СОСТАВНЫЕ ЗАДАЧИ НА ДЕЛЕНИЕ СУММЫ НА ЧИСЛО
1) В волейбол играли 14 девочек и 6 мальчиков. Они разделились на 2 команды. По сколько человек в каждой команде?
2) У одной закройщицы было 15 м ткани, у другой 25 м. Из всей этой ткани они скроили платья, расходуя на каждое по 2 м. Сколько платьев они скроили?
3) Ученики 3-го класса “А” сделали 22 игрушки, а ученики 3-го класса “Б” 50 игрушек. Все эти игрушки отнесли в детский сад и раздали детям. Каждая группа получила по 8 игрушек. Сколько групп было в детском саду?
4) С одной грядки сняли 18 кг моркови, а с другой 54 кг. Всю морковь разложили в корзины по 8 кг каждую. Сколько потребовалось корзин?
5) Дети собрали для питомника 25 кг каштанов и 29 кг желудей. Всё это они упаковали в пакеты по 9 кг в каждый. Сколько потребовалось пакетов?
6) С одной пасеки собрали 36 кг мёда, а с другой 27 кг. Весь мёд разлили в бидоны по 7 кг в каждый. Сколько понадобилось бидонов?
7) У продавщицы было 28 красных гвоздик и 14 белых. Она сделала из них букеты по 7 цветков в каждом. Сколько получилось букетов?
8) С одной грядки собрали 16 кочанов капусты, а с другой 24 кочана. Всю капусту раздали кроликам по 5 кочанов каждому. Сколько кроликов получили капусту?
9) Во дворе играли 5 девочек и 16 мальчиков. Они разделились на команды по 7 человек в каждой. Сколько получилось команд?
10) С одной груши собрали 32 кг, а с другой 36 кг. Все груши разложили в ящики по 34 кг в каждый. Сколько ящиков потребовалось?
11) В бидоне было 16 л молока, а в ведре 14 л. Всё молоко разлили по банкам по 3 литра в каждую. Сколько потребовалось банок?
12) Портниха пришила к одежде 16 больших и 29 маленьких пуговиц. На каждую вещь она пришивала по 5 пуговиц. К скольким вещам она пришила пуговицы?
13) Почтальон разнёс 35 газет и 28 журналов. В каждый ящик он клал по 3 предмета. В скольких ящиках была корреспонденция?
14) В театральной кассе продали 60 билетов на детские спектакли и 30 билетов на взрослые. Билеты купили поровну 3 завода. По сколько билетов получил каждый завод?
В этом разделе познакомимся с делением и узнаем, что деление – это математическая операция, обратная умножению.
Умножение – это последовательное сложение чисел, а деление – это последовательное вычитание чисел.
В математике существует знак для умножения – это точка ( • ) посередине строки между числами, которые нужно перемножить, а для деления существует особый знак – это две точки ( : ) между числами, которые нужно поделить между собой.
Как ёжикам поделить между собой яблоки поровну?
Нужно воспользоваться действием деления и узнать, сколько раз по 3 содержится в 6.
1) 6 : 3 = 2 (яб.) – мы узнали, сколько яблок получит каждый ёжик.
2) 6 : 2 = 3 (ёж.) – мы узнали, сколько ёжиков получат по 2 яблока.
3) 2 • 3 = 6 (яб.) – мы узнали, сколько яблок нужно, чтобы у каждого из трёх ёжиков было по 2 яблока.
Любой пример на умножение можно представить двумя примерами на деление.
Например, для выражения 6 • 4 = 24 есть два обратных выражения:
24 : 4 = 6 – нужно из 24 вычесть число 4 ровно 6 раз.
24 : 6 = 4 – нужно из 24 вычесть число 6 ровно 4 раз.
Числа при делении
При делении, как и при другом математическом действии, каждое число имеет свое название.
Число, которое делят, называется делимое.
Число, на которое делят, называется делитель.
Результат деления называется частное.
Чтение числовых выражений
Этот пример можно прочитать по-разному.
Деление на 1
4 : 1 = 4
23 : 1 = 23
Деление на 0
Деление числа само на себя
Связь деления и умножения
Чётные и нечётные числа
Числа, которые делятся на 2 без остатка, называются чётными, а числа, которые не делятся на 2 без остатка, называются нечётными.
Чётные: 6, 22 44, 60, 74, 82, 96
Нечётные: 7, 13, 21, 37, 45, 97
В несколько раз меньше
В магазине было 8 котят, а лисичек в 4 раза меньше. Сколько было лисичек?
Значит, чтобы узнать, сколько было лисичек, нужно 8 : 4 = 2 (л.)
Например, решим задачу: В магазине было 8 котят и 2 лисички. Во сколько раз котят было больше, чем лисичек? Во сколько раз лисичек было меньше, чем котят?
Чтобы ответить на эти вопросы, нужно узнать, сколько раз по 2 содержится в 8?
8 : 2 = 4 (раза)
Значит, котят в 4 раза больше, чем лисичек, а лисичек в 4 раза меньше, чем котят.
Деление с остатком
Деление на однозначное число
Деление чисел, оканчивающихся нулями
Правило встречается в следующих упражнениях
Страница 66,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2
Страница 103,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2
Страница 59,
Моро, Волкова, Рабочая тетрадь, часть 2
Страница 71,
Моро, Волкова, Рабочая тетрадь, часть 2
Страница 73. Урок 29,
Петерсон, Учебник, часть 2
Страница 75. Урок 30,
Петерсон, Учебник, часть 2
Страница 54. Урок 19,
Петерсон, Учебник, часть 3
Страница 65. Урок 23,
Петерсон, Учебник, часть 3
Страница 100. Повторение,
Петерсон, Учебник, часть 3
Страница 102. Повторение,
Петерсон, Учебник, часть 3
Страница 83,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1
Страница 110,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1
Страница 78,
Моро, Волкова, Рабочая тетрадь, часть 1
Страница 34. П Р 3. Вариант 1,
Моро, Волкова, Проверочные работы
Страница 55. Тест 2. Вариант 2,
Моро, Волкова, Проверочные работы
Страница 60. Тест 2. Вариант 1,
Моро, Волкова, Проверочные работы
Страница 51,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2
Страница 59,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2
Страница 12,
Моро, Волкова, Рабочая тетрадь, часть 2
Страница 26,
Моро, Волкова, Рабочая тетрадь, часть 2
Страница 5,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1
Страница 72,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1
Страница 15. Тест 2. Вариант 2,
Моро, Волкова, Проверочные работы
Страница 51. Тест 1. Вариант 2,
Моро, Волкова, Проверочные работы
Страница 26,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2
Страница 58,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2
Страница 92,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2
Страница 93,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2
Страница 90. Урок 30,
Петерсон, Учебник, часть 1
Задание 441,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Задание 673,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Задание 818,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Номер 36,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 520,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 656,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 657,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 673,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 1050,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 1,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Задание 1211,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Задание 1222,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Задание 1262,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Задание 1266,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Задание 1473,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Деление суммы на число
Чтобы разделить сумму на число, можно вычислить сумму и разделить её на число или разделить на число каждое слагаемое и полученные результаты сложить.
Случай 1
(15 + 25)
Нахожу сумму чисел 15 и 25, получаю 40. Теперь 40 делю на 5 и получаю 8.
(15 + 25) : 5 = 40 : 5 = 8
Каждое из слагаемых делю на 5 и результат складываю. Сначала делю первое слагаемое 15 на 5, получу 3, потом на 5 разделю второе слагаемое 25, получу 5, теперь полученные результаты 3 и 5 сложу и получу 8. Запишу так:
(15 + 25) : 5 = 15 : 5 + 25 : 5 = 3 + 5 = 8
Значит, (15 + 25) : 5 = 8
Случай 2
Число 36 представлю в виде суммы слагаемых, которые легко делятся на 2, например, 20 и 16. Эту сумму надо разделить на 2.
36 : 2 = (20 + 16) : 2 = ?
Сначала делю первое слагаемое 20 на 2, получу 10, потом на 2 разделю второе слагаемое 16, получу 8, теперь полученные результаты 10 и 8 сложу и получу 18.
36 : 2 = (20 + 16) : 2 = 20 : 2 + 16 : 2 = 10 + 8 = 18
Значит, 36 : 2 = 18
Страница 14,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2
Страница 19,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2
Страница 21,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2
Страница 24,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2
Страница 31,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2
Страница 38,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2
Страница 39,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2
Страница 20,
Моро, Волкова, Рабочая тетрадь, часть 2
Страница 30,
Моро, Волкова, Рабочая тетрадь, часть 2
Рассмотрим произведение чисел
Один из множителей в этом произведении делится на
, т. е. (24 : 3).
Можно убедиться, что и всё произведение делится на
, т. е. (1752 : 3 = 584).
множитель
делится на
.
Также можно сделать вывод, что всё произведение делится на
, т. е. (1450 : 5 = 290).
Итак, признак делимости произведения:
если хотя бы один из множителей делится на некоторое число, то и произведение делится на это число.
Значит, если (a) делится на некоторое число (с), то и (ab) также делится на это число (с).
рассмотрим сумму чисел
и
, т. е. ((12 + 21)).
В этой сумме каждое из слагаемых делится на
. Проверяя делимость суммы на
, получим, что сумма
тоже делится на
.
Итак, признаки делимости суммы и разности чисел.
Если каждое слагаемое делится на некоторое число, то и вся сумма делится на это число, т. е.,
если (a) делится на (b) и (c) делится на (b), то ((a + c)) делится на (b).
Если одно слагаемое делится на некоторое число, а другое слагаемое не делится на это число, то и вся сумма не делится на это число, т. е.,
если (a) делится на (b), а (c) не делится на (b), то ((a + c)) не делится на (b).
делится на
, а
не делится на
, следовательно, ((12 + 22)) не делится на
.
Если одно слагаемое делится на некоторое число и сумма делится на это же число, то другое слагаемое тоже делится на это число, т. е.,
если (a) делится на (b) и ((a + c)) делится на (b), то (c) делится на (b).
делится на
, и ((12 + 21)) делится на
, следовательно,
делится на
.
Если одно число делится на некоторое другое число, которое делится на третье число, то первое число делится на третье число, т. е.,
если (a) делится на (c) и (c) делится на (b), то (a) делится на (b).
делится на
, и
делится на
, следовательно,
делится на
.
Если и уменьшаемое, и вычитаемое делятся на некоторое число, то и разность делится на это число.
разность ((35-20)) делится на
, т. к.
делится на
и
делится на
.
Вы уже знакомы с общими понятиями о делении и о том как делить в столбик, рассмотрим более подробно деление натуральных чисел и его свойства.
У Вани 7 кроликов, он собрал для них 28 яблок. Сколько яблок досталось каждому кролику?
Пусть x яблок досталось каждому кролику, тогда мы можем сказать, что общее количество яблок равно:
. Чтобы решить данное уравнение, мы должны найти число, которое при умножении на 7 даст результат 28, мы знаем, что такое число только одно – это 4:
– верно. Следовательно, если известно произведение и один из множителей, можно найти второй множитель.
Действие, с помощью которого по произведению и одному из множителей находят другой множитель, называют делением.
Данное действие записывают так:
Делимое – это то число, которое делят. Делитель – это то число, на которое делят. Частное – это результат деления.
Частное показывает во сколько раз делимое больше делителя, то есть в нашем примере: 28 больше 7 в 4 раза. Поэтому, если в задаче звучит вопрос “во сколько?”, для её решения мы используем деление. При этом не всегда возможно одно число поделить на другое, тогда возникает необходимость деления с остатком.
Из вышесказанного мы можем сделать вывод:
1. Чтобы найти , надо разделить на другой .
2. Чтобы найти , надо умножить на .
, по смыслу деления
– это произведение 4 и 9, следовательно,
3. Чтобы найти , надо разделить на .
, по смыслу деления число 28 – это произведение множителей
и 7, то есть мы можем записать:
, теперь, применяя пункт 1, получаем:
Свойства деления
1. Деление суммы на число:
2. Деление разности на число:
3. Деление произведения на число:
4. Деление числа на произведение:
Действия с единицей и нулем
1. Деление числа на единицу:
2. Деление числа на себя:
3. Деление нуля на число:
, то есть при делениинуля на любое число, не равное нулю, получаемноль.
НА НОЛЬ ДЕЛИТЬ НЕЛЬЗЯ!
У Вани и Маши 3 кролика. Маша нашла 9 яблок, а Ваня – 15. Сколько яблок досталось каждому кролику?
а) Мы можем сложить яблоки, которые нашли Маша и Ваня, а потом разделить полученное число на количество кроликов, то есть:
1) 9 + 15 = 24 (я) – собрали Маша и Ваня вместе.
2) 24 : 3 = 8 (я) – досталось каждому кролику.
б) Мы можем разделить яблоки, которые собрала Маша, затем разделить яблоки, которые собрал Ваня, а результат сложить:
1) 9 : 3 = 3 (я) – принесла Маша каждому кролику.
2) 15 : 3 = 5 (я) – принес Ваня каждому кролику.
3) 3 + 5 = 8 (я) – досталось каждому кролику.
Мы видим, что в обоих случаях получается один и тот же результат, и можно записать, что: (9+15):3=9:3+15:3.
Вывод: Чтобы разделить сумму на какое-нибудь число, можно разделить на это число каждое слагаемое отдельно (если это возможно) и полученные частные сложить.
Всего трем братьям папа дал 150 рублей. На 72 рубля они купили сестре цветы на день рождения. Сколько рублей осталось у каждого брата?
а) Мы можем из общей суммы вычесть то, что братья потратили, а затем поделить сдачу:
1) 150 – 72 = 78 (руб.) – осталось после покупки цветов.
2) 78 : 3 = 26 (руб.) – осталось у каждого брата.
б) Мы можем найти, сколько получил каждый брат, затем посчитать, сколько потрачено каждым из них, а затем вычесть из полученной суммы денег потраченную:
1) 150 : 3 = 50 (руб.) – получил каждый брат.
2) 72 : 3 = 24 (руб.) – потратил каждый брат.
3) 50 – 24 = 26 (руб.) – осталось у каждого брата.
Мы видим, что в обоих случаях получается один и тот же результат, и можно записать, что: (150 – 72) : 3 = 150 : 3 – 72 : 3.
Вывод: Чтобы разделить разность на какое-нибудь число, можно разделить на это число уменьшаемое и вычитаемое отдельно (если это возможно) и из первого частного вычесть второе.
В зооуголке в саду 3 кролика. 12 детей принесли по 6 яблок для кормления питомцев. Сколько яблок досталось каждому кролику?
а) Сначала можем найти общее количество яблок, которые принесли дети, а затем поделить на число кроликов:
1) 12 · 6 = 72 (я) – принесли всего дети.
2) 72 : 3 = 24 (я) – досталось каждому кролику.
б) Мы можем найти сколько детей принесли яблоки одному кролику, а затем умножить на количество принесенных яблок:
1) 12 : 3 = 4 (чел.) – принесли яблоки 1 кролику.
2) 4 · 6 =24 (я) – досталось каждому кролику.
б) Мы можем найти по сколько яблок принес 1 ребенок для 1 кролика, а затем умножить на количество детей:
1) 6 : 3 = 2 (я) – принес каждый ребенок для одного кролика.
2) 2 · 12 = 24 (я) – досталось каждому кролику.
Мы видим, что в всех случаях получается один и тот же результат, и можно записать, что: (12 · 6) : 3 = (12 : 3) · 6 = (6 : 3) ·12.
Вывод: Чтобы разделить произведение двух множителей на число, можно разделить на это число любой из множителей (если деление выполнимо) и частное умножить на второй множитель.
В 4 клетках сидят по 3 кролика. Ваня принес 48 яблок. Сколько яблок досталось каждому кролику?
а) Мы можем найти сколько кроликов всего, а потом поделить яблоки на полученное число:
1) 4 · 3 = 12 (к) – всего в клетках.
2) 48 : 12 = 4 (я) – досталось каждому кролику.
б) Мы можем найти сколько яблок положат в каждую клетку, а затем, сколько получит яблок каждый кролик:
1) 48 : 4 = 12 (я) – положат в каждую клетку.
2) 12 : 3 = 4 (я) – досталось каждому кролику.
Если мы рассадим наших кроликов по 4 в три клетки, решая задачу аналогично получим:
а) 1) 4 · 3 = 12 (к) – всего в клетках.
б) 1) 48 : 3 = 16 (я) – положат в каждую клетку.
2) 16 : 4 = 4 (я) – досталось каждому кролику.
Мы видим, что в всех случаях получается один и тот же результат, и можно записать, что: 48 : (4 · 3) = (48 : 4) : 3 = (48 : 3) : 4
Вывод: Чтобы разделить число на произведение двух множителей, можно разделить это число сначала на один из множителей, а затем на второй.
У Вани один кролик. Он принёс 3 яблока. Сколько яблок достанется кролику?
Будем рассуждать, у Вани всего один кролик, значит все яблоки достанутся ему:
3 : 1 = 3 (я) – достанется кролику, следовательно, мы можем сделать вывод: При делении числа на единицу получается само число:
Из свойств умножения мы знаем, что:
, а мы знаем, что по смыслу деления можно записать, что:
, то есть при делениичисла, не равного нулю, на само себяполучаетсяединица.
Рассуждая аналогично пункту 2 получаем:
, то есть при делении ноля на любое число, не равное нулю, получаем ноль.
Обратите внимание, что НА НОЛЬ ДЕЛИТЬ НЕЛЬЗЯ!
Это легко объяснить следующими рассуждениями: пусть мы взяли
карандашей, попробуем разложить их в 0 коробок, и предположим, что получилось по
карандашей в каждой коробке:
, из смысла деления
, в то же время мы знаем из свойств умножения, что:
, то есть получаем, что
, а это противоречит условию задачи, следовательно делаем вывод, что на ноль делить нельзя.
Понятие о натуральном числе
Сложение натуральных чисел
Вычитание натуральных чисел
Умножение натуральных чисел
Порядок выполнения действий
Степень числа. Квадрат и куб числа
Меньше или больше
Меньше или больше на сколько? во сколько раз?
Натуральные числа и действия над ними
Задание 546,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Задание 627,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Задание 650,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Задание 891,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник, часть 2
Задание 934,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник, часть 2
Номер 510,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 584,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 1083,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 3,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 5,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 192,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 1187,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 1200,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 1201,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 2,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Задание 507,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Задание 779,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Задание 858,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Задание 915,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Задание 638,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник, часть 1
Номер 6,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 7,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 12,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 63,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 328,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 820,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 849,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 1069,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 1070,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Задание 25,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Номер 265,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник