Запросы «sin» и «синус» перенаправляются сюда; у терминов sin и синус есть также другие значения.
Запрос «sec» перенаправляется сюда; см. также другие значения.
Рис. 1.Графики тригонометрических функций: , , , , ,
Раздел математики, изучающий свойства тригонометрических функций, называется тригонометрией.
К тригонометрическим функциям традиционно причисляют:
прямые тригонометрические функции:
производные тригонометрические функции:
обратные тригонометрические функции:
Кроме этих шести широко известных тригонометрических функций, иногда в литературе используются некоторые редко используемые тригонометрические функции (версинус и т. д.).
Синус и косинус вещественного аргумента представляют собой периодические, непрерывные и бесконечно дифференцируемые вещественнозначные функции. Остальные четыре функции на вещественной оси также вещественнозначны, периодичны и бесконечно дифференцируемы, за исключением счётного числа разрывов второго рода: у тангенса и секанса в точках , а у котангенса и косеканса — в точках .
Графики тригонометрических функций показаны на рис. 1.
Рис. 1 Графики тригонометрических функций: , , , , ,
Тригонометрические фу́нкции — математические функции от угла. Они безусловно важны при изучении геометрии, а также при исследовании периодических . Обычно тригонометрические функции определяют как отношения сторон или определённых отрезков в . Более современные определения выражают тригонометрические функции через суммы рядов или как решения некоторых дифференциальных уравнений, что позволяет расширить область определения этих функций на произвольные вещественные числа и даже на комплексные числа.
В настоящее время выделяют шесть основных тригонометрических функций, указанных ниже вместе с уравнениями, связывающими их друг с другом. Для последних четырёх функций, эти соотношения часто называют этих функций, однако можно определять эти функции геометрически или как-нибудь по-другому. Кроме того, существуют другие функции, такие как и , но они в настоящее время редко используются (см. Редко используемые тригонометрические функции). С тригонометрическими функциями тесно связаны обратные им функции (см. Обратные тригонометрические функции)
Линия синуса (линия на рис. 2) у индийских математиков первоначально называлась «арха-джива» («полутетива», то есть половина хорды данной дуги, поскольку дуга с хордой напоминает лук с тетивой). Затем слово «арха» было отброшено и линию синуса стали называть просто «джива». Арабские математики, переводя индийские книги с санскрита, не перевели слово «джива» арабским словом «ватар», обозначающим тетиву и хорду, а транскрибировали его арабскими буквами и стали называть линию синуса «джиба» (). Так как в арабском языке краткие гласные не обозначаются, а долгое «и» в слове «джиба» обозначается так же, как полугласная «й», арабы стали произносить название линии синуса как «джайб», что буквально обозначает «впадина», «пазуха». При переводе арабских сочинений на латынь европейские переводчики перевели слово «джайб» латинским словом — «синус», имеющим то же значение (именно в этом значении оно применяется как анатомический термин синус). Термин «косинус» (лат. ) — это сокращение от лат. — дополнительный синус.
Современные краткие обозначения , введены Уильямом Отредом и Бонавентурой Кавальери и закреплены в трудах Леонарда Эйлера.
Термины «тангенс» (лат. — касающийся) и «секанс» (лат. — секущий) были введены датским математиком Томасом Финке в его книге «Геометрия круглого» (Geometria rotundi, 1583). Сам термин тригонометрические функции введён Клюгелем в 1770 году. В XVIII веке Ж. Лагранжем и другими математиками были введены и термины для обратных тригонометрических функций — арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс, арксеканс, арккосеканс — с помощью добавления приставки «арк» (от лат. — дуга).
Свойства тригонометрических функций
Функция y = cos x — . Функции: y = sin x, y = tg x, y = ctg x — , то есть:
Для острых углов
справедливо:
Для углов справедливо:
Рассмотрим треугольник ABO (см. Рис. 1). По теореме Пифагора:
если OA = 1, то AB = sin α и OB = cos α, то есть
Если разделить выражение
на то получим следующее тождество:
- Бермант А. Ф., Люстерник Л. А. Тригонометрия. — М.: Наука, 1967.
- Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — М.: Наука, 1978.
- Кожеуров П. А. Тригонометрия. — М.: Физматгиз, 1963.
- Маркушевич А. И. Замечательные синусы. — М.: Наука, 1974.
Определение тригонометрических функций через окружность
Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат с началом в точке и с осями и . Возьмём в этой системе координат окружность с центром в точке и , равным единице. Пусть отрезок поворачивается на произвольный угол вокруг центра
Синусом угла называется отношение точки к длине отрезка Обозначают Так как длина отрезка равна , то
Косинусом угла называется отношение точки к длине отрезка Обозначают Так как длина отрезка равна 1, то
Тангенсом угла называется отношение ординаты точки к абсциссе точки . Обозначают (в англоязычной литературе Так как и то
Котангенсом угла называется отношение абсциссы точки к ординате точки . Обозначают (в англоязычной литературе Так как и то Котангенс равен обратному значению тангенса:
Секансом угла называется отношение длины отрезка к абсциссе точки . Обозначают Так как длина отрезка равна 1, то Секанс равен обратному значению косинуса:
Косекансом угла называется отношение длины отрезка к ординате точки . Обозначают (в англоязычной литературе Так как длина отрезка равна , то Косеканс равен обратному значению синуса:
Из определения следует: если косинус угла равен нулю, то тангенс и секанс этого угла не существуют. Аналогично для котангенса и косеканса: если синус угла равен нулю, то котангенс и косеканс этого угла не существуют.
Поскольку синус и косинус являются соответственно ординатой и абсциссой точки, соответствующей на единичной окружности углу , то согласно уравнению единичной окружности () или теореме Пифагора имеем для любого :
Это соотношение называется основным тригонометрическим тождеством.
Разделив это уравнение на квадрат косинуса и синуса соответственно, получим:
Из определения тангенса и котангенса следует, что
Любую тригонометрическую функцию можно выразить через любую другую тригонометрическую функцию с тем же аргументом (с точностью до знака из-за неоднозначности раскрытия квадратного корня). Нижеприведённые формулы верны для :
Косинус и секанс — чётные. Остальные четыре функции — нечётные, то есть:
Функции — периодические с периодом , функции и — c периодом .
Формулами приведения называются формулы следующего вида:
Здесь — любая тригонометрическая функция, — соответствующая ей кофункция (то есть косинус для синуса, синус для косинуса, тангенс для котангенса, котангенс для тангенса, секанс для косеканса и косеканс для секанса), — целое число. Перед полученной функцией ставится тот знак, который имеет исходная функция в заданной координатной четверти при условии, что угол острый, например:
или что то же самое:
Некоторые формулы приведения:
Интересующие формулы приведения так же могут легко быть получены рассмотрением функций на единичной окружности.
Формулы сложения и вычитания
Значения тригонометрических функций суммы и разности двух углов:
Аналогичные формулы для суммы трёх углов:
Формулы для кратных углов
Формулы двойного угла:
Формулы тройного угла:
Прочие формулы для кратных углов:
следует из формулы дополнения и формулы Гаусса для гамма-функции.
Из формулы Муавра можно получить следующие общие выражения для кратных углов:
где — целая часть числа , — биномиальный коэффициент.
Формулы половинного угла:
Формулы для произведений функций двух углов:
Аналогичные формулы для произведений синусов и косинусов трёх углов:
Формулы для произведений тангенсов и котангенсов трёх углов можно получить, поделив правые и левые части соответствующих равенств, представленных выше.
где угол находится из соотношений:
Универсальная тригонометрическая подстановка
Все тригонометрические функции можно выразить через тангенс половинного угла:
Определение для любых углов
Рис. 2.Определение тригонометрических функций
Рис. 3.Численные значения тригонометрических функций угла в тригонометрической окружности с радиусом, равным единице
Синусом угла называется ордината точки единичной окружности, где получается поворотом на угол в положительном направлении (против часовой стрелки), если , и в отрицательном (по часовой стрелке), если .
Косинусом угла называется абсцисса точки единичной окружности, где получается поворотом на угол в положительном направлении (против часовой стрелки), если , и в отрицательном (по часовой стрелке), если .
Тангенсом угла называется отношение ординаты точки единичной окружности к её абсциссе, причём точка не принадлежит оси ординат.
Таким образом, определения тригонометрических функций выглядят следующим образом:
Нетрудно видеть, что такое определение также основывается на отношениях прямоугольного треугольника, с тем отличием, что учитывается знак (). Поэтому тригонометрические функции можно определить и по окружности произвольного радиуса , однако формулы придётся нормировать. На рисунке 3 показаны величины тригонометрических функций для единичной окружности.
В тригонометрии удобным оказывается вести счёт углов не в градусной мере, а в радианной. Так, угол в запишется длиной единичной окружности . Угол в равен, соответственно и так далее. Заметим, что угол на отличающийся от по рисунку эквивалентен , вследствие чего заключим, что тригонометрические функции периодичны.
Наконец, определим тригонометрические функции вещественного числа тригонометрическими функциями угла, радианная мера которого равна .
Определение для острых углов
Рис. 4.Тригонометрические функции острого угла
Определение тангенса. Марка СССР 1961 года
Данное определение имеет некоторое методическое преимущество, так как не требует введения понятия системы координат, но также и такой крупный недостаток, что невозможно определить тригонометрические функции даже для тупых углов, которые необходимо знать при решении элементарных задач о тупоугольных треугольниках. ( См.: теорема синусов, теорема косинусов).
Определение как решений дифференциальных уравнений
Синус и косинус можно определить как единственные функции, вторые производные которых равны самим функциям, взятым со знаком минус:
То есть задать их как чётное (косинус) и нечётное (синус) решения дифференциального уравнения
с дополнительными условиями:
для косинуса и для синуса.
Определение как решений функциональных уравнений
при дополнительных условиях:
и при .
Определение через ряды
Используя геометрию и свойства пределов, можно доказать, что производная синуса равна косинусу, и что производная косинуса равна минус синусу. Тогда можно воспользоваться теорией рядов Тейлора и представить синус и косинус в виде степенны́х рядов:
Пользуясь этими формулами, а также равенствами и можно найти разложения в ряд и других тригонометрических функций:
— числа Бернулли,
— числа Эйлера.
Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника
Изучение тригонометрии мы начнем с прямоугольного треугольника. Определим, что такое синус и косинус, а также тангенс и котангенс острого угла. Это основы тригонометрии.
Напомним, что прямой угол — это угол, равный 90 градусов. Другими словами, половина развернутого угла.
Острый угол — меньший 90 градусов.
Тупой угол — больший 90 градусов. Применительно к такому углу «тупой» — не оскорбление, а математический термин 🙂
Нарисуем прямоугольный треугольник. Прямой угол обычно обозначается C. Обратим внимание, что сторона, лежащая напротив угла, обозначается той же буквой, только маленькой. Так, сторона, лежащая напротив угла A, обозначается .
Угол A обозначается соответствующей греческой буквой .
Гипотенуза прямоугольного треугольника — это сторона, лежащая напротив прямого угла.
Катеты — стороны, лежащие напротив острых углов.
Катет , лежащий напротив угла , называется противолежащим (по отношению к углу ). Другой катет , который лежит на одной из сторон угла , называется прилежащим.
Синус острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к гипотенузе:
Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение прилежащего катета к гипотенузе:
Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение противолежащего катета к прилежащему:
Другое (равносильное) определение: тангенсом острого угла называется отношение синуса угла к его косинусу:
Котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение прилежащего катета к противолежащему (или, что то же самое, отношение косинуса к синусу):
Обратите внимание на основные формулы для синуса, косинуса, тангенса и котангенса, которые приведены ниже. Они пригодятся нам при решении задач.
Давайте докажем некоторые из них.
Хорошо, мы дали определения и записали формулы. А для чего все-таки нужны синус, косинус, тангенс и котангенс?
Мы знаем, что сумма углов любого треугольника равна .
Знаем соотношение между сторонами прямоугольного треугольника. Это теорема Пифагора: .
Получается, что зная два угла в треугольнике, можно найти третий. Зная две стороны в прямоугольном треугольнике, можно найти третью. Значит, для углов — свое соотношение, для сторон — свое. А что делать, если в прямоугольном треугольнике известен один угол (кроме прямого) и одна сторона, а найти надо другие стороны?
С этим и столкнулись люди в прошлом, составляя карты местности и звездного неба. Ведь не всегда можно непосредственно измерить все стороны треугольника.
Синус, косинус и тангенс — их еще называют тригонометрическими функциями угла — дают соотношения между сторонами и углами треугольника. Зная угол, можно найти все его тригонометрические функции по специальным таблицам. А зная синусы, косинусы и тангенсы углов треугольника и одну из его сторон, можно найти остальные.
Мы тоже нарисуем таблицу значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса для «хороших» углов от до .
Обратите внимание на два прочерка в таблице. При соответствующих значениях углов тангенс и котангенс не существуют.
Если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то синусы этих углов равны, косинусы этих углов равны и тангенсы этих углов равны.
В самом деле, пусть АВС и
— два прямоугольных треугольника с прямыми углами С и
и равными острыми углами А и
Треугольники АВС и
подобны по первому признаку подобия треугольников, поэтому
Из этих равенств следует, что
т. е. sin А = sin
т. е. cos А = cos
т. е. tg A = tg
Это значит, что синус, косинус и тангенс зависят только от величины угла.
Разберем несколько задач по тригонометрии из Банка заданий ФИПИ.
В треугольнике ABC угол C равен , sin A = 0,1. Найдите cos B.
Задача решается за четыре секунды.
Поскольку , sin A = cos B = 0,1.
. В треугольнике угол равен , , .
Найдем AC по теореме Пифагора.
Задача 3. В треугольнике АВС угол С равен
Для угла А противолежащий катет – это ВС,
АВ является гипотенузой треугольника, лежит против
Значит, sin A
Катет, прилежащий к
– это катет АС, следовательно, cos А
Длину катета АС найдем по теореме Пифагора:
Ответ: 0,92; 0,42.
Заметим, что если катеты прямоугольного треугольника равны 5 и 12, то гипотенуза равна 13. Это одна из так называемых Пифагоровых троек. О них мы расскажем в других статьях сайта.
Задача 4. В треугольнике АВС угол С равен
AC = 2, sin A=
AC = b = 2, BC = a, AB = c.
Так как sin A
Задача 5. В треугольнике АВС угол С равен
AC = b = 4, tg A
CH – высота, AB = 13, tg A =
AВ = с = 13, tg A =
(по двум углам), следовательно
Задача 7. В треугольнике АВС угол С равен
CH – высота, BC = 3, sin A =
Так как sin A =
= cos B =
тогда BH =
AH = AB – BH = 18 – 0,5 = 17,5.
Задача 8. В треугольнике АВС угол С равен 90
CH — высота, BC = 3, cos A =
Так как для
sin В =
ВНС: sin В =
, откуда СН =
По теореме Пифагора найдем ВН:
Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой. Поэтому для
Задача 9. В треугольнике АВС угол С равен 90
По определению sin A=
ВС найдем по теореме Пифагора:
а значит и sin A =
Задача 10. В треугольнике АВС угол С равен 90
По определению sin A =
тогда tg A =
который найдем из
Задача 11. В треугольнике АВС угол С равен 90
CH — высота, BН = 12, tg A =
По определению tg A=
АHC: tg A=
Задача 12. В треугольнике АВС угол С равен 90
CH — высота, BН = 12, sin A =
Так как cos В =
= sin A =
СВН имеем cos В =
тогда ВС =
АВС имеем sinA =
тогда AВ =
Задача 13. В треугольнике АВС угол С равен 90
Найдем НВ по теореме Пифагора из
АВС: cos A =
получили cos A = 0,6.
Найдем АС и АВ несколькими способами.
Так как cos A =
тогда по теореме Пифагора
х = 5 ( так как х
(по двум углам), значит
(высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой) , тогда
АН = 144:16 = 9.
АВ = АН + НВ = 9 + 16 = 25.
По теореме Пифагора найдем АС:
Ответ: cos A = 0,6; АС = 15, АВ = 25.
Высота ВН прямоугольного треугольника АВС, проведенная из вершины прямого угла В, равна 24 и отсекает от гипотенузы АС отрезок НС, равный 18.
Найдите АВ и cos А.
cos C =
АВС: sin А =
= cos C =
АНВ: sin А =
Из основного тригонометрического тождества найдем
Ответ: АВ = 40, cos A = 0,8.
Гипотенуза АС прямоугольного треугольника АСЕ равна 50, sin А =
Найдите площадь треугольника.
АСЕ sin А =
Второй катет найдем, используя теорему Пифагора:
Площадь прямоугольного треугольника равна S =
В треугольнике АВС угол С — прямой, катеты АВ = 13 и ВС = 12, СК — высота.
Найдем АС по теореме Пифагора из
Задача 17. В треугольнике АВС АС = ВС, АВ = 72, cos A =
Так как АС = ВС, то
высота СН является медианой, то есть АН = НВ =
Задача 18. В треугольнике АВС угол С равен 90
AC = 10
Поскольку sin A =
то можно обозначить
ВС = 11х, АВ = 14х.
(14х- 11х)(14х + 11х) = 3
следовательно, АВ = 14
Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством
По определению cos A =
Так как АС=10
откуда АВ =
Задача 19. Найдите углы ромба АВСD, если его диагонали АС и ВD равны 4
Диагонали ромба делят его углы пополам, значит,
Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, следовательно, в прямоугольном треугольнике АВО катет АО =
а катет ВО =
Часто в задачах встречаются треугольники с углами и или с углами и . Основные соотношения для них запоминайте наизусть!
Для треугольника с углами и катет, лежащий напротив угла в , равен половине гипотенузы.
Треугольник с углами и — равнобедренный. В нем гипотенуза в раз больше катета.
угол А равен 30
Найдите высоту CH.
По свойству катета, лежащего против угла
имеем ВС =
следовательно, ВН =
По теореме Пифагора найдем НС:
CH — высота, АВ = 2,
АВС найдем ВС =
АВ = 1 (по свойству катета, лежащего против угла 30
АН = АВ — НВ = 2 –
Еще раз повторим, что такое синус, косинус и тангенс угла в прямоугольном треугольнике.
Как запомнить эти соотношения? Лучший способ – решать много задач, и на уроках геометрии, и готовясь к ЕГЭ. Тогда все формулы, равенства, соотношения запомнятся сами собой.
Мы рассмотрели задачи на решение прямоугольных треугольников — то есть на нахождение неизвестных сторон или углов. Но это не всё! В вариантах ЕГЭ по математике множество задач, где фигурирует синус, косинус, тангенс или котангенс внешнего угла треугольника. Об этом — в следующей статье.
Если вам понравился разбор данной темы – записывайтесь на курсы подготовки к ЕГЭ по математике онлайн
Спасибо за то, что пользуйтесь нашими публикациями.
Информация на странице «Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из разделов нашего сайта.
Публикация обновлена:
05.10.2023
Тригонометрические функции в прямоугольном треугольнике
Чтобы определить тригонометрические функции произвольного угла возьмём произвольный прямоугольный треугольник, содержащий угол . Стороны этого треугольника мы будем называть так:
Будем предполагать, что треугольник лежит в евклидовой плоскости, поэтому сумма его углов равна Это означает, что углы между катетами и гипотенузой лежат между и Используя формулы приведения или определение через единичную окружность, можно расширить область определения тригонометрических функций на множество вещественных чисел.
Си́нус угла — отношение противолежащего катета к гипотенузе: Это отношение не зависит от выбора треугольника , содержащего угол так как все такие треугольники подобны.
Ко́синус угла — отношение прилежащего катета к гипотенузе: Так как синус одного острого угла в треугольнике равна косинусу второго, и наоборот.
Та́нгенс угла — отношение противолежащего катета к прилежащему:
Кота́нгенс угла — отношение прилежащего катета к противолежащему: Котангенс одного острого угла в прямоугольном треугольнике равен тангенсу второго, и наоборот.
Се́канс угла — отношение гипотенузы к прилежащему катету:
Косе́канс угла — отношение гипотенузы к противолежащему катету:
Из определений тригонометрических функций следует:
Исследование функций в математическом анализе
Тригонометрические функции могут быть представлены в виде бесконечного произведения многочленов:
Эти соотношения выполняются при любом значении .
Разложение тангенса в непрерывную дробь:
Производные и первообразные
Все тригонометрические функции непрерывно и неограниченно дифференцируемы на всей области определения:
Тригонометрические функции комплексного аргумента
Формула Эйлера позволяет определить тригонометрические функции от комплексных аргументов через экспоненту по аналогии с гиперболическими функциями, или (с помощью рядов) как аналитическое продолжение их вещественных аналогов:
Соответственно, для вещественного x:
Комплексные синус и косинус тесно связаны с гиперболическими функциями:
Большинство перечисленных выше свойств тригонометрических функций сохраняются и в комплексном случае. Некоторые дополнительные свойства:
На следующих графиках изображена комплексная плоскость, а значения функций выделены цветом. Яркость отражает абсолютное значение (чёрный — ноль). Цвет изменяется от аргумента и угла согласно карте.
vi:Hàm lượng giác
Производные и интегралы
Все тригонометрические функции непрерывно дифференцируемы на всей области определения:
Интегралы тригонометрических функций на области определения выражаются через элементарные функции следующим образом:
Значения тригонометрических функций для некоторых углов
Значения синуса, косинуса, тангенса, котангенса, секанса и косеканса для некоторых углов приведены в таблице.
Значения тригонометрических функций нестандартных углов
Определение тригонометрических функций через ряды
Используя геометрию и свойства пределов, можно доказать, что производная синуса равна косинусу и что производная косинуса равна минус синусу. Тогда можно воспользоваться теорией рядов Тейлора и представить синус и косинус в виде суммы степенных рядов:
Пользуясь этими формулами, а также уравнениями и можно найти разложения в ряд Тейлора и других тригонометрических функций:
где — числа Бернулли.
где — .
Линия синуса у индийских математиков первоначально называлась «арха-джива» («полутетива»), затем слово «арха» было отброшено и линию синуса стали называть просто «джива». Арабские переводчики не перевели слово «джива» арабским словом «ватар», обозначающим тетиву и хорду, а транскрибировали арабскими буквами и стали называть линию синуса «джиба». Так как в краткие гласные не обозначаются, а долгое «и» в слове «джиба» обозначается так же, как полугласная «й», арабы стали произносить название линии синуса «джайб», что буквально обозначает «впадина», «пазуха». При переводе арабских сочинений на европейские переводчики перевели слово «джайб» латинским словом sinus, имеющим то же значение.
Современное обозначение синуса sin и косинуса cos введено Леонардом Эйлером в XVIII веке.
Термины «тангенс» (от — касающийся) и «секанс» ( — секущий) были введены датским математиком (1561—1656) в его книге «Геометрия круглого» (Geometria rotundi, 1583)
Значения синуса, косинуса, тангенса, котангенса, секанса и косеканса для некоторых углов приведены в таблице. («» означает, что функция в указанной точке не определена, а в её окрестности стремится к бесконечности).
Значения косинуса и синуса на окружности
Значения тригонометрических функций для некоторых других углов