КАКИЕ УРАВНЕНИЯ ЯВЛЯЮТСЯ КВАДРАТНЫМИ

Квадра́тное уравне́ние — алгебраическое уравнение второй степени с общим видом

в котором — неизвестное, а коэффициенты , и — вещественные или комплексные числа.

Корень уравнения — это значение неизвестного , обращающее квадратный трёхчлен в ноль, а квадратное уравнение в верное числовое равенство. Также это значение называется корнем самого многочлена

Полным называют такое квадратное уравнение, все коэффициенты которого отличны от нуля.

Неполным называется такое квадратное уравнение, в котором хотя бы один из коэффициентов, кроме старшего (либо второй коэффициент, либо свободный член), равен нулю.

Квадратное уравнение является разрешимым в радикалах, то есть его корни могут быть выражены через коэффициенты в общем виде.

Основные понятия

Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Значение неизвестных нужно найти так, чтобы при их подстановке в пример получилось верное числовое равенство.

Степень уравнения можно определить по наибольшей степени, в которой стоит неизвестное. Если неизвестное стоит во второй степени — это квадратное уравнение.

Квадратное уравнение — это уравнение вида ax² + bx + c = 0, где a — первый или старший коэффициент, не равный нулю, b — второй коэффициент, c — свободный член.

Чтобы определить, сколько корней имеет уравнение, нужно обратить внимание на дискриминант. Чтобы его найти, берем формулу: D = b² − 4ac. А вот свойства дискриминанта:

Неполное квадратное уравнение — это уравнение вида ax² + bx + c = 0, где хотя бы один из коэффициентов b или c равен нулю.

Неполные квадратные уравнения бывают трех видов:
Если b = 0, то квадратное уравнение принимает вид ax² + 0x+c=0 и оно равносильно ax² + c = 0. Если c = 0, то квадратное уравнение выглядит так ax² + bx + 0 = 0, иначе его можно написать как ax² + bx = 0. Если b = 0 и c = 0, то квадратное уравнение выглядит так ax² = 0. Такие уравнения отличаются от полного квадратного тем, что их левые части не содержат слагаемого с неизвестной переменной, либо свободного члена, либо и того и другого. Отсюда и их название — неполные квадратные уравнения. Узнай, какие профессии будущего тебе подойдут 10 минут — и ты разберёшься, как стать тем, кем захочешь

Корни квадратного уравнения на множестве комплексных чисел

Квадратное уравнение с вещественными коэффициентами всегда имеет с учётом кратности два комплексных корня, о чём гласит основная теорема алгебры. При этом, в случае неотрицательного дискриминанта корни будут вещественными, а в случае отрицательного — комплексно-сопряжёнными:

Уравнение с комплексными коэффициентами

В комплексном случае квадратное уравнение решается по той же формуле

и указанным выше её вариантам, но различимыми являются только два случая: нулевого дискриминанта (один двукратный корень) и ненулевого (два корня единичной кратности).

Полные и неполные квадратные уравнения

В определении квадратного уравнения есть условие: a ≠ 0. Оно нужно, чтобы уравнение ax2 + bx + c = 0 было именно квадратным. Если a = 0, то уравнение обретет вид линейного: bx + c = 0.

Что касается коэффициентов b и c, то они могут быть равны нулю, как по отдельности, так и вместе. В таком случае квадратное уравнение принято называть неполным.

Неполное квадратное уравнение —— это квадратное уравнение вида ax2 + bx + c = 0, где оба или хотя бы один из коэффициентов b и c равен нулю.

Полное квадратное уравнение — это уравнение, у которого все коэффициенты отличны от нуля.

Формула Виета

Если в школьной геометрии чаще всего используется теорема Пифагора, то в школьной алгебре ведущую роль занимают формулы Виета. Теорема звучит так:

Сумма корней x2 + bx + c = 0 равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней равняется свободному члену.

Если дано x2 + bx + c = 0, где x₁ и x₂ являются корнями, то справедливы два равенства:

Знак системы, который принято обозначать фигурной скобкой, означает, что значения x₁ и x₂ удовлетворяют обоим равенствам.

Рассмотрим теорему Виета на примере: x2 + 4x + 3 = 0.

Пока неизвестно, какие корни имеет данное уравнение. Но в соответствии с теоремой можно записать, что сумма этих корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком. Он равен четырем, значит будем использовать минус четыре:

Произведение корней по теореме соответствует свободному члену. В данном случае свободным членом является число три. Значит:

Необходимо проверить равна ли сумма корней −4, а произведение 3. Для этого найдем корни уравнения x2 + 4x + 3 = 0. Воспользуемся формулами для чётного второго коэффициента:

Получилось, что корнями уравнения являются числа −1 и −3. Их сумма равняется второму коэффициенту с противоположным знаком, а значит решение верное.

Произведение корней −1 и −3 по теореме Виета должно равняться свободному члену, то есть числу 3. Это условие также выполняется:

Результат проделанных вычислений в том, что мы убедились в справедливости выражения:

Когда дана сумма и произведение корней квадратного уравнения, принято начинать подбор подходящих корней. Теорема, обратная теореме Виета, при таких условиях может быть главным помощником. Вот она:

Обратная теорема ВиетаЕсли числа x1 и x2 таковы, что их сумма равна второму коэффициенту уравнения x2 + bx + c = 0, взятому с противоположным знаком, а их произведение равно свободному члену, то эти числа и есть корни x2 + bx + c = 0.

Обычно вся суть обратных теорем в том самом выводе, которое дает первая теорема. Так, при доказательстве теоремы Виета стало понятно, что сумма x1 и x2 равна −b, а их произведение равно c. В обратной теореме это и есть утверждение.

Пример 1. Решить при помощи теоремы Виета: x2 − 6x + 8 = 0.

Упрощаем вид квадратных уравнений

Если мы ходили в школу всегда одной тропинкой, а потом вдруг обнаружили путь короче — это значит теперь у нас есть выбор: упростить себе задачу и сократить время на дорогу или прогуляться по привычному маршруту.

Так же и при вычислении корней квадратного уравнения. Ведь проще посчитать уравнение 11×2 — 4 x — 6 = 0, чем 1100×2 — 400x — 600 = 0.

Часто упрощение вида квадратного уравнения можно получить через умножение или деление обеих частей на некоторое число. Например, в предыдущем абзаце мы упростили уравнение 1100×2 — 400x — 600 = 0, просто разделив обе части на 100.

Такое преобразование возможно, когда коэффициенты не являются взаимно простыми числами. Тогда принято делить обе части уравнения на наибольший общий делитель абсолютных величин его коэффициентов.

Покажем, как это работает на примере 12×2- 42x + 48 = 0. Найдем наибольший общий делитель абсолютных величин его коэффициентов: НОД (12, 42, 48) = 6. Разделим обе части исходного квадратного уравнения на 6, и придем к равносильному уравнению 2×2 — 7x + 8 = 0. Вот так просто.

А умножение обеих частей квадратного уравнения отлично помогает избавиться от дробных коэффициентов. Умножать в данном случае лучше на наименьшее общее кратное знаменателей его коэффициентов. Например, если обе части квадратного уравнения

умножить на НОК (6, 3, 1) = 6, то оно примет более простой вид x2 + 4x — 18 = 0.

Связь между корнями и коэффициентами

Мы уже запомнили, что формула корней квадратного уравнения выражает корни уравнения через его коэффициенты:

Из этой формулы, можно получить другие зависимости между корнями и коэффициентами.

Например, можно применить формулы из теоремы Виета:

Для приведенного квадратного уравнения сумма корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней — свободному члену. Например, по виду уравнения 3×2- 7x + 22 = 0 можно сразу сказать, что сумма его корней равна 7/3, а произведение корней равно 22/3.

Можно активно использовать уже записанные формулы и с их помощью получить ряд других связей между корнями и коэффициентами квадратного уравнения. Таким образом можно выразить сумму квадратов корней квадратного уравнения через его коэффициенты:

Разложение квадратного трёхчлена на множители и теоремы, следующие из этого

Если известны оба корня квадратного трёхчлена, его можно разложить по формуле

Для доказательства этого утверждения воспользуемся теоремой Виета. Согласно этой теореме, корни и квадратного уравнения образуют соотношения с его коэффициентами: . Подставим эти соотношения в квадратный трёхчлен:

В случае нулевого дискриминанта это соотношение становится одним из вариантов формулы квадрата суммы или разности.

Из формулы

имеются два важных следствия:

Если квадратный трёхчлен раскладывается на линейные множители с вещественными коэффициентами, то он имеет вещественные корни.

Пусть . Тогда, переписав это разложение, получим:

Сопоставив полученное выражение с формулой

, находим, что корнями такого трёхчлена являются и . Так как коэффициенты вещественны, то и числа, противоположные их отношениям также являются элементами множества .

Если квадратный трёхчлен не имеет вещественных корней, то он не раскладывается на линейные множители с вещественными коэффициентами.

Действительно, если мы предположим противное (что такой трёхчлен раскладывается на линейные множители), то, согласно следствию 1, он имеет корни в множестве , что противоречит условию, а потому наше предположение неверно, и такой трёхчлен не раскладывается на линейные множители.

Для квадратичной функции:(x) = x2 − x − 2 = (x + 1)(x − 2) действительной переменной x, x — координаты точки, где график пересекает ось абсцисс, x = −1 и x = 2, являются решениями квадратного уравнения: x2 − x − 2 = 0.

Формула корней для четных вторых коэффициентов

Рассмотрим частный случай. Формула решения корней квадратного уравнения , где D = b2 — 4ac, помогает получить еще одну формулу, более компактную, при помощи которой можно решать квадратные уравнения с четным коэффициентом при x. Рассмотрим, как появилась эта формула.

Например, нам нужно решить квадратное уравнение ax2 + 2nx + c = 0. Сначала найдем его корни по известной нам формуле. Вычислим дискриминант D = (2n)2- 4ac = 4n2 — 4ac = 4(n2- ac) и подставим в формулу корней:

Для удобства вычислений обозначим выражение n2 -ac как D1. Тогда формула корней квадратного уравнения со вторым коэффициентом 2·n примет вид:

где D1 = n2- ac.

Самые внимательные уже заметили, что D = 4D1, или D1= D/4. Проще говоря, D1 — это четверть дискриминанта. И получается, что знак D1 является индикатором наличия или отсутствия корней квадратного уравнения.

Сформулируем правило. Чтобы найти решение квадратного уравнения со вторым коэффициентом 2n, нужно:

Исторические сведения о квадратных уравнениях

Правила решения квадратных уравнений во многом аналогичны современным, однако в вавилонских текстах не зафиксированы рассуждения, путём которых эти правила были получены.

Понятие квадратного уравнения

Уравнение — это равенство, содержащее переменную, значение которой нужно найти.

Например, х + 8 = 12 — это уравнение, содержащее переменную х.

Корень уравнения — это такое значение переменной, которое при подстановке в уравнение обращает его в верное числовое равенство.

Например, если х = 5, то при подстановке в уравнение мы получим:

Значит, х = 5 не является корнем уравнения.

Если же х = 4, то при подстановке в уравнение мы получим:

Значит, х = 4 является корнем уравнения.

Решить уравнение — значит найти все его корни или доказать, что их не существует.

Квадратное уравнение — это уравнение вида ax2 + bx + c = 0, где a — первый или старший коэффициент, не равный нулю, b — второй коэффициент, c — свободный член.

Если все коэффициенты в уравнении отличны от нуля, то уравнение называется полным.

Такое уравнение можно решить с помощью формулы дискриминанта.

Выберите идеального репетитора по математике15 000+ проверенных преподавателей со средним рейтингом 4,8. Учтём ваш график и цель обучения

Формулировка для приведённого квадратного уравнения

Сумма корней приведённого квадратного уравнения (вещественных или комплексных) равна второму коэффициенту , взятому с противоположным знаком, а произведение этих корней — свободному члену :

С его помощью приведённые уравнения можно решать устно:

Для неприведённого квадратного уравнения

В общем случае, то есть для неприведённого квадратного уравнения

На практике (следуя методу «переброски») для вычисления корней применяется модификация теорема Виета:

по которой можно устно находить ax1, ax2, а оттуда — сами корни:

Но у некоторых неприведённых уравнений корни можно устно угадать даже по стандартной теореме Виета:

Онлайн-калькулятор для нахождения дискриминанта квадратного уравнения

Квадратное уравнение — это уравнение вида ax2 + bx + c = 0.

Дискриминант квадратного уравнения — это выражение, равное b2 − 4ac.

Например, х + 8 = 12 — это уравнение, которое содержит переменную х.

Например, если х = 5, то при подстановке в уравнение мы получим 5 + 8 = 12. 13 = 12 — противоречие. Значит, х = 5 не является корнем уравнения.

А вот если х = 4, то при подстановке в уравнение мы получим 4 + 8 = 12. 12 = 12 — верное равенство. Значит, х = 4 является корнем уравнения.

Чтобы запомнить месторасположение коэффициентов, давайте потренируемся определять их.

Квадратные уравнения могут иметь два корня, один корень или не иметь корней.

Чтобы определить, сколько корней имеет уравнение, нужно обратить внимание на дискриминант. Чтобы его найти, берем формулу: D = b2 − 4ac. А вот свойства дискриминанта:

С этим разобрались. А сейчас посмотрим подробнее на различные виды квадратных уравнений.

Разобраться в теме еще быстрее с помощью опытного преподавателя можно
на курсах по математике в онлайн-школе Skysmart.

Понятие дискриминанта

Дискриминант квадратного уравнения — это выражение, равное b2 − 4ac. Дискриминант в переводе с латинского означает «отличающий» или «различающий» и обозначается буквой D.

Дискриминант — отличный помощник, чтобы понять, сколько в уравнении корней.

Как решать квадратные уравнения через дискриминант

Алгоритм решения квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0:

Чтобы запомнить алгоритм решения полных квадратных уравнений и с легкостью его использовать, сохраните себе шпаргалку:

Корни приведённого квадратного уравнения

Квадратное уравнение вида в котором старший коэффициент равен единице, называют приведённым. В этом случае формула для корней

упрощается до

p, со знаком взяв обратным,
На два мы его разделим,
И от корня аккуратно
Знаком «минус-плюс» отделим.
А под корнем очень кстати
Половина p в квадрате
Минус q — и вот решенья,
То есть корни уравненья.

Чтобы x найти к половине p,
Взятой с минусом не забудь,
Радикал приставь с плюсом минусом,
Аккуратно, не как-нибудь.
А под ним квадрат половины p,
Ты, убавь на q и конец,
Будет формула приведенная,
Рассуждений твоих венец.
Будет формула приведенная,
Рассуждений твоих венец.

Уравнения, сводящиеся к квадратным

Уравнение вида является уравнением, сводящимся к квадратному.

В общем случае оно решается методом введения новой переменной, то есть заменой где — множество значений функции , c последующим решением квадратного уравнения .

Также при решении можно обойтись без замены, решив совокупность двух уравнений:

К примеру, если , то уравнение принимает вид:

С помощью замены

к квадратному уравнению сводится уравнение

Линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами второго порядка

подстановкой сводится к характеристическому квадратному уравнению:

Если решения этого уравнения и не равны друг другу, то общее решение имеет вид:

, где и — произвольные постоянные.

Для комплексных корней можно переписать общее решение, используя формулу Эйлера:

где A, B, C, φ — любые постоянные. Если решения характеристического уравнения совпадают , общее решение записывается в виде:

Уравнения такого типа часто встречаются в самых разнообразных задачах математики и физики, например, в теории колебаний или теории цепей переменного тока.

Корни квадратного уравнения на множестве действительных чисел

Дискриминантом квадратного уравнения называется величина .

Данный метод универсальный, однако не единственный.

II способ. Корни квадратного уравнения при чётном коэффициенте b

Для уравнений вида , то есть при чётном , где

Примечание: данные ниже формулы можно получить, подставив в стандартные формулы выражение b = 2k, через несложные преобразования.

III способ. Решение неполных квадратных уравнений

К решению неполных квадратных уравнений практикуется особый подход. Рассматриваются три возможных ситуации.

IV способ. Использование частных соотношений коэффициентов

Существуют частные случаи квадратных уравнений, в которых коэффициенты находятся в соотношениях между собой, позволяющих решать их гораздо проще.

Корни квадратного уравнения, в котором сумма старшего коэффициента и свободного члена равна второму коэффициенту

Если в квадратном уравнении сумма первого коэффициента и свободного члена равна второму коэффициенту: , то его корнями являются и число, противоположное отношению свободного члена к старшему коэффициенту ().

Способ 1. Сначала выясним, действительно ли такое уравнение имеет два корня (в том числе, два совпадающих):

Да, это так, ведь при любых действительных значениях коэффициентов , а значит и дискриминант неотрицателен. Таким образом, если , то уравнение имеет два корня, если же , то оно имеет только один корень.
Найдём эти корни:

В частности, если , то корень будет один:

Геометрическая интерпретация: парабола, заданная аналитически указанной формулой, пересекает ось x в двух точках, абсциссами которых и являются корни, хотя бы один из которых равен -1

Используем геометрическую модель корней квадратного уравнения: их мы будем рассматривать как точки пересечения параболы с осью абсцисс. Всякая парабола вне зависимости от задающего её выражения является фигурой, симметричной относительно прямой . Это означает, что отрезок всякой перпендикулярной к ней прямой, отсекаемый на ней параболой, делится осью симметрии пополам. Сказанное, в частности, верно и для оси абсцисс. Таким образом, для всякой параболы справедливо одно из следующих равенств: (если ) или (если верно неравенство противоположного смысла). Используя тождество , выражающее геометрический смысл модуля, а также принимая, что (это можно доказать, подставив равенство в квадратный трёхчлен: , поэтому -1 – корень такого уравнения) , приходим к следующему равенству: Если учитывать, что разность в том случае, когда мы прибавляем модуль, всегда положительна, а в том, когда отнимаем – отрицательна, что говорит о тождественности этих случаев, и, к тому же, помня о равенстве , раскрываем модуль: . Во втором случае, совершив аналогичные преобразования, придём к тому же результату, ч. т. д.

Совершим подстановку условия в уравнение . Тогда
Откуда либо .

Отсюда следует, что перед решением какого-либо квадратного уравнения целесообразна проверка возможности применения к нему этой теоремы: сравнить сумму старшего коэффициента и свободного члена со вторым коэффициентом.

Корни квадратного уравнения, сумма всех коэффициентов которого равна нулю

Если в квадратном уравнении сумма всех его коэффициентов равна нулю (), то корнями такого уравнения являются и отношение свободного члена к старшему коэффициенту ().

Способ 1. Прежде всего заметим, что из равенства следует, что
Установим количество корней:

При любых значениях коэффициентов уравнение имеет хотя бы один корень: действительно, ведь при любых значениях коэффициентов , а значит и дискриминант неотрицателен. Обратите внимание, что если , то уравнение имеет два корня, если же , то только один.
Найдём эти корни:

что и требовалось доказать.

В частности, если , то уравнение имеет только один корень, которым является число .

Способ 2. Пользуясь данным выше определением корня квадратного уравнения, обнаруживаем путём подстановки, что число 1 является таковым в рассматриваемом случае: – верное равенство, следовательно, единица – корень такого вида квадратных уравнений. Далее, по теореме Виета находим второй корень: согласно этой теореме, произведение корней уравнения равно числу, равному отношению свободного члена к старшему коэффициенту – , ч.т.д.

Отсюда следует, что перед решением уравнения стандартными методами целесообразна проверка применимости к нему этой теоремы, а именно сложение всех коэффициентов данного уравнения и установление, не равна ли нулю эта сумма.

V способ. Разложение квадратного трёхчлена на линейные множители

Если трёхчлен вида удастся каким-либо образом представить в качестве произведения линейных множителей , то можно найти корни уравнения — ими будут и , действительно, ведь а решив указанные линейные уравнения, получим вышеописанное. Квадратный трёхчлен не всегда раскладывается на линейные множители с действительными коэффициентами: это возможно, если соответствующее ему уравнение имеет действительные корни.

Рассматриваются некоторые частные случаи.

Использование формулы квадрата суммы (разности)

Если квадратный трёхчлен имеет вид , то применив к нему названную формулу, можно разложить его на линейные множители и, значит, найти корни:

Выделение полного квадрата суммы (разности)

Также названную формулу применяют, пользуясь методом, получившим названия «выделение полного квадрата суммы (разности)». Применительно к приведённому квадратному уравнению с введёнными ранее обозначениями, это означает следующее:

Примечание: данная формула совпадает с предлагаемой в разделе «Корни приведённого квадратного уравнения», которую, в свою очередь, можно получить из общей формулы

путём подстановки равенства . Этот факт не просто совпадение: описанным методом, произведя, правда, некоторые дополнительные рассуждения, можно вывести и общую формулу, а также доказать свойства дискриминанта.

VI способ. Использование прямой и обратной теоремы Виета

Прямая теорема Виета (см. ниже) и обратная ей теорема позволяют решать приведённые квадратные уравнения устно, не прибегая к вычислениям по формуле

Согласно обратной теореме, всякая пара чисел (число) , будучи решением системы уравнений

являются корнями уравнения .

Подобрать устно числа, удовлетворяющие этим уравнениям, поможет прямая теорема. С её помощью можно определить знаки корней, не зная сами корни. Для этого следует руководствоваться правилом:

1) если свободный член отрицателен, то корни имеют различный знак, и наибольший по модулю из корней — знак, противоположный знаку второго коэффициента уравнения;
2) если свободный член положителен, то оба корня обладают одинаковым знаком, и это — знак, противоположный знаку второго коэффициента.

VII способ. Метод «переброски»

По своей сущности метод «переброски» является просто модификацией теоремы Виета.

Метод «переброски» — это сведение уравнения, которое нельзя привести так, чтобы все коэффициенты остались целыми, к приведённому уравнению с целыми коэффициентами:

1) умножаем обе части на старший коэффициент:

2) заменяем

Далее решаем уравнение относительно по методу, описанному выше, и находим .

Сумма коэффициентов при степенях введённого неизвестного равна нулю, поэтому

Возвращаемся к «старой» переменной:

Как решить уравнение ax² + с = 0

Обратим внимание на неполные квадратные уравнения вида ax² + c = 0, в которых b = 0, c ≠ 0. Мы знаем, что слагаемые в уравнениях носят двусторонние куртки: когда мы переносим их из одной части уравнения в другую, они надевает куртку на другую сторону — меняют знак на противоположный.

Еще мы знаем, что если обе части уравнения поделить на одно и то же число (кроме нуля) — у нас получится равносильное уравнение. То есть одно и то же, только с другими цифрами.

Держим все это в голове и колдуем над неполным квадратным уравнением (производим «равносильные преобразования»): ax² + c = 0:

Ну все, теперь мы готовы к выводам о корнях неполного квадратного уравнения. В зависимости от значений a и c, выражение – c/а может быть отрицательным или положительным. Разберем конкретные случаи.

Если – c/а < 0, то уравнение x² = – c/а не имеет корней. Все потому, что квадрат любого числа всегда равен неотрицательному числу. Из этого следует, что при – c/а < 0 ни для какого числа p равенство р² = – c/а не является верным.

В двух словах квадратное уравнение ax² + c = 0 равносильно уравнению ax² + c = 0, которое:

Пример 1. Найти решение уравнения 9x² + 4 = 0.

Ответ: уравнение 9x² + 4 = 0 не имеет корней.

Пример 2. Решить -x² + 9 = 0.

Ответ: уравнение -x² + 9 = 0 имеет два корня -3; 3.

Как решить уравнение ax² = 0

Начнем с решения неполных квадратных уравнений, в которых b и c равны нулю, то есть, с уравнений вида ax² = 0.

Уравнение ax² = 0 равносильно x² = 0. Такое преобразование возможно, когда мы разделили обе части на некое число a, которое не равно нулю. Корнем уравнения x² = 0 является нуль, так как 0² = 0. Других корней у этого уравнения нет, что подтверждают свойства степеней.

Таким образом, неполное квадратное уравнение ax² = 0 имеет единственный корень x = 0.

Пример 1. Решить −5x² = 0.

Приведенные и неприведенные квадратные уравнения

Квадратное уравнение может быть приведенным или неприведенным — все зависит от от значения первого коэффициента.

Приведенное квадратное уравнение — это уравнение, где старший коэффициент, тот который стоит при одночлене высшей степени, равен единице.

Неприведенным называют квадратное уравнение, где старший коэффициент отличается от единицы.

Давайте-ка на примерах — вот у нас есть два уравнения:

В каждом из них старший коэффициент равен единице (которую мы мысленно представляем при x2 ), а значит уравнение называется приведенным.

Каждое неприведенное квадратное уравнение можно преобразовать в приведенное, если произвести равносильное преобразование — разделить обе его части на первый коэффициент.

У преобразованного уравнения те же корни, что и у первоначального. Ну или вообще нет корней.

Пример 1. Превратим неприведенное уравнение: 8×2 + 20x — 9 = 0 — в приведенное.

Для этого разделим обе части исходного уравнения на старший коэффициент 8:

Ответ: равносильное данному приведенное уравнение x2 + 2,5x — 1,125 = 0.

Пройдите тест и узнайте, какие темы отделяют от пятёрки по математике

Пример 1. Решить уравнение: 3×2 – 4x + 2 = 0.

Ответ: D < 0, корней нет.

Пример 2. Решить уравнение: x2 – 6x + 9 = 0.

Ответ: корень уравнения 3.

Пример 3. Решить уравнение: x2 – 4x – 5 = 0.

x1 = (4 + 6) : 2 = 5,

x2 = (4 – 6) : 2 = -1.

Ответ: два корня x1 = 5, x2 = -1.

Разобраться в решении квадратных уравнений на практике с классным преподавателем можно
на курсах по математике в Skysmart.

Как решить уравнение ax² + bx = 0

Осталось разобрать третий вид неполных квадратных уравнений, когда c = 0.

Квадратное уравнение без с непривычно решать только первые несколько примеров. Запомнив алгоритм, будет значительно проще щелкать задачки из учебника.

Неполное квадратное уравнение ax² + bx = 0 можно решить методом разложения на множители. Разложим на множители многочлен, который расположен в левой части уравнения — вынесем за скобки общий множитель x.

Теперь можем перейти от исходного уравнения к равносильному x * (ax + b) = 0. А это уравнение равносильно совокупности двух уравнений x = 0 и ax + b = 0, последнее — линейное, его корень x = −b/a.

Таким образом, неполное квадратное уравнение ax² + bx = 0 имеет два корня:

Пример 1. Решить уравнение 2x² – 32x = 0

Ответ: х = 0 и х = 16.

Пример 2. Решить уравнение 3x² – 12x = 0

Разложить левую часть уравнения на множители и найти корни:

Ответ: х = 0 и х = 4.

Для удобства мы собрали все виды неполных квадратных уравнений и способы их решения на одной картинке-шпаргалке.

Онлайн-калькулятор квадратных уравнений

Предложите ребёнку поиграть в математикуБесплатный математический комикс с творческими задачами на логику и сообразительность

Формула корней квадратного уравнения

Чтобы найти результат квадратного уравнения, придумали формулу корней. Выглядит она так:

где D = b2 − 4ac — дискриминант квадратного уравнения.

Эта запись означает:

Чтобы легко применять эту формулу, нужно понять, как она получилась. Давайте разбираться.

Алгоритм решения квадратных уравнений по формулам корней

Теперь мы знаем, что при решении квадратных уравнения можно использовать универсальную формулу корней — это помогает находить комплексные корни.

В 8 классе на алгебре можно встретить задачу по поиску действительных корней квадратного уравнения. Для этого важно перед использованием формул найти дискриминант и убедиться, что он неотрицательный, и только после этого вычислять значения корней. Если дискриминант отрицательный, значит уравнение не имеет действительных корней.

Чтобы запомнить алгоритм решения квадратных уравнений и с легкостью его использовать, давайте тренироваться!

Как решать квадратные уравнения мы уже знаем, осталось закрепить знания на практике.

Пример 1. Решить уравнение −4×2 + 28x — 49 = 0.

Ответ: единственный корень 3,5.

Пример 2. Решить уравнение 54 — 6×2 = 0.

Ответ: два корня 3 и — 3.

Пример 3. Решить уравнение x2— х = 0.

Ответ: два корня 0 и 1.

Пример 4. Решить уравнение x2— 10 = 39.

Ответ: два корня 7 и −7.

Пример 5. Решить уравнение 3×2— 4x+94 = 0.

Ответ: корней нет.

В школьной программе за 8 класс нет обязательного требования искать комплексные корни, но такой подход может ускорить ход решения. Если дискриминант отрицательный — сразу пишем ответ, что действительных корней нет и не мучаемся.

Графическое решение квадратного уравнения

Графиком квадратичной функции является парабола. Решениями (корнями) квадратного уравнения называют абсциссы точек пересечения параболы с осью абсцисс. Если парабола, описываемая квадратичной функцией, не пересекается с осью абсцисс, уравнение не имеет вещественных корней. Если парабола пересекается с осью абсцисс в одной точке (в вершине параболы), уравнение имеет один вещественный корень (также говорят, что уравнение имеет два совпадающих корня). Если парабола пересекает ось абсцисс в двух точках, уравнение имеет два вещественных корня (см. изображение справа.)

Если коэффициент положительный, ветви параболы направлены вверх и наоборот. Если коэффициент положительный (при положительном , при отрицательном наоборот), то вершина параболы лежит в левой полуплоскости и наоборот.

Графический способ решения квадратных уравнений

Помимо универсального способа, описанного выше, существует так называемый графический способ. В общем виде этот способ решения рационального уравнения вида заключается в следующем: в одной системе координат строят графики функций и и находят абсциссы общих точек этих графиков; найденные числа и будут корнями уравнения.

Есть всего пять основных способов графического решения квадратных уравнений.

Для решения квадратного уравнения строится график функции
и отыскиваются абсциссы точек пересечения такого графика с осью .

Для решения того же уравнения этим приёмом уравнение преобразуют к виду
и строят в одной системе координат графики квадратичной функции и линейной функции , затем находят абсциссу точек их пересечения.

Данный приём подразумевает преобразование исходного уравнения к виду , используя метод выделения полного квадрата суммы (разности) и затем в . После этого строятся график функции (им является график функции , смещённый на единиц масштаба вправо или влево в зависимости от знака) и прямую , параллельную оси абсцисс. Корнями уравнения будут абсциссы точек пересечения параболы и прямой.

Квадратное уравнение преобразуют к виду , строят график функции (им является график функции , смещённый на единиц масштаба вверх, если этот коэффициент положителен, либо вниз, если он отрицателен), и , находят абсциссы их общих точек.

Квадратное уравнение преобразуют к особому виду:

Совершив преобразования, строят графики линейной функции и обратной пропорциональности , отыскивают абсциссы точек пересечения этих графиков. Этот приём имеет границу применимости: если , то приём не используется.

Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки

Описанные выше приёмы графического решения имеют существенные недостатки: они достаточно трудоёмки, при этом точность построения кривых — парабол и гипербол — низка. Указанные проблемы не присущи предлагаемому ниже методу, предполагающему относительно более точные построения циркулем и линейкой.

Чтобы произвести такое решение, нужно выполнить нижеследующую последовательность действий.

Иллюстрация к доказательству.

Рассматриваемый способ предполагает построение окружности, пересекающей ось ординат в точках (точке), абсциссы которых являются корнями (или корнем) решаемого уравнения. Как нужно строить такую окружность? Предположим, что она уже построена. Окружность определяется однозначно заданием трёх своих точек. Пусть в случае, если корня два, это будут точки , где , естественно, действительные корни квадратного уравнения (подчёркиваем: если они имеются). Найдём координаты центра такой окружности. Для этого докажем, что эта окружность проходит через точку . Действительно, согласно теореме о секущих, в принятых обозначениях выполняется равенство (см рисунок). Преобразовывая это выражение, получаем величину отрезка OD, которой и определяется искомая ордината точки D: (в последнем преобразовании использована теорема Виета (см. ниже в одноимённом разделе)). Если же корень один, то есть ось абсцисс будет касательной к такой окружности, и окружность пересекает ось y в точке с ординатой 1, то она обязательно пересечёт её и в точке с указанной выше ординатой (в частности, если 1=c/a, это могут быть совпадающие точки), что доказывается аналогично с использованием уже теоремы о секущей и касательной, являющаяся частным случаем теоремы о секущих. В первом случае (), определяющими будут точка касания, точка оси y с ординатой 1, и её же точка с ординатой . Если c/a и 1 – совпадающие точки, а корня два, определяющими будут эта точка и точки пересечения с осью абсцисс. В случае, когда (1=c/a) и корень один, указанных сведений достаточно для доказательства, так как такая окружность может быть только одна – её центром будет вершина квадрата, образуемого отрезками касательных и перпендикулярами, а радиус – стороне этого квадрата, составляющей 1. Пускай S – центр окружности, имеющей с осью абсцисс две общие точки. Найдём его координаты: для этого опустим от этой точки перпендикуляры к координатным осям. Концы этих перпендикуляров будут серединами отрезков AB и CD – ведь треугольники ASB и CSD равнобедренные, так как в них AS=BS=CS=DS как радиусы одной окружности, следовательно, высоты в них, проведённые к основаниям, также являются и медианами. Найдём координаты середин названных отрезков. Так как парабола симметрична относительно прямой , то точка этой прямой с такой же абсциссой будет являться серединой отрезка AB. Следовательно, абсцисса точки S равна этому числу. В случае же, если уравнение имеет один корень, то ось x является касательной по отношению к окружности,поэтому, согласно её свойству, её радиус перпендикулярен оси, следовательно, и в этом случае указанное число – абсцисса центра. Её ординату найдём так: . В третьем из возможных случаев, когда ca=1 (и, значит, a=c), то .

Итак, нами найдены необходимые для построения данные. Действительно, если мы построим окружность с центром в точке , проходящую через точку , то она, в случаях, когда уравнение имеет действительные корни, пересечёт ось x в точках, абсциссы которых есть эти корни. Причём, если длина радиуса больше длины перпендикуляра к оси Ox, то уравнение имеет два корня (предположив обратное, мы бы получили противоречие с доказанным выше), если длины равны, то один (по той же причине), если же длина радиуса меньше длины перпендикуляра, то окружность не имеет общих точек с осью x, следовательно, и действительных корней у уравнения нет (доказывается тоже от противного: если корни есть, то окружность, проходящая через A, B, C совпадает с данной, и поэтому пересекает ось, однако она не должна пересекать ось абсцисс по условию, значит, предположение неверно).

Как мы уже знаем, есть три вида неполных квадратных уравнений:

Давайте рассмотрим по шагам, как решать неполные квадратные уравнения по видам.

Как решить уравнение ax2 = 0

Начнем с решения неполных квадратных уравнений, в которых b и c равны нулю, то есть, с уравнений вида ax2 = 0.

Уравнение ax2 = 0 равносильно x2 = 0. Такое преобразование возможно, когда мы разделили обе части на некое число a, которое не равно нулю. Корнем уравнения x2 = 0 является нуль, так как 02 = 0. Других корней у этого уравнения нет, что подтверждают свойства степеней.

Таким образом, неполное квадратное уравнение ax2 = 0 имеет единственный корень x = 0.

Пример 1. Решить −6×2 = 0.

Как решить уравнение ax2 + с = 0

Обратим внимание на неполные квадратные уравнения вида ax2 + c = 0, в которых b = 0, c ≠ 0. Мы давно знаем, что слагаемые в уравнениях носят двусторонние куртки: когда мы переносим их из одной части уравнения в другую, они надевает куртку на другую сторону — меняют знак на противоположный.

Еще мы знаем, что если обе части уравнения поделить на одно и то же число (кроме нуля) — у нас получится равносильное уравнение. Ну есть одно и то же, только с другими цифрами.

Держим все это в голове и колдуем над неполным квадратным уравнением (производим «равносильные преобразования»): ax2 + c = 0:

Ну все, теперь мы готовы к выводам о корнях неполного квадратного уравнения. В зависимости от значений a и c, выражение — c/а может быть отрицательным или положительным. Разберем конкретные случаи.

Если — c/а < 0, то уравнение x2 = – c/а не имеет корней. Все потому, что квадрат любого числа всегда равен неотрицательному числу. Из этого следует, что при — c/а < 0 ни для какого числа p равенство р2 = – c/а не является верным.

Пример 1. Найти решение уравнения 8×2 + 5 = 0.

Ответ: уравнение 8×2 + 5 = 0 не имеет корней.

Как решить уравнение ax2 + bx = 0

Неполное квадратное уравнение ax2 + bx = 0 можно решить методом разложения на множители. Как разложить квадратное уравнение:

Таким образом, неполное квадратное уравнение ax2 + bx = 0 имеет два корня:

Пример 1. Решить уравнение 0,5×2 + 0,125x = 0

Ответ: х = 0 и х = −0,25.

Как разложить квадратное уравнение

С помощью теоремы Виета можно получить формулу разложения квадратного трехчлена на множители. Выглядит она так:

Формула разложения квадратного трехчленаЕсли x1 и x2 — корни квадратного трехчлена ax2 + bx + c, то справедливо равенство ax2 + bx + c = a (x − x1) (x − x2).