с тригонометрией не будет. Погнали!
Ключевые определения
Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами и , гипотенузой и острым углом :
Мы видим, что острый угол образован гипотенузой и катетом . Такой катет будем называть прилежащим. А катет , который не участвует в формировании угла , назовём противолежащим:
Это общепринятые названия: как только в прямоугольном треугольнике отмечен острый угол, для него немедленно можно указать прилежащий катет и противолежащий. И тут мы переходим к ключевым определениям.
Итак, пусть дан прямоугольный треугольник с острым углом .
Определение 1. Синус угла — это отношение противолежащего катета к гипотенузе:
Определение 2. Косинус угла — это отношение прилежащего катета к гипотенузе:
Определение 3. Тангенс угла — это отношение противолежащего катета к прилежащему:
Определение 3. Котангенс угла — это отношение прилежащего катета к противолежащему:
Вот так всё просто! Берём один катет, делим его на гипотенузы (или на другой катет) — и получаем выражение для синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Все эти выражения называются тригонометрическими («тригонометрия» = «треугольники измеряю»).
Рассмотрим пару примеров.
Задача 1. Дан треугольник . Найдите синус, косинус и тангенс угла .
Решение. Это классический прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4 и гипотенузой 5. Угол (он же — угол или угол ) образован прилежащим катетом гипотенузой . Следовательно катет — противолежащий.
Далеко не всегда будут получаться такие красивые ответы. Чаще они будут содержать корни — это следствие теоремы Пифагора. Но важно понимать: как только мы находим длины катетов и гипотенузу, мы сразу можем найти и синусы, косинусы, тангенсы.
Далее в примерах мы не будем считать котангенсы, потому что из формулы котангенса очевидно, что они легко выражаются через тангенсы:
Но об этом чуть позже.
Задача 2. Дан треугольник . Найдите синус, косинус и тангенс угла .
Это равнобедренный прямоугольный треугольник с катетами . Найдём гипотенузу по теореме Пифагора:
Теперь найдём синус, косинус и тангенс:
Простое правило, чтобы не запутаться, где прилежащий катет, а где противолежащий. Просто помните: приставка «ко» означает «вместе», «сообща». Поэтому «косинус» — это «катет, лежащий рядом, к гипотенузе», «котангенс» — это «катет, лежащий рядом, к противолежащему». И никак иначе.:)
Задачи для тренировки
Перед тем как переходить к следующей части урока, предлагаю 4 примера для тренировки.
Задача 3. ►
Дан прямоугольный треугольник с острым углом . Найдите , , .
Задача 4. ►
Задача 5. ►
Прилежащий катет по теореме Пифагора:
Задача 6. ►
Как видим, считать синусы, косинусы и тангенсы совсем несложно. Перейдём теперь к принципиально важному вопросу: а зачем вообще всё это нужно?
Теорема о единственности
Ключевая идея: синус, косинус, тангенс и котангенс зависят только от величины угла и никак не зависят от прямоугольного треугольника, в котором идут вычисления.
Такого не произойдёт. Потому что есть теорема о единственности.
Формулировка теоремы
Теорема. Значение синуса, косинуса, тангенса и котангенса острого угла в прямоугольном треугольнике определяются только величиной этого угла и никак не зависят от самого треугольника.
Доказательство
Рассмотрим произвольный острый угол . Для удобства обозначим его вершину буквой :
А затем впишем в него два произвольных прямоугольных треугольника — и . Любым удобным способом. Например, можно вписать эти треугольники вот так:
А можно и вот так — это не имеет никакого значения:
Рассмотрим треугольники и . Угол у них общий; углы по условию. Следовательно, треугольники и подобны по двум углам:
Из подобия треугольников следует двойное равенство
Выпишем второе равенство — получим пропорцию
Попробуем выразить . Вспомним основное свойство пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних. Поэтому
Разделим обе части равенства на длину каждой гипотенузы — и :
Однако по определению синуса имеем:
Получается, что . Другими словами, вне зависимости от выбора треугольника для данного угла мы всегда будем получать одно и то же значение .
То же самое касается и , и — они зависят лишь от градусной меры угла и никак не зависят от конкретного прямоугольного треугольника, в котором они находятся. Теорема доказана.
Стандартные углы
Итак, значения , , и однозначно определяются величиной угла . Нам не важен треугольник — важна только градусная мера угла. Можно один раз посчитать синусы, косинусы и т.д. для нужных углов, а затем просто подставлять их.
Но тут мы сталкиваемся с проблемой, из-за которой многие как раз и не понимают тригонометрию. Проблема состоит из двух пунктов:
Звучит немного непонятно, поэтому разберём каждый пункт на конкретных примерах.
Три стандартных угла
Существует лишь три острых угла, для которых легко считаются синусы, косинусы и т.д. Это 30°, 45°, 60°. Вот их синусы, косинусы и тангенсы:
Чтобы понять, чем эти углы такие особенные, просто посчитаем все эти синусы, косинусы и тангенсы. Начнём с . Для этого рассмотрим равнобедренный прямоугольный треугольник. Мы уже встречались с ним:
Поскольку в равнобедренном треугольнике , получим:
Это именно те значения, которые указаны в таблице!
Теперь разберёмся с углами и . Здесь рассуждения будут чуть сложнее. Сначала рассмотрим равносторонний треугольник со стороной (просто так удобнее) и проведём высоту :
Мы знаем, что высота — ещё и медиана, и биссектриса. Поэтому , .
Следовательно, треугольник — прямоугольный, да ещё и с острыми углами 30° и 60°. По теореме Пифагора легко найти . Нанесём все данные на чертёж:
Разберёмся с углом 60°:
И с углом 30°:
Попробуйте повторить все эти рассуждения самостоятельно. Это очень полезное упражнение!
Возникает вопрос: как быть с другими углами? Например, можно ли найти ? Или, быть может, ? Спойлер: можно, но это будут очень громоздкие выражения. И у нас пока не хватает технологий, чтобы их найти.
Поэтому идём дальше и посмотрим на ситуацию с другой стороны: как подобрать угол к заданному синусу, косинусу, тангенсу?
Что с другими углами?
Взгляните ещё раз на «классический» прямоугольный треугольник, с которого мы начинали наши рассуждения:
Катеты 4 и 3, гипотенуза 5 — вполне обычный треугольник. Для него можно посчитать, например, синус острого угла :
Итак, мы знаем синус. Внимание, вопрос: каким должен быть угол , чтобы ? Сколько градусов должно быть в угле ? Ответ: неизвестно.:)
Точнее, правильнее сказать, что у нас пока нет технологий, позволяющих найти такой угол , чтобы . Хотя такой угол точно есть, ведь мы предъявили треугольник, в котором он присутствует.
Из всех этих рассуждений сделаем важный вывод. В тригонометрии мы:
Мы можем посчитать лишь синус, косинус и тангенс для трёх табличных углов.
Например, , , и т.д. А всякие , или — не сможем. По крайней мере пока.:)
Зная , или , мы сможем назвать точный угол только в том случае, если все эти синусы, косинусы и тангенсы — среди табличных значений.
Например, мы точно знаем, что если , то . Но когда , мы уже не можем назвать угол (хотя всегда можем построить такой угол).
С этой мыслью мы и переходим к следующему пункту — свойства тригонометрических выражений.
Свойства синуса, косинуса, тангенса
Мы разберём три ключевых свойства:
Свойствам 2 и 3 далее в курсе будут посвящены отдельные уроки. Но основные идеи полезно взять на вооружение уже сейчас.
Связь между синусом, косинусом и тангенсом
Выразим синус, косинус:
А теперь выразим тангенс и заметим, что
Точно так же можно выразить и котангенс:
Более того, сам тангенс и котангенс тоже связаны:
Мы получили три важнейших тригонометрических формулы:
Основные формулы тригонометрии:
Эти формулы нужно знать наизусть. И понимать, откуда они берутся.
Связь между острыми углами
Рассмотрим прямоугольный треугольник , где . Пусть градусная мера градусов:
Мы помним, что сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°. Поэтому если , то угол . Но тогда:
То же самое и с косинусами:
И даже с тангенсами и котангенсами:
Другими словами, если вместо поставить , то исходная тригонометрическая функция поменяется на ко-функцию:
Но это ещё не всё. Есть гораздо более интересная формула.
Основное тригонометрическое тождество
Вновь рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами и , гипотенузой и острым углом :
Запишем выражения для и :
Далее заметим, что
В числителе можем применить теорему Пифагора: , поэтому
Правая часть этой формулы вообще не зависит от угла .
Основное тригонометрическое тождество:
Это равенство связывает синус и косинус одного и того же угла и верно для всех .
С помощью основного тригонометрического тождества можно вычислять косинус, зная синус, и наоборот.
Задача 7. Найдите для острого угла , если .
Решение. Запишем основное тригонометрическое тождество:
Подставим указанное значение и выразим :
Поскольку косинус угла в прямоугольном треугольнике не может быть отрицательным, выбираем вариант . Остаётся сделать финальный шаг:
Вот и всё! Ответ: 8.
В следующем примере мы уже не будем подробно расписывать каждый шаг. Оформим всё так, как надо оформлять на контрольных и экзаменах.
Задача 8. Найдите для острого угла , если .
Решение. Найдём :
Но , поэтому . Следовательно
Заметка на будущее: замечание о том, что угол острый, весьма существенно. То, как мы сейчас определяем синусы, косинусы и тангенсы (через прямоугольный треугольник), называется геометрической тригонометрией. Её проходят в 8—9 классе.
Но в 10—11 классах появится алгебраическая тригонометрия, где синусы, косинусы и т.д. вполне могут быть отрицательными. И уже не получится просто так избавиться от минуса.
Но всё это будет чуть позже. А сейчас потренируемся.
Задача 9. ►
Поскольку для острых , выбираем . Итого
Задача 10. ►
Тригонометрия на координатной сетке
Задачи, которые мы сейчас разберём, вполне могут встретиться в ОГЭ и даже ЕГЭ. Часто в них нет прямоугольного треугольника — есть лишь угол, в который этот треугольник предлагается вписать.
Для решения задач на координатной сетке достаточно посмотреть, через какие узлы сетки проходят интересующие нас лучи. И понять, какие из этих узлов имеет смысл соединить дополнительными построениями.
Звучит страшно, но на практике всё легко.:)
Задача 11. Найдите тангенс угла , изображённого на координатной сетке:
Решение. Дополнительное построение: — перпендикуляр из точки на луч .
Треугольник — прямоугольный, причём угол — один из его острых углов. Поэтому
Это и есть искомый тангенс.
Ещё раз: важно, чтобы основание перпендикуляра попадало в узел сетки. Иначе нахождение длины катетов резко усложняется. Попробуйте сами:
Задача 12. ►
Дополнительное построение: — перпендикуляр из точки к лучу .
Треугольник — прямоугольный с острым углом . Поэтому
Разумеется, это были совсем простые задачи. Потому что один из лучей был параллелен линиям сетки.
Куда интереснее (и полезнее) рассмотреть ситуации, где лучи направлены под углом к сетке. Суть та же: ищем и соединяем узлы на лучах. Но тут уже нужна наблюдательность.
Задача 13. Найдите тангенс угла , изображённого на координатной сетке:
Решение. Луч содержит лишь две точки в узлах координатной сетки — собственно, и . Понятно, что если продолжить луч за точку , мы найдём ещё много таких точек, но будем решать задачу с тем, что есть.
Заметим, что прямая наклонена к линиям сетки под углом 45° и образует диагонали квадратов. Это значит, что перпендикуляр к ней тоже будет наклонён под углом 45°.
Дополнительное построение: отрезок — диагональ одного из квадратов сетки.
Очевидно, что угол прямой, поэтому треугольник прямоугольный и содержит искомый острый угол . Находим тангенс:
Здесь мы предположили, что сторона квадрата сетки равна 1. Но с тем же успехом можно считать, что сторона квадрата :
Подобные задачи считаются довольно сложными. По статистике большинство выпускников 9 классов не способны их решать. Но вы-то теперь точно справитесь. Попробуйте:
Задача 14. ►
Дополнительное построение: отрезок .
Очевидно, , угол прямой. Следовательно, треугольник — прямоугольный и равнобедренный. Поэтому .
Либо можно посчитать «напролом», полагая, что сторона квадрата сетки равна :
Вообще, поиск «правильных» узлов на координатной сетке — это своего рода искусство. И если углубляться в эту тему, то можно быстро выйти на «полуолимпиадные» задачи.
К тому же не существует «самого правильного» дополнительного построения. Задачу на координатной сетке всегда можно решить множеством различных способов. Так, в последнем примере можно было провести перпендикуляр вот так:
И даже так (хотя вряд ли этот способ можно назвать рациональным):
Во всех случаях ответ будет один и тот же. Поэтому не бойтесь экспериментировать. И переходите к следующему уроку — к действительно важным и полезным свойствам синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов.:)