Первое печатное появление знака равенства в книге Роберта Рекорда в 1557 году (записано уравнение 14x + 15 = 71)
Уравне́ние — равенство вида
где чаще всего в качестве выступают числовые функции, хотя на практике встречаются и более сложные случаи — например, уравнения для вектор-функций, функциональные уравнения и другие.
Квадра́тное уравне́ние — алгебраическое уравнение второй степени с общим видом
в котором — неизвестное, а коэффициенты , и — вещественные или комплексные числа.
Корень уравнения — это значение неизвестного , обращающее квадратный трёхчлен в ноль, а квадратное уравнение в верное числовое равенство. Также это значение называется корнем самого многочлена
Полным называют такое квадратное уравнение, все коэффициенты которого отличны от нуля.
Неполным называется такое квадратное уравнение, в котором хотя бы один из коэффициентов, кроме старшего (либо второй коэффициент, либо свободный член), равен нулю.
Квадратное уравнение является разрешимым в радикалах, то есть его корни могут быть выражены через коэффициенты в общем виде.
(a = 4);
(b = -3);
(c = 1).
Корни квадратного уравнения вычисляют по формулам:
, где (D =)
b2
−4ac
(D) называется дискриминантом.
По значению дискриминанта можно определить количество корней квадратного уравнения.
Если (D < 0) (отрицательный), то у уравнения нет действительных корней.
Если (D = 0), то у уравнения два равных корня.
Приведённое квадратное уравнение (коэффициент при
равен
, т. е. (а = 1))
можно решить с помощью обратной теоремы Виета:
Неполные квадратные уравнения
Неполные квадратные уравнения имеют
вида:
1. если (c = 0), то
2. если (b = 0), то
Неполные квадратные уравнения можно решать с помощью формул дискриминанта, но рациональнее выбрать специальные способы:
можно решить, разложив на множители (вынести за скобку (x))
(x = 0) или (ax+b=0). Значит, один корень равен (0), а второй корень
(т. к. произведение двух чисел равно (0) только тогда, когда хотя бы один из множителей равен (0)).
Ответ: (x = 0); (x = 15).
можно решить, извлекая корень из каждой части уравнения.
; (обе стороны делятся на (a))
x2=−ca
−ca
. Извлекая корень из правой части уравнения, получаем (x) по модулю.
Это значит, что
из этого следует, что
У уравнения нет решения, т. к. квадратный корень из отрицательного числа не имеет смысла (также известно, что число во второй степени не может быть отрицательным).
называют уравнение вида
, где коэффициенты (a), (b), (c) — любые действительные числа, причём
Коэффициенты (a), (b), (c) имеют отдельные названия:
(a) называют первым коэффициентом, или старшим коэффициентом;
(b) — вторым коэффициентом, или коэффициентом при (x);
(c) — третим коэффициентом, или свободным членом.
Если старший коэффициент квадратного уравнения равен
, то такое уравнение называют
если старший коэффициент отличен от
, то квадратное уравнение называют .
имеет старший коэффициент, равный
, поэтому оно неприведённое,
имеет старший коэффициент, равный
, поэтому оно приведённое.
Квадратные уравнения также бывают полные и неполные.
квадратное уравнение — это квадратное уравнение, в котором присутствуют все три слагаемых; иными словами, это уравнение, у которого коэффициенты (b) и (c) не равны нулю.
квадратное уравнение — это квадратное уравнение, в котором отсутствуют некоторые слагаемые; иначе говоря, это квадратное уравнение, в котором хотя бы один из коэффициентов (b), (c) нулевой.
речи нет, этот член всегда присутствует в квадратном уравнении.
называют всякое значение переменной (x), при котором квадратный трёхчлен
обращается в нуль; такое значение переменной (x) называют также корнем квадратного трёхчлена.
Алгоритм решения неполных квадратных уравнений
1. Уравнение вида
имеет одно решение: (x=0).
2. Уравнение вида
решается способом разложения на множители и имеет два решения: (x(ax + b) = 0); то есть (x = 0) или (ax + b = 0). Получаем:
— отрицательное число, уравнение
не имеет решений (исходное уравнение
также не имеет решений).
— положительное число, т. е.
имеет два корня:
. В этом случае допускается более короткая запись:
(полное или неполное) может иметь два корня, один корень или не иметь корней.
Для решения квадратных уравнений полезно иметь под рукой таблицу квадратов.
В наши дни обучение становится все востребование. Такой вид самоусовершенствования имеет ряд преимуществ. Главной мотивацией к обучению является доступ к материалу благодаря мультимедийным ресурсам. К тому же, ученик получает необходимые знания с помощью чтения, что более эффективно, чем прослушивание. Очень важно подобрать качественный ресурс (сайт), где будет изложено решение нужной задачи.
Рассмотрим решение квадратных уравнений.
Квадратное уравнение имеет вид ax2 + bx + c = 0, где x – переменная; а и b – коэффициенты; с – свободный член уравнения.
Квадратные уравнения называют приведенными, если а = 1. Неполное квадратное уравнение, если b или с равны нулю.
Чтобы найти корни уравнения, необходимо вычислить дискриминант. D = b2 – 4ac
После чего корни квадратного уравнения рассчитываются по формуле x = (-b ± √(b^2-4ac))/2a
График квадратичной функции – парабола. Если значение а – положительное, то ветви параболы направлены вверх, отрицательное – вниз. При положительном коэффициенте b – вершина находится в левой полуплоскости, при отрицательном – в правой. Точки пересечения графика с осью абсцисс – корни квадратного уравнения. Соответственно, когда уравнение корней не имеет, парабола не пересекает ось абсцисс. Если уравнение имеет один корень, то вершина параболы (одна точка) касается оси абсцисс.
Как видно из решения, найти корни квадратного уравнения достаточно просто. При доступном изложении материала, можно выучить любой урок. Безусловно, занятия в школе обучение заменить не сможет, но быть вспомогательным инструментом вполне. Особенно такой способ актуален для школьников с ограниченными возможностями, программа для которых создается индивидуально, что намного эффективнее по сравнению с надомным обучением. К тому же, обучение всегда дешевле, чем занятия с репетитором, а со стороны родителей может осуществляться контроль за уровнем усваивания материала ребенком.
Остались вопросы?
Здесь x играет роль неизвестного, a и b являются коэффициентами, c определяется как свободный член.
В процессе решения заданий важно научиться нахождению отличий между квадратными и неквадратными уравнениями. Рассмотрим несколько примеров.
Если исключить знаменатель и выполнить умножение каждого из членов на 4x, получим в результате:
Следует перенести члены влево, таким образом, чтобы степени x убывали:
Заметим, что данное уравнение имеет вид квадратного уравнения.
Если умножить обе части уравнения на 8x, получим:
Заключаем, что это уравнение нельзя назвать квадратным.
Разберем еще один пример:
Умножим все части уравнения на
Заметим, что в уравнении присутствуют степени 2 и 4. С другой стороны, при замене
На первый взгляд, в уравнении присутствует
Уравнение примет окончательный вид: -5x + 3 = 0.
Заметим, что члены
Полным квадратным уравнением является такое уравнение, которое имеет коэффициенты a, b и c отличные от нуля.
Алгоритм решения через дискриминант
Решение квадратных уравнений с помощью дискриминанта не вызывает проблем, если следовать стандартному алгоритму и запомнить несколько формул. Порядок действий следующий:
Возможно несколько вариантов решения:
Представим объяснение того, какова причина наличия у уравнения разного количества корней. Для этого рассмотрим квадратное уравнение с точки зрения геометрии.
Заметим, что графиком функции
Рассмотрим частный случай в виде квадратного уравнения f(x) = 0. Корни этого уравнения являются точками пересечения с осью абсцисс. Существует три схемы расположения параболы:
Решим уравнение рассмотренным способом для тренировки:
Заметим, что данное уравнение записано в стандартном виде, поэтому первый шаг алгоритма можно пропустить. Определим дискриминант:
Запишем в ответ два корня.
Ответ: -2; 0,75
Алгоритм решения через теорему Виета
Поэтапный алгоритм действий при решении квадратных уравнений по теореме Виета:
Для повторения материала рассмотрим порядок действий при решении уравнения с применением теоремы Виета:
Заметим, что а = 1. Это позволяет решать уравнение с помощью теоремы Виета. Корни уравнения в сумме равны –p. Запишем первое выражение:
Произведение корней равно q:
Можно записать систему и найти ее корни:
Выполним подбор таких пар чисел, которые при умножении дают число 12, а в сумме составляют 7:
12 + 1 = 1
2 + 6 = 8
3 + 4 = 7
3 и 4 являются решением системы:
В результате получили решения уравнения: 3 и 4. Можно записать ответ.
Ответ: 3; 4.
Примеры решения задач
Корень уравнения также называют корнем данного многочлена
Квадратное уравнение состоит из следующих элементов:
Квадратное уравнение называют неприведенным, если старший коэффициент отличен от 1.
Полное и неполное квадратное уравнение
Полное квадратное уравнение включает в свой состав коэффициенты, каждый из которых не равен нулю.
Неполным называют такое квадратное уравнение, в котором имеется как минимум один коэффициент, за исключением старшего, обладающим нулевым значением.
Связь между корнями и коэффициентами
Согласно общей формуле для определения корней квадратного уравнения, их значения зависят от коэффициентов. Найти корни можно с помощью справедливого равенства:
Перед тем, как ознакомиться с алгоритмом решения, важно ввести понятие дискриминант.
После умножения каждой части на 4a следует прибавить
В формуле присутствует модуль. Рассмотренный способ решения квадратных уравнений является универсальным вариантом. Существуют другие методы, область применения которых ограничена значением коэффициента.
Если b является четным числом, и
В том случае, когда квадратное уравнение неполное, целесообразно использовать следующие формулы для его решения, исходя из значения коэффициентов:
График квадратного уравнения
Квадратичную функцию принято изображать на графике в виде параболы. Роль решений, или корней, для квадратного уравнения играют абсциссы точек, в которых параболы пересекают ось абсцисс. Возможно несколько вариантов решений:
В том случае, когда коэффициент а является положительным числом, нужно строить параболу с ветвями, которые направлены вверх.
Если же коэффициент а является отрицательным числом, то ветви параболы направлены вниз.
При положительном коэффициенте b (при положительном a, при отрицательном наоборот), вершина параболы совпадает с левой полуплоскостью и наоборот.
Как решать систему уравнений с квадратами
Существуют системы уравнений, решение которых удобно свести к поиску корней для квадратных уравнений. На примере можно рассмотреть алгоритм действий с системой, состоящей из квадратных уравнений.
В качестве еще одного примера решим систему двух уравнений с двумя неизвестными, где одно уравнение первой степени, а второе — второй степени.
В процессе решения системы из линейного уравнения необходимо выразить какую-то переменную. После подстановки полученного значения в другое уравнение получится квадратное уравнение. Затем действия выполняют по стандартному алгоритму.
Рассмотрим другой вариант системы уравнений, который часто встречается в решении задач по математике в классах средней школы. Система состоит из двух уравнений второй степени. Суть решения в этом случае заключается в приведении его к поиску корней квадратного уравнения.
Иллюстрация графического метода нахождения корней уравнения x = f(x)
Решение уравнения — задача по нахождению таких значений аргументов, при которых это равенство достигается. На возможные значения аргументов могут быть наложены дополнительные условия (целочисленности, вещественности и т. д.).
Аргументы заданных функций (иногда называются «переменными») в случае уравнения называются «неизвестными».
Значения неизвестных, при которых это равенство достигается, называются решениями или корнями данного уравнения.
Про корни говорят, что они удовлетворяют данному уравнению.
Решить уравнение означает найти множество всех его решений (корней) или доказать, что корней нет вовсе (либо нет тех, что удовлетворяют заданным условиям).
Равносильными или эквивалентными называются уравнения, множества корней которых совпадают. Равносильными также считаются уравнения, которые не имеют корней.
Эквивалентность уравнений имеет свойство симметричности: если одно уравнение эквивалентно другому, то второе уравнение эквивалентно первому.
Эквивалентность уравнений имеет свойство транзитивности: если одно уравнение эквивалентно другому, а второе эквивалентно третьему, то первое уравнение эквивалентно третьему. Свойство эквивалентности уравнений позволяет проводить с ними преобразования, на которых основываются методы их решения.
Третье важное свойство задаётся теоремой: если функции заданы над областью целостности, то уравнение
эквивалентно совокупности уравнений
Это означает, что все корни первого уравнения являются корнями одного из двух других уравнений, и позволяет находить корни первого уравнения в два приёма, решая каждый раз более простые уравнения.
С алгебраическими выражениями, входящими в уравнения, можно выполнять операции, которые не меняют его корней, в частности:
Уравнения, которые являются результатом этих операций, являются эквивалентными начальному уравнению. Однако для свойства 3 существует ограничение: в случае прибавления или вычитания из обеих частей уравнения одного и того же выражения, содержащего неизвестное и теряющего смысл при неизвестном, принимающем значения корней данного уравнения, получится уравнение, неэквивалентное исходному (начальному). Но если к обеим частям уравнения прибавить или вычесть одно и то же выражение, содержащее неизвестное и теряющее смысл лишь при значениях неизвестного, не являющихся корнями данного уравнения, то получится уравнение, эквивалентное начальному.
Умножение или деление обеих частей уравнения на выражение, содержащее неизвестное, может привести, соответственно, к появлению посторонних корней или к потере корней.
Возведение обеих частей уравнения в квадрат может привести к появлению посторонних корней.
Следствие уравнения и посторонние корни
называется следствием уравнения
если все корни второго уравнения являются корнями первого. Первое уравнение может иметь дополнительные корни, которые для второго уравнения называются посторонними. Посторонние корни могут появиться при преобразованиях, необходимых для нахождения корней уравнений. Для того чтобы их обнаружить, необходимо проверить корень подстановкой в исходное уравнение. Если при подстановке уравнение становится тождеством, то корень настоящий, если нет — посторонний.
Уравнение при возведении обеих частей в квадрат даёт уравнение , или . Оба уравнения являются следствием исходного. Последнее из них легко решить; оно имеет два корня и .
При подстановке первого корня в исходное уравнение образуется тождество . При подстановке другого корня получается неправильное утверждение . Таким образом, второй корень нужно отбросить как посторонний.
Корни квадратного уравнения на множестве действительных чисел
Дискриминантом квадратного уравнения называется величина .
Данный метод универсальный, однако не единственный.
II способ. Корни квадратного уравнения при чётном коэффициенте b
Для уравнений вида , то есть при чётном , где
Примечание: данные ниже формулы можно получить, подставив в стандартные формулы выражение b = 2k, через несложные преобразования.
III способ. Решение неполных квадратных уравнений
К решению неполных квадратных уравнений практикуется особый подход. Рассматриваются три возможных ситуации.
IV способ. Использование частных соотношений коэффициентов
Существуют частные случаи квадратных уравнений, в которых коэффициенты находятся в соотношениях между собой, позволяющих решать их гораздо проще.
Корни квадратного уравнения, в котором сумма старшего коэффициента и свободного члена равна второму коэффициенту
Если в квадратном уравнении сумма первого коэффициента и свободного члена равна второму коэффициенту: , то его корнями являются и число, противоположное отношению свободного члена к старшему коэффициенту ().
Способ 1. Сначала выясним, действительно ли такое уравнение имеет два корня (в том числе, два совпадающих):
Да, это так, ведь при любых действительных значениях коэффициентов , а значит и дискриминант неотрицателен. Таким образом, если , то уравнение имеет два корня, если же , то оно имеет только один корень.
Найдём эти корни:
В частности, если , то корень будет один:
Геометрическая интерпретация: парабола, заданная аналитически указанной формулой, пересекает ось x в двух точках, абсциссами которых и являются корни, хотя бы один из которых равен -1
Используем геометрическую модель корней квадратного уравнения: их мы будем рассматривать как точки пересечения параболы с осью абсцисс. Всякая парабола вне зависимости от задающего её выражения является фигурой, симметричной относительно прямой . Это означает, что отрезок всякой перпендикулярной к ней прямой, отсекаемый на ней параболой, делится осью симметрии пополам. Сказанное, в частности, верно и для оси абсцисс. Таким образом, для всякой параболы справедливо одно из следующих равенств: (если ) или (если верно неравенство противоположного смысла). Используя тождество , выражающее геометрический смысл модуля, а также принимая, что (это можно доказать, подставив равенство в квадратный трёхчлен: , поэтому -1 – корень такого уравнения) , приходим к следующему равенству: Если учитывать, что разность в том случае, когда мы прибавляем модуль, всегда положительна, а в том, когда отнимаем – отрицательна, что говорит о тождественности этих случаев, и, к тому же, помня о равенстве , раскрываем модуль: . Во втором случае, совершив аналогичные преобразования, придём к тому же результату, ч. т. д.
Совершим подстановку условия в уравнение . Тогда
Откуда либо .
Отсюда следует, что перед решением какого-либо квадратного уравнения целесообразна проверка возможности применения к нему этой теоремы: сравнить сумму старшего коэффициента и свободного члена со вторым коэффициентом.
Корни квадратного уравнения, сумма всех коэффициентов которого равна нулю
Если в квадратном уравнении сумма всех его коэффициентов равна нулю (), то корнями такого уравнения являются и отношение свободного члена к старшему коэффициенту ().
Способ 1. Прежде всего заметим, что из равенства следует, что
Установим количество корней:
При любых значениях коэффициентов уравнение имеет хотя бы один корень: действительно, ведь при любых значениях коэффициентов , а значит и дискриминант неотрицателен. Обратите внимание, что если , то уравнение имеет два корня, если же , то только один.
Найдём эти корни:
что и требовалось доказать.
В частности, если , то уравнение имеет только один корень, которым является число .
Способ 2. Пользуясь данным выше определением корня квадратного уравнения, обнаруживаем путём подстановки, что число 1 является таковым в рассматриваемом случае: – верное равенство, следовательно, единица – корень такого вида квадратных уравнений. Далее, по теореме Виета находим второй корень: согласно этой теореме, произведение корней уравнения равно числу, равному отношению свободного члена к старшему коэффициенту – , ч.т.д.
Отсюда следует, что перед решением уравнения стандартными методами целесообразна проверка применимости к нему этой теоремы, а именно сложение всех коэффициентов данного уравнения и установление, не равна ли нулю эта сумма.
V способ. Разложение квадратного трёхчлена на линейные множители
Если трёхчлен вида удастся каким-либо образом представить в качестве произведения линейных множителей , то можно найти корни уравнения — ими будут и , действительно, ведь а решив указанные линейные уравнения, получим вышеописанное. Квадратный трёхчлен не всегда раскладывается на линейные множители с действительными коэффициентами: это возможно, если соответствующее ему уравнение имеет действительные корни.
Рассматриваются некоторые частные случаи.
Использование формулы квадрата суммы (разности)
Если квадратный трёхчлен имеет вид , то применив к нему названную формулу, можно разложить его на линейные множители и, значит, найти корни:
Выделение полного квадрата суммы (разности)
Также названную формулу применяют, пользуясь методом, получившим названия «выделение полного квадрата суммы (разности)». Применительно к приведённому квадратному уравнению с введёнными ранее обозначениями, это означает следующее:
Примечание: данная формула совпадает с предлагаемой в разделе «Корни приведённого квадратного уравнения», которую, в свою очередь, можно получить из общей формулы
путём подстановки равенства . Этот факт не просто совпадение: описанным методом, произведя, правда, некоторые дополнительные рассуждения, можно вывести и общую формулу, а также доказать свойства дискриминанта.
VI способ. Использование прямой и обратной теоремы Виета
Прямая теорема Виета (см. ниже) и обратная ей теорема позволяют решать приведённые квадратные уравнения устно, не прибегая к вычислениям по формуле
.
Согласно обратной теореме, всякая пара чисел (число) , будучи решением системы уравнений
являются корнями уравнения .
Подобрать устно числа, удовлетворяющие этим уравнениям, поможет прямая теорема. С её помощью можно определить знаки корней, не зная сами корни. Для этого следует руководствоваться правилом:
1) если свободный член отрицателен, то корни имеют различный знак, и наибольший по модулю из корней — знак, противоположный знаку второго коэффициента уравнения;
2) если свободный член положителен, то оба корня обладают одинаковым знаком, и это — знак, противоположный знаку второго коэффициента.
VII способ. Метод «переброски»
По своей сущности метод «переброски» является просто модификацией теоремы Виета.
Метод «переброски» — это сведение уравнения, которое нельзя привести так, чтобы все коэффициенты остались целыми, к приведённому уравнению с целыми коэффициентами:
1) умножаем обе части на старший коэффициент:
2) заменяем
Далее решаем уравнение относительно по методу, описанному выше, и находим .
Сумма коэффициентов при степенях введённого неизвестного равна нулю, поэтому
Возвращаемся к «старой» переменной:
Корни приведённого квадратного уравнения
Квадратное уравнение вида в котором старший коэффициент равен единице, называют приведённым. В этом случае формула для корней
упрощается до
p, со знаком взяв обратным,
На два мы его разделим,
И от корня аккуратно
Знаком «минус-плюс» отделим.
А под корнем очень кстати
Половина p в квадрате
Минус q — и вот решенья,
То есть корни уравненья.
Чтобы x найти к половине p,
Взятой с минусом не забудь,
Радикал приставь с плюсом минусом,
Аккуратно, не как-нибудь.
А под ним квадрат половины p,
Ты, убавь на q и конец,
Будет формула приведенная,
Рассуждений твоих венец.
Будет формула приведенная,
Рассуждений твоих венец.
Различают алгебраические уравнения, уравнения с параметрами, трансцендентные, функциональные, дифференциальные и другие виды уравнений.
Некоторые классы уравнений имеют аналитические решения, которые удобны тем, что не только дают точное значение корня, а позволяют записать решение в виде формулы, в которую могут входить параметры. Аналитические выражения позволяют не только вычислить корни, а провести анализ существования и количества корней в зависимости от значений параметров, что часто бывает даже важнее для практического применения, чем конкретные значения корней.
К уравнениям, для которых известны аналитические решения, относятся алгебраические уравнения не выше четвёртой степени: линейное, квадратное, кубическое уравнения и уравнение четвёртой степени. Алгебраические уравнения высших степеней в общем случае аналитического решения не имеют, хотя некоторые из них можно свести к уравнениям низших степеней.
Уравнения, в которые входят трансцендентные функции, называются трансцендентными. Среди них аналитические решения известны для некоторых тригонометрических уравнений, поскольку нули тригонометрических функций хорошо известны.
В общем случае, когда аналитического решения найти не удаётся, применяют вычислительные (численные) методы. Численные методы не дают точного решения, а только позволяют сузить интервал, в котором лежит корень, до определённого заранее заданного значения.
Алгебраическим уравнением называется уравнение вида
где — многочлен от переменных , которые называются неизвестными.
Коэффициенты многочлена обычно берутся из некоторого поля , и тогда уравнение называется алгебраическим уравнением над полем Степенью алгебраического уравнения называют степень многочлена .
является алгебраическим уравнением седьмой степени от трёх переменных (с тремя неизвестными) над полем вещественных чисел.
где — свободная переменная, , , — коэффициенты, причём .
Выражение называют квадратным трёхчленом. Корень такого уравнения (корень квадратного трёхчлена) — это значение переменной , обращающее квадратный трёхчлен в нуль, то есть значение, обращающее квадратное уравнение в тождество. Коэффициенты квадратного уравнения имеют собственные названия: коэффициент называют первым или старшим, коэффициент называют вторым или коэффициентом при , называется свободным членом этого уравнения. Приведённым называют квадратное уравнение, в котором старший коэффициент равен единице. Такое уравнение может быть получено делением всего выражения на старший коэффициент : , где , а . Полным квадратным уравнением называют такое, все коэффициенты которого отличны от нуля. Неполным квадратным уравнением называется такое, в котором хотя бы один из коэффициентов кроме старшего (либо второй коэффициент, либо свободный член) равен нулю.
Для нахождения корней квадратного уравнения в общем случае следует пользоваться приводимым ниже алгоритмом:
Графиком квадратичной функции в прямоугольных координатах является парабола. Она пересекает ось абсцисс в точках, соответствующих корням квадратного уравнения .
График кубической функции
Для графического анализа кубического уравнения в прямоугольных координатах используется кубическая парабола.
Любое кубическое уравнение канонического вида можно привести к более простому виду
поделив его на и подставив в него замену . При этом коэффициенты будут равны:
Уравнение четвёртой степени
График многочлена 4-й степени с четырьмя корнями и тремя критическими точками.
Четвёртая степень для алгебраических уравнений является наивысшей, при которой существует аналитическое решение в радикалах в общем виде (то есть при любых значениях коэффициентов).
Так как является многочленом чётной степени, она имеет один и тот же предел при стремлении к плюс и к минус бесконечности. Если , то функция возрастает до плюс бесконечности с обеих сторон, и следовательно, имеет глобальный минимум. Аналогично, если , то функция убывает до минус бесконечности с обеих сторон, и следовательно, имеет глобальный максимум.
Иррациональные и рациональные уравнения
Система уравнений вида:
Совместная система называется определённой, если она имеет единственное решение; если же у неё есть хотя бы два различных решения, то она называется неопределённой. Если уравнений больше, чем неизвестных, она называется переопределённой.
Уравнения с параметрами
Уравнением с параметрами называется математическое уравнение, внешний вид и решение которого зависит от значений одного или нескольких параметров. Решить уравнение с параметром означает:
Уравнения с параметром могут быть как линейными, так и нелинейными.
Пример линейного уравнения с параметром:
Пример нелинейного уравнения с параметром:
где — независимая переменная, — параметр.
Трансцендентным уравнением называется уравнение, не являющееся алгебраическим. Обычно это уравнения, содержащие показательные, логарифмические, тригонометрические, обратные тригонометрические функции, например:
Более строгое определение таково: трансцендентное уравнение — это уравнение вида , где функции и являются аналитическими функциями, и по крайней мере одна из них не является алгебраической.
Функциональным уравнением называется уравнение, выражающее связь между значением функции (или функций) в одной точке с её значениями в других точках. Многие свойства функций можно определить, исследуя функциональные уравнения, которым эти функции удовлетворяют. Термин «функциональное уравнение» обычно используется для уравнений, несводимых простыми способами к алгебраическим уравнениям. Эта несводимость чаще всего обусловлена тем, что аргументами неизвестной функции в уравнении являются не сами независимые переменные, а некоторые данные функции от них. Например:
где — гамма-функция Эйлера, удовлетворяет дзета-функция Римана ζ.
(формула дополнения Эйлера).
где , , , являются целыми числами, удовлетворяющими равенству , то есть , определяет как модулярную форму порядка k.
Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее значение некоторой неизвестной функции в некоторой точке и значение её производных различных порядков в той же точке. Дифференциальное уравнение содержит в своей записи неизвестную функцию, её производные и независимые переменные. Порядок дифференциального уравнения — наибольший порядок производных, входящих в него. Решением дифференциального уравнения порядка n называется функция , имеющая на некотором интервале (a, b) производные до порядка n включительно и удовлетворяющая этому уравнению. Процесс решения дифференциального уравнения называется интегрированием.
Все дифференциальные уравнения можно разделить на
или ,
где — неизвестная функция (возможно, вектор-функция; в таком случае часто говорят о системе дифференциальных уравнений), зависящая от независимой переменной ; штрих означает дифференцирование по
,
где — независимые переменные, а — функция этих переменных.
Первоначально дифференциальные уравнения возникли из задач механики, в которых участвовали координаты тел, их скорости и ускорения, рассматриваемые как функции времени.
Формулировка для приведённого квадратного уравнения
Сумма корней приведённого квадратного уравнения (вещественных или комплексных) равна второму коэффициенту , взятому с противоположным знаком, а произведение этих корней — свободному члену :
С его помощью приведённые уравнения можно решать устно:
Для неприведённого квадратного уравнения
В общем случае, то есть для неприведённого квадратного уравнения
На практике (следуя методу «переброски») для вычисления корней применяется модификация теорема Виета:
по которой можно устно находить ax1, ax2, а оттуда — сами корни:
Но у некоторых неприведённых уравнений корни можно устно угадать даже по стандартной теореме Виета:
Исторические сведения о квадратных уравнениях
Правила решения квадратных уравнений во многом аналогичны современным, однако в вавилонских текстах не зафиксированы рассуждения, путём которых эти правила были получены.
Корни квадратного уравнения на множестве комплексных чисел
Квадратное уравнение с вещественными коэффициентами всегда имеет с учётом кратности два комплексных корня, о чём гласит основная теорема алгебры. При этом, в случае неотрицательного дискриминанта корни будут вещественными, а в случае отрицательного — комплексно-сопряжёнными:
Уравнение с комплексными коэффициентами
В комплексном случае квадратное уравнение решается по той же формуле
и указанным выше её вариантам, но различимыми являются только два случая: нулевого дискриминанта (один двукратный корень) и ненулевого (два корня единичной кратности).
Уравнения, сводящиеся к квадратным
Уравнение вида является уравнением, сводящимся к квадратному.
В общем случае оно решается методом введения новой переменной, то есть заменой где — множество значений функции , c последующим решением квадратного уравнения .
Также при решении можно обойтись без замены, решив совокупность двух уравнений:
К примеру, если , то уравнение принимает вид:
С помощью замены
к квадратному уравнению сводится уравнение
Линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами второго порядка
подстановкой сводится к характеристическому квадратному уравнению:
Если решения этого уравнения и не равны друг другу, то общее решение имеет вид:
, где и — произвольные постоянные.
Для комплексных корней можно переписать общее решение, используя формулу Эйлера:
где A, B, C, φ — любые постоянные. Если решения характеристического уравнения совпадают , общее решение записывается в виде:
Уравнения такого типа часто встречаются в самых разнообразных задачах математики и физики, например, в теории колебаний или теории цепей переменного тока.
Разложение квадратного трёхчлена на множители и теоремы, следующие из этого
Если известны оба корня квадратного трёхчлена, его можно разложить по формуле
Для доказательства этого утверждения воспользуемся теоремой Виета. Согласно этой теореме, корни и квадратного уравнения образуют соотношения с его коэффициентами: . Подставим эти соотношения в квадратный трёхчлен:
В случае нулевого дискриминанта это соотношение становится одним из вариантов формулы квадрата суммы или разности.
Из формулы
имеются два важных следствия:
Если квадратный трёхчлен раскладывается на линейные множители с вещественными коэффициентами, то он имеет вещественные корни.
Пусть . Тогда, переписав это разложение, получим:
Сопоставив полученное выражение с формулой
, находим, что корнями такого трёхчлена являются и . Так как коэффициенты вещественны, то и числа, противоположные их отношениям также являются элементами множества .
Если квадратный трёхчлен не имеет вещественных корней, то он не раскладывается на линейные множители с вещественными коэффициентами.
Действительно, если мы предположим противное (что такой трёхчлен раскладывается на линейные множители), то, согласно следствию 1, он имеет корни в множестве , что противоречит условию, а потому наше предположение неверно, и такой трёхчлен не раскладывается на линейные множители.
Для квадратичной функции:(x) = x2 − x − 2 = (x + 1)(x − 2) действительной переменной x, x — координаты точки, где график пересекает ось абсцисс, x = −1 и x = 2, являются решениями квадратного уравнения: x2 − x − 2 = 0.
Графическое решение квадратного уравнения
Графиком квадратичной функции является парабола. Решениями (корнями) квадратного уравнения называют абсциссы точек пересечения параболы с осью абсцисс. Если парабола, описываемая квадратичной функцией, не пересекается с осью абсцисс, уравнение не имеет вещественных корней. Если парабола пересекается с осью абсцисс в одной точке (в вершине параболы), уравнение имеет один вещественный корень (также говорят, что уравнение имеет два совпадающих корня). Если парабола пересекает ось абсцисс в двух точках, уравнение имеет два вещественных корня (см. изображение справа.)
Если коэффициент положительный, ветви параболы направлены вверх и наоборот. Если коэффициент положительный (при положительном , при отрицательном наоборот), то вершина параболы лежит в левой полуплоскости и наоборот.
Графический способ решения квадратных уравнений
Помимо универсального способа, описанного выше, существует так называемый графический способ. В общем виде этот способ решения рационального уравнения вида заключается в следующем: в одной системе координат строят графики функций и и находят абсциссы общих точек этих графиков; найденные числа и будут корнями уравнения.
Есть всего пять основных способов графического решения квадратных уравнений.
Для решения квадратного уравнения строится график функции
и отыскиваются абсциссы точек пересечения такого графика с осью .
Для решения того же уравнения этим приёмом уравнение преобразуют к виду
и строят в одной системе координат графики квадратичной функции и линейной функции , затем находят абсциссу точек их пересечения.
Данный приём подразумевает преобразование исходного уравнения к виду , используя метод выделения полного квадрата суммы (разности) и затем в . После этого строятся график функции (им является график функции , смещённый на единиц масштаба вправо или влево в зависимости от знака) и прямую , параллельную оси абсцисс. Корнями уравнения будут абсциссы точек пересечения параболы и прямой.
Квадратное уравнение преобразуют к виду , строят график функции (им является график функции , смещённый на единиц масштаба вверх, если этот коэффициент положителен, либо вниз, если он отрицателен), и , находят абсциссы их общих точек.
Квадратное уравнение преобразуют к особому виду:
Совершив преобразования, строят графики линейной функции и обратной пропорциональности , отыскивают абсциссы точек пересечения этих графиков. Этот приём имеет границу применимости: если , то приём не используется.
Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки
Описанные выше приёмы графического решения имеют существенные недостатки: они достаточно трудоёмки, при этом точность построения кривых — парабол и гипербол — низка. Указанные проблемы не присущи предлагаемому ниже методу, предполагающему относительно более точные построения циркулем и линейкой.
Чтобы произвести такое решение, нужно выполнить нижеследующую последовательность действий.
Иллюстрация к доказательству.
Рассматриваемый способ предполагает построение окружности, пересекающей ось ординат в точках (точке), абсциссы которых являются корнями (или корнем) решаемого уравнения. Как нужно строить такую окружность? Предположим, что она уже построена. Окружность определяется однозначно заданием трёх своих точек. Пусть в случае, если корня два, это будут точки , где , естественно, действительные корни квадратного уравнения (подчёркиваем: если они имеются). Найдём координаты центра такой окружности. Для этого докажем, что эта окружность проходит через точку . Действительно, согласно теореме о секущих, в принятых обозначениях выполняется равенство (см рисунок). Преобразовывая это выражение, получаем величину отрезка OD, которой и определяется искомая ордината точки D: (в последнем преобразовании использована теорема Виета (см. ниже в одноимённом разделе)). Если же корень один, то есть ось абсцисс будет касательной к такой окружности, и окружность пересекает ось y в точке с ординатой 1, то она обязательно пересечёт её и в точке с указанной выше ординатой (в частности, если 1=c/a, это могут быть совпадающие точки), что доказывается аналогично с использованием уже теоремы о секущей и касательной, являющаяся частным случаем теоремы о секущих. В первом случае (), определяющими будут точка касания, точка оси y с ординатой 1, и её же точка с ординатой . Если c/a и 1 – совпадающие точки, а корня два, определяющими будут эта точка и точки пересечения с осью абсцисс. В случае, когда (1=c/a) и корень один, указанных сведений достаточно для доказательства, так как такая окружность может быть только одна – её центром будет вершина квадрата, образуемого отрезками касательных и перпендикулярами, а радиус – стороне этого квадрата, составляющей 1. Пускай S – центр окружности, имеющей с осью абсцисс две общие точки. Найдём его координаты: для этого опустим от этой точки перпендикуляры к координатным осям. Концы этих перпендикуляров будут серединами отрезков AB и CD – ведь треугольники ASB и CSD равнобедренные, так как в них AS=BS=CS=DS как радиусы одной окружности, следовательно, высоты в них, проведённые к основаниям, также являются и медианами. Найдём координаты середин названных отрезков. Так как парабола симметрична относительно прямой , то точка этой прямой с такой же абсциссой будет являться серединой отрезка AB. Следовательно, абсцисса точки S равна этому числу. В случае же, если уравнение имеет один корень, то ось x является касательной по отношению к окружности,поэтому, согласно её свойству, её радиус перпендикулярен оси, следовательно, и в этом случае указанное число – абсцисса центра. Её ординату найдём так: . В третьем из возможных случаев, когда ca=1 (и, значит, a=c), то .
Итак, нами найдены необходимые для построения данные. Действительно, если мы построим окружность с центром в точке , проходящую через точку , то она, в случаях, когда уравнение имеет действительные корни, пересечёт ось x в точках, абсциссы которых есть эти корни. Причём, если длина радиуса больше длины перпендикуляра к оси Ox, то уравнение имеет два корня (предположив обратное, мы бы получили противоречие с доказанным выше), если длины равны, то один (по той же причине), если же длина радиуса меньше длины перпендикуляра, то окружность не имеет общих точек с осью x, следовательно, и действительных корней у уравнения нет (доказывается тоже от противного: если корни есть, то окружность, проходящая через A, B, C совпадает с данной, и поэтому пересекает ось, однако она не должна пересекать ось абсцисс по условию, значит, предположение неверно).