Тест 2 по теме «Многогранники»
1. Тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских
в) многогранник г) шестиугольник
2. Вершины многогранника обозначаются:
3. К многогранникам относятся:
в) пирамида г) все ответы верны
4. Отрезок, соединяющий две вершины призмы, не принадлежащие
одной грани называется:
в) гранью г) осью
5. Если боковые ребра призмы перпендикулярны основанию, то призма
а) наклонной б) правильной
6. У призмы боковые ребра:
а) равны б) симметричны
в) параллельны и равны г) параллельны
7. Если в основании призмы лежит параллелограмм, то она является:
а) правильной призмой б) параллелепипедом
в) правильным многоугольником г) пирамидой
8. Грани параллелепипеда не имеющие общих вершин, называются:
а) противолежащими б) противоположными
в) симметричными г) равными
9. Многогранник, который состоит из плоского многоугольника, точки и
отрезков соединяющих их, называется:
а) конусом б) пирамидой
в) призмой г) шаром
10. Перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость
а) медианой б) осью
в) диагональю г) высотой
МНОГОГРАННИКИ И ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ
1. Тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников,
1. Четырехугольник 2. Многоугольник 3. Многогранник 4. Шестиугольник
2. К многогранникам относятся:
1. Параллелепипед 2. Призма 3. Пирамида 4. Все ответы верны
3. Отрезок, соединяющий две вершины призмы, не принадлежащие одной грани называется:
1. Диагональю 2. Ребром 3. Гранью 4. Осью
4. У призмы боковые ребра:
1. Равны 2. Симметричны 3. Параллельны и равны 4. Параллельны
5. Грани параллелепипеда не имеющие общих вершин, называются:
1. Противолежащими 2. Противоположными 3. Симметричными 4. Равными
6. Перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость основания, называется:
1. Медианой 2. Осью 3. Диагональю 4. Высотой
7. , не лежащие в плоскости основания пирамиды, называются:
1. Вершинами пирамиды 2. Боковыми ребрами 3. Линейным размером 4. Вершинами грани
8. боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины, называется:
1. Медианой 2. Апофемой 3. Перпендикуляром 4. Биссектрисой
9. У куба все грани:
1. Прямоугольники 2. Квадраты 3. Трапеции 4. Ромбы
10. Тело, состоящее из двух кругов и всех отрезков, соединяющих точки кругов называется:
1. Конусом 2. Шаром 3. Цилиндром 4. Сферой
11. У цилиндра образующие:
1. Равны 2. Параллельны 3. Симметричны 4. Параллельны и равны
12. Основания цилиндра лежат в:
1. Одной плоскости 2. Равных плоскостях 3. Параллельных плоскостях 4. Разных плоскостях
13. Поверхность конуса состоит из:
1. Образующих 2. Граней и ребер 3. Основания и ребра 4. Основания и боковой поверхности
14. Отрезок, соединяющий две точки шаровой поверхности и проходящий через центр шара,
1. Радиусом 2. Центром 3. Осью 4. Диаметром
15. Всякое сечение шара плоскостью есть:
1. Окружность 2. Круг 3. Сфера 4. Полукруг
16. шара диаметральной плоскостью называется:
1. Большим кругом 2. Большой окружностью 3. Малым кругом 4. Окружностью
17. Круг конуса называется:
1. Вершиной 2. Плоскостью 3. Гранью 4. Основанием
1. Параллельны 2. Равны 3. Перпендикулярны 4. Не равны
19. Площадью боковой поверхности призмы называется:
1. Сумма площадей боковых многоугольников
2. Сумма площадей боковых ребер
3. Сумма площадей боковых граней
4. Сумма площадей оснований
20. Пересечения диагоналей параллелепипеда является его:
1. Центром 2. Центром симметрии 3. Линейным размером 4. Точкой сечения
21. Радиус основания цилиндра 1,5 см, высота 4см. Найти диагональ осевого сечения.
1. . 2. 10 . 3.
22. Наибольший угол между образующими конуса 60
. Чему равен диаметр основания, если
образующая равна 7 см?
1. . 2. . 3.
23. Высота цилиндра равна 8 см, радиус 1 см. Найти площадь осевого сечения.
24. Радиусы оснований усеченного конуса равны 15 см и 12 см, высота 4 см. Чему равна
1. 2. 3. 10 см
1. Вершины многогранника обозначаются:
2. Многогранник, который состоит из двух плоских многоугольников, совмещенных
параллельным переносом, называется:
1. Пирамидой 2. Призмой 3. Цилиндром 4. Параллелепипедом
3. Если боковые ребра призмы перпендикулярны основанию, то призма является:
1. Наклонной 2. Правильной 3. Прямой 4. Выпуклой
4. Если в основании призмы лежит параллелограмм, то она является:
1. Правильной призмой 2. Параллелепипедом 3. Правильным многоугольником 4. Пирамидой
5. Многогранник, который состоит из плоского многоугольника, точки и отрезков
1. Конусом 2. Пирамидой 3. Призмой 4. Шаром
6. Отрезки, соединяющие вершину пирамиды с вершинами основания, называются:
1. Гранями 2. Сторонами 3. Боковыми ребрами 4. Диагоналями
7. Треугольная пирамида называется:
1. Правильной пирамидой 2. Тетраэдром 3. Треугольной пирамидой 4. Наклонной пирамидой
8. К правильным многогранникам не относится:
1. Куб 2. Тетраэдр 3. Икосаэдр 4. Пирамида
9. Высота пирамиды является:
1. Осью 2. Медианой 3. Перпендикуляром 4. Апофемой
10. Отрезки, соединяющие точки окружностей кругов, называются:
1. Гранями цилиндра 2. Образующими цилиндра 3. Высотами цилиндра 4. Перпендикулярами
11. , проходящая через центры оснований называется:
1. Осью цилиндра 2. Высотой цилиндра 3. Радиусом цилиндра 4. Ребром цилиндра
12. Тело, которое состоит из точки, круга и отрезков соединяющих их, называется:
1. Пирамидой 2. Конусом 3. Шаром 4. Цилиндром
13. Тело, которое состоит из всех точек пространства, называется:
1. Сферой 2. Шаром 3. Цилиндром 4. Полусферой
14. Граница шара называется:
1. Сферой 2. Шаром 3. Сечением 4. Окружностью
15. Линия пересечения двух сфер есть:
1. Круг 2. Полукруг 3. Окружность 4. Сечение
16. Сечение сферы называется:
1. Кругом 2. Большой окружностью 3. Малым кругом 4. Малой окружностью
17. Грани выпуклого многогранника являются выпуклыми:
1. Треугольниками 2. Углами 3. Многоугольниками 4. Шестиугольниками
18. Боковая поверхность призмы состоит из:
1. Параллелограммов 2. Квадратов 3. Ромбов 4. Треугольников
19. Боковая поверхность прямой призмы равна:
1. Произведению периметра на длину грани призмы
2. Произведению длины грани призмы на основание
3. Произведению длины грани призмы на высоту
4. Произведению периметра основания на высоту призмы
20. К правильным многогранникам относятся:
1. Тетраэдр 2. Куб и додекаэдр 3. Октаэдр и икосаэдр 4. Все ответы верны
21. Радиус основания цилиндра 2,5 см, высота 12см. Найти диагональ осевого сечения.
1. 2. 3.
образующая равна 5 см?
1. 2. 3.
23. Высота цилиндра равна 4 см, радиус 1 см. Найти площадь осевого сечения.
24. Радиусы оснований усеченного конуса равны 6 см и 12 см, высота 8 см. Чему равна
1. 2. 3. 6 .
Геометрия 10 – 11 класс
Подготовила Степакова Надежда Васильевна– преподаватель математики ГАУ СПО БТЭиР
Многогранник – геометрическое тело, ограниченное плоскими многоугольниками.
Многогранник – геометрическое тело, ограниченное плоскими многоугольниками.
Плоские многоугольники
называются гранями многогранника
стороны многоугольника –
ребрами многогранника
вершины многоугольника –
вершинами многогранника.
Пирамида называется правильной,
Пирамида называется правильной,
если в основании лежит правильный многоугольник, а вершина проектируется
в центр основания
Пирамида – это многогранник
Основанием является многоугольник
боковые грани – треугольники
(n-угольная пирамида имеет n+1 граней)
Правильная призма
она прямая
основание ее правильный многоугольник.
ПРИЗМА – это многогранник
основания равные многоугольники
боковые грани параллелограммы
в основании лежит четырехугольник
в основании лежит треугольник
Прямая призма боковые ребра перпендикулярны основаниям
Параллелепипед – это призма
основанием которой является параллелограмм
Параллелепипед, основанием которого является прямоугольник или квадрат называется прямым
Свойства параллелепипеда:
1. Противоположные грани параллелепипеда параллельны и равны.
2. Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.
( от ,,тетра”- четыре и греческого ,,hedra” – грань)
состоит из 4-х правильных треугольников, в каждой его вершине сходятся 3 ребра.
Тетраэдр символизировал огонь,
т.к. его вершина устремлена вверх
гексаэдр (куб) – земля
Гексаэдр (куб) символизировал землю,
так как самый «устойчивый»
( от греческого ,,гекса” – шесть и ,,hedra” – грань) имеет 6 квадратных граней, в каждой его вершине сходятся 3 ребра.
Гексаэдр больше известен как куб (от латинского ,,cubus”; от греческого ,,kubos”.
(от греческого okto – восемь и hedra – грань)
имеет 8 граней (треугольных),
в каждой вершине сходятся 4 ребра.
Октаэдр символизировал воздух,
как самый “воздушный”
Икосаэдр символизировал воду,
так как он самый «обтекаемый»
(от греческого eikosi – двадцать и hedra – грань)
имеет 20 граней (треугольных),
в каждой вершине сходится 5 рёбер
Додекаэдр воплощал в себе “все сущее”, символизировал все мироздание, считался главным
(от греческого dodeka – двенадцать и hedra – грань) имеет 12 граней (пятиугольных),
в каждой вершине сходятся 3 ребра.
Математика – гимнастика для ума, СТЕРЕОМЕТРИЯ – витамин для мозга.
Математика – гимнастика для ума, СТЕРЕОМЕТРИЯ – витамин для мозга.
Великая пирамида в Гизе
Многогранники в архитектуре.
АВСD и A1B1C1D1 – равные параллелограммы – основания
Все грани параллелограммы.
AA1B1B; BB1C1C; CC1D1D; AA1D1D – боковые грани
DB1 – диагональ
1. Противолежащие грани параллелепипеда параллельны и равны.
2. Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся пополам.
– это параллелепипед, у которого боковые грани являются прямоугольниками.
– это параллелепипед, у которого все грани прямоугольники.
a – длина, b – ширина,
с – высота, d – диагональ
d2 = a2 + b2 + c2
: основания – равные n – угольники, лежащие в параллельных плоскостях, боковые грани – параллелограммы.
Наклонная – боковые грани – параллелограммы.
HH1 – высота призмы
AH (k) – боковое ребро призмы
FMNPD – сечение, перпендикулярное боковому ребру
Прямая призма – боковые грани – прямоугольники.
все грани – квадраты
РH – высота пирамиды – h
H – высота,
h – апофема
AB = BC = AC = a
Правильная треугольная пирамида
Правильная четырехугольная пирамида
h – апофема,
AB = BC = CD = DA = a (в основании – квадрат)
К – середина DC
а – сторона основания
α – плоскость основания
β – секущая плоскость,
Усеченная пирамида
OO1= H – высота
Правильная треугольная усеченная пирамида –
боковые грани – равные между собой равнобокие трапеции.
Δ ABC и Δ A1B1C1 – равносторонние
OO1 = H – высота
КК1 = h – апофема
Правильная четырехугольная усеченная пирамида –
ABCD и A1B1C1D1 – квадраты
KK1 = h – апофема
Многогранники в искусстве
В эпоху Возрождения большой интерес к формам правильных многогранников проявили скульпторы. архитекторы, художники. Леонардо да Винчи (1452 -1519) например, увлекался теорией многогранников и часто изображал их на своих полотнах. Он проиллюстрировал правильными и полуправильными многогранниками книгу Монаха Луки Пачоли ”О божественной пропорции.”
Знаменитый художник, увлекавшийся геометрией Альбрехт Дюрер (1471- 1528) , в известной гравюре ”Меланхолия ‘‘ на переднем плане изобразил додекаэдр.
Наука геометрия возникла из практических задач, ее предложения выражают реальные факты и находят многочисленные применения. В конечном счете в основе всей техники так или иначе лежит геометрия, потому что она появляется всюду, где нужна хотя бы малейшая точность в определении формы и размеров. И технику, и инженеру, и квалифицированному рабочему и людям искусства геометрическое воображение необходимо, как геометру или архитектору. Математика, в частности геометрия, представляет собой могущественный инструмент познания природы, создания техники и преобразования мира.
Различные геометрические формы находят свое отражение практически во во всех отраслях знаний: архитектура, искусство.
Во всем облике японского строения очевидна идея преобразования пространства, подчинения его новой логике – логике “завоевания” природного ландшафта, которому противопоставлена четкая геометрия проникающих архитектурных форм.
Великая пирамида в Гизе. Эта грандиозная Египетская пирамида является древнейшим из Семи чудес древности. Кроме того, это единственное из чудес, сохранившееся до наших дней. Во времена своего создания Великая пирамида была самым высоким сооружением в мире. И удерживала она этот рекорд, по всей видимости, почти 4000 лет.
Великая пирамида была построена как гробница Хуфу, известного грекам как Хеопс. Он был одним из фараонов, или царей древнего Египта, а его гробница была завершена в 2580 году до н.э. Позднее в Гизе было построено еще две пирамиды, для сына и внука Хуфу, а также меньшие по размерам пирамиды для их цариц. Пирамида Хуфу, самая дальняя на рисунке, является самой большой. Пирамида его сына находится в середине и смотрится выше, потому что стоит на более высоком месте.
Пирамиды стоят на древнем кладбище в Гизе, на противоположном от Каира, столицы современного Египта, берегу реки Нил. Некоторые археологи считают, что, возможно, на строительство Великой пирамиды 100 000 человек потребовалось 20 лет. Она была создана из более чем 2 миллионов каменных блоков, каждый из которых весил не менее 2,5 тонн. Рабочие подтаскивали их к месту, используя пандусы, блоки и рычаги, а затем подгоняли друг к другу, без раствора.
ОСТРОВ И МАЯК
Маяк был построен на маленьком острове Фарос в Средиземном море, около берегов Александрии. Этот оживленный порт основал Александр Великий во время посещения Египта. Сооружение назвали по имени острова. На его строительство, должно быть, ушло 20 лет, а завершен он был около 280 г. до н.э., во времена правления Птолемея II, царя Египта.
Фаросский маяк состоял из трех мраморных башен, стоявших на основании из
массивных каменных блоков. Первая башня была прямоугольной, в ней находились комнаты, в которых жили рабочие и солдаты. Над этой башней располагалась меньшая, восьмиугольная башня со спиральным пандусом, ведущим в верхнюю башню.
В III веке до н.э. был построен маяк, чтобы корабли могли благополучно миновать рифы на пути в Александрийскую бухту. Ночью им помогало в этом отражение языков пламени, а днем – столб дыма. Это был первый в мире маяк, и простоял он 1500 лет.
Кристаллы белого фосфора образованы молекулами Р4
Такая молекула имеет вид тетраэдра.
Молекулы зеркальных изомеров молочной кислоты
также являются тетраэдрами.
Кристаллическая решётка метана имеет форму тетраэдра.
Метан горит бесцветным пламенем.
С воздухом образует взрывоопасные смеси.
Используется как топливо.
Сфалерит – сульфид цинка (ZnS).
Кристаллы этого минерала имеют форму тетраэдров, реже – ромбододекаэдров.
Куб передает форму кристаллов поваренной соли NaCl.
Форму куба имеют кристаллические решётки
многих металлов (Li, Na, Cr, Pb, Al, Au, и другие)
Интересно сравнить этот рисунок Леонардо с похожей работой Маурица Эшера,
относящейся к 1952 г., «Ячейки кубического пространства».
Леонардо да Винчи – метод жестких ребер
Форму октаэдра имеет монокристалл алюмокалиевых кварцев,
формула которого K(AL(SO4)2) * 12H2O.
Они применяются для протравливания тканей, выделки кожи.
Одним из состояний полимерной молекулы углерода, наряду с графитом, является алмаз Алмазы обычно имеют октаэдр в качестве формы огранки.
Алмаз (от греческого adamas – несокрушимый) – бесцветный или окрашенный кристалл с сильным блеском в виде октаэдра.
Кристаллы алмаза представляют собой гигантские полимерные молекулы и обычно имеют форму огранки октаэдра, ромбододекаэдра, реже — куба или тетраэдра.
Вирус полиомиелита имеет форму додекаэдра. Он может жить и размножаться только в клетках человека и приматов.
В книге Дана Уинтера «Математика Сердца» (Dan Winter, Heartmath) показано, что молекула ДНК составлена из взаимоотношений двойственности додекаэдров и икосаэдров.
Многогранник – геометрическое тело,
Многогранник – геометрическое тело,
ограниченное со всех сторон плоскими
многоугольниками, называемыми гранями.
Стороны граней называются ребрами
многогранника, а концы ребер — вершинами
многогранника. По числу граней различают
четырехгранники, пятигранники и т. д.