Конспект урока алгебры в 10 классе по теме «Иррациональные уравнения»
обобщить теоретические знания по данной теме, рассмотреть некоторые нестандартные способы решения иррациональных уравнений.
закрепить основные приёмы и навыки решения иррациональных уравнений, формировать умения открывать закономерности, решать уравнения нестандартными способами.
развивать логическое мышление, умение анализировать задачу перед выбором способа решения.
прививать интерес к изучению математики, формировать уверенность в своих силах, умение преодолевать препятствия, как следствие снятие эмоционального напряжения и чувства тревожности пред предстоящей сдачей ЕГЭ.
Тема урока: “Иррациональные уравнения”
Тип урока:
урок ознакомления с новым материалом и первичное его закрепление.
Цель урока:
ввести понятие иррациональных уравнений и показать способы их решения.
Задачи:
создать условия:
для формирования у обучающихся умений решать иррациональные уравнения;
для развития алгоритмического мышления, памяти, внимательности, умения излагать мысли, делать выводы, обобщать;
для усиления познавательной мотивации осознанием ученика своей значимости в образовательном процессе;
для воспитания у обучающихся самостоятельности.
Время проведения:
45 минут.
1. Проверка домашнего задания.
2. Повторение пройденного материала.
II. Рассмотрение нового материала
1. Сообщение темы урока.
2. Постановка целей и задач.
3. Рассмотреть некоторые способы решения иррациональных уравнений.
III. Закрепление изученного материала
Гимнастика для глаз.
Выполнение практических задании.
IV. Подведение итогов. Рефлексия.
V. Домашнее задание
Проверка домашнего задания с помощью фронтального опроса при устной работе.
II. Рассмотрение нового материала
.
На экране вы видите уравнения
Посмотрите внимательно и определите, какие уравнения вы уже умеете решать, а какие у вас вызывают затруднения?
– Кто может назвать тип уравнения, которые вам знакомы?
Вывод: Остались уравнения, которые вы еще не умеете решать.
– Чем отличается запись этих уравнений от тех, которые мы убрали?
Ответ: Неизвестное находится под знаком корня.
– Верно! Такие уравнения, в которых под знаком корня содержится переменная, называются иррациональными уравнениями.
Иррациональное
(от лат. irrationalis неразумный, бессознательный) находящееся за пределами разума, противоречащее логике.
Обычно противопоставляется рациональному как разумному, целесообразному, обоснованному.
Итак, тема нашего урока: “ Иррациональные уравнения”.
Цель урока
:
Рассмотреть и отработать некоторые способы решения простейших иррациональных уравнений.
Существует множество методов решения иррациональных уравнений, одни из них вы видите на экране. Сейчас мы рассмотрим в некоторые из них и на примерах. Вернемся к нашему эпиграфу, перефразировав слова Декарта, можно сказать, что чем труднее задача, тем больше удовольствия получит тот, кто ее решит. Что вам сейчас и предстоит испытать
Метод возведения в квадрат
обеих частей уравнения
3 = 3
(верно)
Возвести обе части уравнения в квадрат.
Обязательно сделать проверку!!!
Метод замены переменной
Динамическая пауза
(лёгкие упражнения для глаз, шеи, плеч, рук, спины)
III.
Выполнение практических заданий
IV. Подведение итогов
Притча:
Шёл мудрец, а навстречу ему три человека, которые везли под горячим солнцем тележки с камнями для строительства. Мудрец остановился и задал каждому по вопросу. У первого спросил: «Что ты делал целый день?» И тот с ухмылкой ответил, что целый день возил проклятые камни. У второго спросил мудрец: «А что ты делал целый день?», и тот ответил: «А я добросовестно выполнял свою работу». А третий улыбнулся, его лицо засветилось радостью и удовольствием: «А я принимал участие в строительстве храма!»
— Ребята! Давайте мы попробуем с вами оценить каждый свою работу за урок.
— Кто работал так, как первый человек?
— Кто работал добросовестно?
— Кто принимал участие в строительстве храма науки?
V. Домашнее задание
№152(1,3), 153(1,3), 154(1,3)
Иррациональным
уравнением
называется уравнение, в котором
переменная содержится под знаком корня или под знаком операции возведения в дробную
степень.
Методы
решения иррациональных уравнений
, как правило, основаны на
возможности замены (с помощью некоторых преобразований) иррационального
уравнения
рациональным
уравнением, которое либо равносильно
исходному иррациональному уравнению
, либо является его
следствием.
Итак,
давайте перечислим основные методы решения иррациональных уравнений
.
1
метод: возведение обеих частей уравнения в одну и ту же степень.
2
метод: замена переменной.
3
метод: умножение обеих частей уравнения на одну и ту же функцию.
4
метод: применение свойств функций, входящих в уравнение.
Чаще
всего при решении иррациональных уравнений
применяют 1метод, то
есть обе части уравнения возводят в одну и ту же степень. При этом получается
уравнение, являющееся следствием исходного. Следует не забывать, что
уравнение-следствие наряду с корнями исходного уравнения может содержать и
другие корни, которые называются посторонними
. Поэтому после решения
уравнения-следствия необходимо найти способ отсеять посторонние корни. Обычно
это можно сделать при помощи проверки, которая в данном случае рассматривается
как один из этапов решения.
Давайте
докажем, что при возведении обеих частей уравнения в натуральную степень
получается уравнение — следствие данного
.
Доказательство
:
пусть у нас есть уравнение 
и
—
корень этого уравнения. То есть 
—
верное числовое равенство.
Тогда
по свойствам верных числовых равенств равно 
,
где 
—
натуральное число, также будет верным числовым равенством. То есть имеем
—
корень уравнения 
.
В свою очередь, уравнение
–
это уравнение-следствие.
Что
и требовалось доказать.
Напомним,
что при возведении обеих частей уравнения в чётную натуральную степень может
получиться уравнение, не равносильное данному
.
Например,
решим уравнение 
.
Решение.
Возведём в квадрат обе части уравнения 
.
Получим уравнение 
.
Обратите
внимание: второе уравнение не равносильно исходному, так как первое уравнение
имеет только один корень — 
,
а второе — два корня –
и
.
В
этом случае второе уравнение называют следствием первого уравнения
.
Отметим, что второй корень является посторонним
для исходного
уравнения, так как при подставновке его в исходное уравнение получим неверное
равенство.
Как
видим, при возведении иррационального уравнения
в натуральную
степень могут появиться посторонние корни, поэтому проверка обязательна.
Если
обе части уравнения
неотрицательны
на множестве 
,
то уравнение
равносильно
уравнению 
при
.
При
решении иррациональных уравнений
необходимо учитывать основные
свойства иррациональных уравнений
:
1.
Если показатель радикала – чётное число, то подкоренное выражение должно быть неотрицательным
,
при этом значение радикала также является неотрицательным
. Проще
говоря, все корни чётной степени, входящие в уравнение, являются арифметическими
,
то есть если подкоренное выражение отрицательно, то корень лишён смысла; если
подкоренное выражение равно 0, то корень также равен 0; если подкоренное
выражение положительно, то значение корня – положительно.
2.
Если показатель радикала – нечётное число, то подкоренное выражение может быть
любым действительным числом. В этом случае знак радикала совпадает со знаком
подкоренного выражения. Говоря другими словами, все корни нечётной степени, входящие
в уравнение определены при любом действительном значении подкоренного выражения
и в зависимости от знака подкоренного выражения могут принимать как неотрицательные,
так и отрицательные значения.
А
теперь давайте приступим к практической части нашего урока.
Задание
1
.
Решите уравнение 
.
Решение
.
Отметим, что при 
уравнение
не имеет корней, так как правая часть нашего уравнения будет принимать
отрицательные значения. А мы знаем, что значение корня не может быть отрицательным
числом
. Значит, нам будут подходить только корни больше либо равные 3.
Итак,
возведём в квадрат обе части уравнения 
.
Получим равносильное уравнение 
.
Перенесём
все слагаемые из правой части уравнения в левую 
.
Получим уравнение 
.
Теперь
вынесем общий множитель х
за скобки. Получим уравнение 
.
В скобках квадратный многочлен разложим на множители.
Чтобы
данное уравнение равнялось 0, нужно чтобы хотя бы один из множителей равнялся 0.
Отсюда
полученное уравнение имеет корни 
, 
, 
.
Вначале
решения мы с вами оговаривали, что корни меньше –3 нам не подходят. Проверим,
подходят ли корни
и
.
Подставим их в исходное уравнение. При
левая
часть исходного уравнения равна 
,
а правая – 3. Имеем верное равенство. Значит,
является
корнем уравнения. При
левая
часть исходного уравнения равна 
,
правая – 4. Тоже имеем верное равенство.
Следовательно,
также
является корнем уравнения.
Задание
2
.
Решите уравнение 
.
Решение
.
Возведём обе части уравнения в квадрат 
.
Получим
равносильное исходному уравнение 
.
Приведём
подобные члены и перенесём слагаемые без знака корня в правую часть уравнения 
.
Возведём
обе части получившегося уравнения в квадрат.
Раскроем
скобки. Перенесём все слагаемые из правой части уравнения в левую. Приведём
подобные.
Последнее
уравнение является следствием исходного уравнения. Вычислим его корни. Имеем 
,
.
При 
выражение
.
Имеем верное равенство. Значит,
является
корнем нашего уравнения.
При
выражение
.
Видим: имеем неверное равенство.
Следовательно,
не
является корнем нашего уравнения. Запишем ответ.
Урок обобщения и систематизации знаний.
Алгебра и начала математического анализа 10 класс. У МК Мерзляк А. Г.
Учитель МБОУ СОШ № 101 г.о. Самара Шестеркина Лилия Раушановна.
Цели урока: Обобщение материала по теме: «Иррациональные уравнения», совершенствование навыков решения уравнений различными методами.
- Общеобразовательные: расширить и углубить представления учащихся о методах решения иррациональных уравнений; совершенствовать умения и навыки самостоятельного приобретения знаний в процессе работы.
- Развивающие: способствовать формированию умений классифицировать иррациональные уравнения по теоремам, развивать логическое мышление, навыки самоконтроля, взаимоконтроля, самооценки.
- Воспитательные: воспитывать взаимопонимания, взаимоуважения, ответственности, настойчивости в учебе; развивать интерес к математике путем информационных технологий.
Знания, умения, навыки и качества, которые актуализируют /приобретут/ закрепят/др. ученики в ходе урока:
- знания теоретического материала,
- умения применять знания при решении задач,
- элементарные вычислительные навыки.
- коммуникативные умения, навыки индивидуальной и групповой работы
- навыки анализа и синтеза,
- ИК – компетентность,
- мыслительную деятельность, самостоятельность.
Необходимое оборудование и материалы: компьютер, медиа-проектор, система контроля и мониторинга качества знаний (пульты для учащихся), документ-камера, презентация «Иррациональные уравнения», экран, раздаточный материал.
- Разнообразие форм и методов обобщения и контроля,
- возможность применять пульты и документ-камеру для проверки знаний.
Ход и содержание урока
Оформление доски выполняет ряд функций:
- мотивационную – эпиграф к уроку:
«Где есть желание, найдется путь!» - организационную – тема, цель и план урока.
Один из великих философов сказал: «Где есть желание, найдется путь!».
Ребята, как вы понимаете эти слова? (Дети высказываются)
Мы сегодня с большим желанием будем решать уравнения, определяя различные методы решения.
Цель сегодняшнего урока:
обобщение материала по теме: «Иррациональные уравнения», совершенствование навыков решения уравнений различными способами.
- Актуализация опорных знаний. Устная работа
. (10 мин.)
Все задания оформлены в презентации. (Слайды 2-14).
Устная работа проводится с помощью системы контроля и мониторинга качества знаний. Учащиеся отвечают на задания с помощью пульта. Все ответы отображаются на компьютере учителя. Для этого презентация заранее настраивается для данной системы контроля. В конце устной работы учитель подводит итоги. В компьютере учителя выводится статистика выполнения устной работы. Те задания, в которых учащиеся ошиблись больше всего, разбираются на доске. Учитель ставит оценки учащимся, максимально ответившим на вопросы.
Какое уравнение не является иррациональным:
=0 +
Какие из чисел являются корнями уравнения
- -5; 5 +
- Найдите корень уравнения
-
- 81 +
- Найдите корень уравнения
- 48 +
- Найдите корень уравнения
- корней нет +
- Какое из уравнений не имеет корней
- А сейчас вы побываете в роли учителя. Проверьте работу ученика 10 класса, находящуюся на листе
- Задание для учащихся.
- Ошибки подчеркните или обведите.
- Теперь поменяйтесь листочками и проверьте по образцу.
- Приложение 2. Образец для проверки.
- Задание для учащихся
- Задание для учащихся.
- Возведите обе части уравнения в квадрат.
-
-
-
- Возведите обе части уравнения в квадрат.
-
-
-
Ответ: -2; 5
-
Практическая работа. Групповая работа. (15 мин)
- Обе части уравнения возвели в нечетную степень. Будут ли исходное и полученное уравнения равносильными?
- Обе части уравнения возвели в четную степень. Будут ли исходное и полученное уравнения равносильными?
- Как можно выявить посторонние корни уравнения? ( проверка)
- Задание 1. Решите уравнение:
- В чем заключается метод замены переменной.
- Почему мы прибегаем к этому методу при решении иррациональных задач.
- Почему мы используем метод равносильных преобразований?
- Какими теоремами мы пользуемся при использовании данного метода.
Корнем какого уравнения является число 3
Корнем какого уравнения не является число -2
Найдите корень уравнения
6,5 +
0,5 +
Найдите корень уравнения
-125 +
Найдите корень уравнения
Какое из уравнений не имеет корней
Какое из уравнений не имеет корней
Работа в парах. (8 мин)
Оцените работу. Критерии оценивания на доске.
«5» – нашли 9 ошибок
«4» – 7-8 ошибок
«3» – 5-6 ошибок
Ответ: -2; 5
Приложение 2. Образец для проверки
Образец для проверки.
, как показывает проверка
Разноуровневые задания. Учащиеся делятся на 3 группы и выполняют задания по выбору, учитывая свои способности в данной теме.
После выполнения, капитан группы с помощью документ-камеры выводит на экран решения заданий и комментирует решения.
Команда оценивает активных участников в своей группе.
I группа. Возведение обеих частей уравнения в одну и ту же степень.
Учащиеся обсуждают теорию возведения обеих частей уравнения в четную и нечетную степень, а также метод равносильных преобразований для решения иррациональных уравнений.
Задания для I группы:
Задание 2. Решите уравнение:
Задание 3. Решите уравнение:
II группа. Решение уравнений с использованием замены переменной
Задания для II группы:
Задание 1. Решите уравнение:
Задание 2. Решите уравнение:
Задание 3. Решите уравнение:
III группа. Метод равносильных преобразований для решения иррациональных уравнений.
Задания для III группы.
Задание 1. Решите уравнение:
Задание 2. Решите уравнение:
Задание 3. Решите уравнение:
- Домашняя работа (1 мин) (слайд 19)
-
Подготовка к проверочной работе.
№ 11.20(3,4), 11.22, 12.6
- Рефлексия (3 мин) (слайд 20)
- Ребята, как же решаются иррациональные уравнения?
При решении иррациональных уравнений всегда ли мы делаем равносильные преобразования?
Как уберечься от ошибок?
Продолжите фразы, которые вы видите на слайде:
Тема уроков № 1-2 :
Иррациональные уравнения и неравенства.
Формы работы на уроках
: фронтальная, групповая, индивидуальная.
Используемые педагогические технологии
: проблемного обучения, личностно-ориентированные технологии, развитие информационно-технологической компетенции( ИКТ).
ввести понятие иррационального уравнения
показать способы его решения
показать универсальный способ записи ОДЗ
показать способы решения иррациональных неравенств всех возможных видов.
- развитие интеллектуальных способностей, умение переносить знания в новые ситуации.
активизация работы учащихся на уроке за счет работы в паре (группе), воспитания интереса к предмету, воспитание ответственности к своему образованию, как закладке фундамента знаний для успешной сдачи выпускного экзамена.
Урок первичного предъявления новых знаний
: индивидуальные конспекты, индивидуальные листы самоконтроля, записи на
доске, учебник «Алгебра и начала математического анализа» 10-11 Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин,
М. В. Ткачева, Н. Е. Федорова, М. И. Шабунин Москва «Просвещение» 2011г.
К конспекту урока приложен раздаточный материал.
Проверить готовность класса. Сообщить тему урока, образовательную цель урока, краткий план урока, рассадить учащихся по группам, в каждой из которых есть капитан, раздать каждому ученику опорно – схематический конспект, маршрутный лист.
II. Работа в группах по маршрутному листу.
1. Прочитать определение иррационального уравнения и привести два три своих примера, можно пользоваться учебником.
2. Решить в группе самое простое иррациональное уравнение и сделать проверку.
3. Записать О. Д. З. этого уравнения.
4. Один ученик из группы записывает выполненное задание на доске.
5. Рассмотреть способы решения
иррациональных неравенств , когда правая часть неравенства число.
6. Придумать в группе свои примеры и записать их на доске.
7. Рассмотреть и придумать иррациональные неравенства , когда обе части являются функциям.
8. Записать решение в виде системы.
опорно- схематический конспект
тема: ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА.
Уравнение называется иррациональным если неизвестное находится под знаком корня. Решение любого иррационального уравнения состоит из трех частей
1) Найти ОДЗ.
2) Решить уравнение соответствующим способом. Чаще всего возведением обеих частей иррационального уравнения в квадрат.
3) Сделать письменно проверку и записать ответ.
с квадратными корнями рассматривают только
арифметическое значение корня, то есть положительное значение корня например:
Отрицательное значение квадратного корня считается невозможным и не рассматривается.
ЗАКОН ЗАПИСИ ОДЗ:
1) знаменатель дроби не равен нулю
2) то, что стоит внутри квадратного корня или корня четной степени
Кубические корни и корни нечетной степени в ОДЗ не нуждаются.
Решение иррациональных неравенств вида:
│a│ , Решение: так как корень не может быть меньше отрицательного числа, то это неравенство решений не имеет.
ВЫВОД: РЕШЕНИЕМ ЯВЛЯЕТСЯ О. Д. З.
Если обе части неравенства являются функциями, то возможны два случая
: §9,10 №№ 152-155, 165-170.
Лист самоконтроля № 6
10 класс алгебра
1) Определение иррационального уравнения.
2)Способ решения иррационального уравнения.
3)Закон записи ограничений или, что, то же самое ОДЗ. ( Каким может быть
4)Решение иррациональных неравенств, если корень меньше положительного числа.
5) Решение иррациональных неравенств , если корень больше положительного числа.
6)Когда иррациональное неравенство не имеет решений?
7) Когда иррациональное неравенство имеет решением свое ОДЗ?
8)Случай, когда корень меньше функции от х.
9) Два случая, когда корень больше функции от х.
III. Коллективное создание продукта
Капитаны или ученик по желанию каждой группы записывают выполненные задания на доске и комментируют в соответствии с конспектом отвечая на вопросы из листа самоконтроля .(Данные ответы желательно оценить).
IV. Подведение итогов урока.
Теперь вы знаете, что решение иррациональных уравнений требует от вас хороших теоретических знаний, умения применять их на практике. За активную работу и ответы на доске выставляются хорошие оценки учащимся.
: §9,10 №№ 152-155, 165-170
опорно- схематический конспект
Теоретическая часть домашнего задания должна быть выполнена к следующему уроку обязательно! НЕ менее 7 примеров из разных номеров основного задания.
Иррациональные уравнения и неравенства.
проверка знаний учащихся, обобщение знаний учащихся по данной теме
. демонстрация различных методов решения иррациональных уравнений
. учить подходить к решению уравнений и неравенств с исследовательских позиций.
.активизация работы учащихся на уроке за счет работы в паре (группе), воспитания интереса к предмету, воспитание ответственности к своему образованию , как закладке фундамента знаний для успешной сдачи выпускного экзамена.
.развитие логического мышления ,навыков самообразования, самоорганизации, работы в парах при решении примеров, умение анализировать, сравнивать, обобщать, делать выводы, делать самопроверку.
: компьютер, проектор, дидактический материал, состоящий из 42 иррациональных уравнений, разбитых по способам решения на 12 разделов, образцы решений 11 иррациональных уравнений по одному из 11 разделов.
: Урок общения и систематизации предметных знаний, умений, навыков.
(Сообщение темы урока)
II. Анализ методов решения домашнего задания.
(Перед началом занятия учащиеся из групп записали на доске решение №№ 152-155, 165-170,174. Другие учащиеся анализируют способы решения, дополняют, если необходимо, делают выводы. Работа учащихся оценивается. Обходом проверяется наличие этих номеров в домашних тетрадях.
В конце урока каждому ученику раздаются разобранные образцы решения иррациональных уравнений ,разбитых по способам решения.
решить оставшиеся иррациональные уравнения,
Без возведения в квадрат.
1 . ( 9-
= 0 2. ( х-1 )
II. Возвести в квадрат.
= 1 2.
III. Корень под корнем.
= 1 2.
= x 4.
IV. Дробно-иррациональные уравнения.
V. Умножение на сопряженное.
= -2 2.
+x = 2 +
VI. По формулам сокращенного умножения.
= x-8 2.
= 2 4.
= 12 2. 2
= 16 4.
= 2 6.
= 2 8.
+ 3x – 18 + 4
= 0 10.
– 4x – 6 =
= 3 12.
VIII. Уравнения с кубическими корнями.
= 1 2.
= 1 4.
IX. Двойная подстановка.
= 1 2.
X. Деление на один из корней.
XI . Переход к модулям.
= 2 2.
= x – 1
XII. Примеры на сообразительность.
= 8 4. 3
= 2x 6.
= 4 – 2x –
Образцы решения иррациональных уравнений по способам решения.
Без возведения в квадрат.
1 . ( 9-
0 х
2 х
= 3 – посторонний коре ,
= -3 ,
1. х = -3 0 = 0
2. х = 2 0 = 0 Ответ: -3; 2.
II. Возвести в квадрат.
Корни лучше разнести в разные части уравнения.
Возведем обе части уравнения в квадрат. 3х+1 = х-1 +4
Изолируем ( уединим ) корень. 2х-2= 4
Сократим на 2. х-1 = 2
Возведем обе части уравнения в квадрат.
– 2х+1 = 4х-4 ;
– 6х + 5 = 0
Получаем корни уравнения
1. х = 1
= 2 2 = 2
= 2 2 = 2 Ответ: 1; 5.
III. Корень под корнем.
– 1 =
; Решаем без нахождения О. Д. З.
Возведем обе части уравнения в квадрат. Х+1 – 2
+ 1 = х –
+ 2 = 2
Возведем обе части уравнения в квадрат. х+8 + 4
+ 4 = 4х + 4
Упростим. 4
Возведем обе части уравнения в квадрат. 16х + 128 = 9
– 48х – 64 = 0
Упростим. 9
– 64х – 64 = 0
2. х = –
– это невозможное равенство, под корнем отрицательное число.
IV. Дробно-иррациональные уравнения.
; Приведем к общему знаменателю.
= 10 – х ; Уединим корень.
; Возведем в квадрат.
; Приведем к стандартному виду.
– 19х +15 = 0
1. х =
2. х = 1 3 = 3
Ответ: 1 ;
V. Умножение на сопряженное.
Памятка. Выражения вида:
Умножим числитель и знаменатель каждой дроби на выражение сопряженное знаменателю.
Приведем к общему знаменателю. 2
Возведем обе части уравнения в квадрат. 4
– 4х = 3
– 4х = 0 х(х-4) = 0
1. при подстановке х = 0 знаменатель обращается в ноль, а на нуль делить нельзя.
2. х = 4
; Умножим числитель и знаменатель каждой дроби на выражение сопряженное знаменателю.
VI. По формулам сокращенного умножения
Внесем в числителе дроби двучлен под корень.
Разложим по формуле « сумма кубов» и сократим. 5-х –
+х – 3 = 2
1. х = 5