Это уравнение вида ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0,
где – коэффициент перед ,
– свободное число.
Существуют разные способы нахождения корней квадратного уравнения. Пожалуй, самый основной и распространенный способ – через вычисление дискриминанта. В этом случае он рассчитывается по формуле:
D=b2–4acD = b^2 – 4ac
Если второй коэффициент уравнения четный, можно решать уравнение через , тогда будет другая формула дискриминанта:
D1=k2–acD_1 = k^2 – ac
Если первый коэффициент уравнения равен 1, то можно воспользоваться теоремой Виета, которая имеет 2 условия:
x1+x2=−bx_1 + x_2 = -b
x1⋅x2=cx_1 cdot x_2 = c
Но если мы захотим решить уравнение основным способом, ошибки не будет. Нахождение корней уравнения через дискриминант – универсальный способ, а остальные введены для удобства вычислений.
Основные понятия
Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Значение неизвестных нужно найти так, чтобы при их подстановке в пример получилось верное числовое равенство.
Степень уравнения можно определить по наибольшей степени, в которой стоит неизвестное. Если неизвестное стоит во второй степени — это квадратное уравнение.
Квадратное уравнение — это уравнение вида ax² + bx + c = 0, где a — первый или старший коэффициент, не равный нулю, b — второй коэффициент, c — свободный член.
Чтобы определить, сколько корней имеет уравнение, нужно обратить внимание на дискриминант. Чтобы его найти, берем формулу: D = b² − 4ac. А вот свойства дискриминанта:
Неполное квадратное уравнение — это уравнение вида ax² + bx + c = 0, где хотя бы один из коэффициентов b или c равен нулю.
Неполные квадратные уравнения бывают трех видов:
Если b = 0, то квадратное уравнение принимает вид ax² + 0x+c=0 и оно равносильно ax² + c = 0. Если c = 0, то квадратное уравнение выглядит так ax² + bx + 0 = 0, иначе его можно написать как ax² + bx = 0. Если b = 0 и c = 0, то квадратное уравнение выглядит так ax² = 0. Такие уравнения отличаются от полного квадратного тем, что их левые части не содержат слагаемого с неизвестной переменной, либо свободного члена, либо и того и другого. Отсюда и их название — неполные квадратные уравнения. Узнай, какие профессии будущего тебе подойдут 10 минут — и ты разберёшься, как стать тем, кем захочешь
МБОУ СОШ № 114 с углубленным изучением математики г. Барнаул Чуркина М. В. у читель математики Применение свойств коэффициентов квадратного уравнения при решении уравнений в заданиях ЕГЭ
Свойства коэффициентов квадратного уравнения Пусть ах² + bх + с = 0, где а ≠ 0 – квадратное уравнение Если а + b + с = 0, то х 1 = 1, х 2 = Если а – b + с =0 ( а + с = b), то х 1 = – 1, х 2 =
1 ) х² – 3х + 2 = 0 Если a + b + c = 1 +(- 3) + 2 = 0, то х 1 = 1, х 2 = 2 2) х² + 3х +2 = 0 Если a – b + c = 1 – 3+ 2 = 0, то х 1 = -1, х 2 = – 2 3 ) 76х² + 69х – 7= 0 Если a – b + c =76 – 69 – 7= 0, то х 1 =-1 , х 2 =-(- ) = 4 ) х² – 2015х + 2014 = 0 Если a + b + c =1 – 2015 + 2014=0 , то х 1 =1,х 2 =2014
5) Решите биквадратное уравнение a – b + c = 4 – 5 + 1 = 0, тогда = – 1, = – Ответ: корней нет 83(х+3)² – 97(х+3) + 14 = 0 a + b + c = 83 – 97 + 14 = 0 , тогда х + 3 = 1 х + 3= х 1 = – 2 х 2 = – 2
Трансцендентное уравнение — уравнение, не являющееся алгебраическим. Трансцендентное уравнение –это уравнение, содержащее показательные, логарифмические, тригонометрические, обратные тригонометрические функции. с os 3 x + 1,2 cos2x = 0 log² 5 x + 3 log 5 x + 7 = 0 cos2x – 8
7) cos²2x + 3cos2x + 2 = 0, тогда a – b + c = 1 – 3+ 2 = 0, cos2x = – 1 cos2x = -2. 2х = π + 2π k , kϵZ решений нет х = + π k , kϵZ 8) log² 5 x + 3 log 5 x + 2 = 0, тогда a – b + c = 1 – 3+ 2 = 0, тогда log 5 x = – 1 log 5 x = – 2 х = х =
Дано соотношение: Выразите a через b
Домашнее задание: Решите уравнения, используя свойства коэффициентов квадратного уравнения 1 ) х² + 18х – 19 = 0 2) х² – 18х – 19 = 0 3) 341 + 290х – 51 = 0 4) 4 – х + = 2 5) 2 arcsin²x – 7arcsinx + 5 = 0 Успехов!
Сформировать умения и навыки метода устного
решения квадратных уравнений.
– Формирование мировоззрения:
Показать учащимся, что математические понятия
не изолированы друг от друга, а представляют
определенную систему знаний, все звенья которой
находятся во взаимной связи.
– Формирование общественных навыков:
– Формирование качеств личности.
На доске записано: ах2 + bх + с, где а
– Что написано на доске? (Квадратный трехчлен)
– А теперь что написано на доске? ах2 + bх + с =
0, где а
1. Найдите корни квадратного трехчлена: 5х2
+ 8х + 3;
(Ответ:
2. Решите квадратное уравнение: х2 + 6х + 8 = 0;
(Ответ: -4 и -2)
3. Разложите на линейные множители квадратный
трехчлен: 3х2 – 10х + 8;
(Ответ: 3(х – 2)(х –
Свойства коэффициентов квадратного
уравнения.
Пусть ах2 + bх + с = 0, где а
Пример 1. Решить уравнение: 341х2
+ 290х – 51 = 0
Решение. Имеем: а = 341, b = 290, с = -51.
341 + (-51) = 290, т.е. а + с = b. Следовательно, х1 =
-1, х2 =
Пример 2. Решить уравнение: 67х2
– 75х + 8 = 0.
Решение. Замечаем, что 67 + 8 = 75, следовательно,
х1 =
= 1,
х2 =
Пример 3. Решить уравнение: 19х2 +
15х – 34 = 0.
Решение. Так как 19 + 15 – 34 = 0, то искомые
числители дробей равны 19 и -34, тогда, х1 =
= 1, х2 = –
Задания для закрепления.
Квадратное уравнение с коэффициентом 1
при х2( т.е.а = 1) называют приведенным
квадратным уравнением.
– Посмотрите на таблицу. Все ли уравнения ,
записанные в ней, являются приведенными
квадратными уравнениями?
(Далее решаем уравнения из таблицы и все
последовательно заполняем)
Сообщаю, что домашнее задание –
закончить заполнение таблицы.
Подведение итогов обучения.
Основные понятия по теме
Здесь x играет роль неизвестного, a и b являются коэффициентами, c определяется как свободный член.
В процессе решения заданий важно научиться нахождению отличий между квадратными и неквадратными уравнениями. Рассмотрим несколько примеров.
Если исключить знаменатель и выполнить умножение каждого из членов на 4x, получим в результате:
Следует перенести члены влево, таким образом, чтобы степени x убывали:
Заметим, что данное уравнение имеет вид квадратного уравнения.
Если умножить обе части уравнения на 8x, получим:
Заключаем, что это уравнение нельзя назвать квадратным.
Разберем еще один пример:
Умножим все части уравнения на
Заметим, что в уравнении присутствуют степени 2 и 4. С другой стороны, при замене
На первый взгляд, в уравнении присутствует
Уравнение примет окончательный вид: -5x + 3 = 0.
Заметим, что члены
Полным квадратным уравнением является такое уравнение, которое имеет коэффициенты a, b и c отличные от нуля.
Алгоритм решения через дискриминант
Решение квадратных уравнений с помощью дискриминанта не вызывает проблем, если следовать стандартному алгоритму и запомнить несколько формул. Порядок действий следующий:
Возможно несколько вариантов решения:
Представим объяснение того, какова причина наличия у уравнения разного количества корней. Для этого рассмотрим квадратное уравнение с точки зрения геометрии.
Заметим, что графиком функции
Рассмотрим частный случай в виде квадратного уравнения f(x) = 0. Корни этого уравнения являются точками пересечения с осью абсцисс. Существует три схемы расположения параболы:
Решим уравнение рассмотренным способом для тренировки:
Заметим, что данное уравнение записано в стандартном виде, поэтому первый шаг алгоритма можно пропустить. Определим дискриминант:
Запишем в ответ два корня.
Ответ: -2; 0,75
Алгоритм решения через теорему Виета
Поэтапный алгоритм действий при решении квадратных уравнений по теореме Виета:
Для повторения материала рассмотрим порядок действий при решении уравнения с применением теоремы Виета:
Заметим, что а = 1. Это позволяет решать уравнение с помощью теоремы Виета. Корни уравнения в сумме равны –p. Запишем первое выражение:
Произведение корней равно q:
Можно записать систему и найти ее корни:
Выполним подбор таких пар чисел, которые при умножении дают число 12, а в сумме составляют 7:
12 + 1 = 1
2 + 6 = 8
3 + 4 = 7
3 и 4 являются решением системы:
В результате получили решения уравнения: 3 и 4. Можно записать ответ.
Ответ: 3; 4.
Примеры решения задач
Корень уравнения также называют корнем данного многочлена
Квадратное уравнение состоит из следующих элементов:
Квадратное уравнение называют неприведенным, если старший коэффициент отличен от 1.
Полное и неполное квадратное уравнение
Полное квадратное уравнение включает в свой состав коэффициенты, каждый из которых не равен нулю.
Неполным называют такое квадратное уравнение, в котором имеется как минимум один коэффициент, за исключением старшего, обладающим нулевым значением.
Связь между корнями и коэффициентами
Согласно общей формуле для определения корней квадратного уравнения, их значения зависят от коэффициентов. Найти корни можно с помощью справедливого равенства:
Перед тем, как ознакомиться с алгоритмом решения, важно ввести понятие дискриминант.
После умножения каждой части на 4a следует прибавить
В формуле присутствует модуль. Рассмотренный способ решения квадратных уравнений является универсальным вариантом. Существуют другие методы, область применения которых ограничена значением коэффициента.
Если b является четным числом, и
В том случае, когда квадратное уравнение неполное, целесообразно использовать следующие формулы для его решения, исходя из значения коэффициентов:
График квадратного уравнения
Квадратичную функцию принято изображать на графике в виде параболы. Роль решений, или корней, для квадратного уравнения играют абсциссы точек, в которых параболы пересекают ось абсцисс. Возможно несколько вариантов решений:
В том случае, когда коэффициент а является положительным числом, нужно строить параболу с ветвями, которые направлены вверх.
Если же коэффициент а является отрицательным числом, то ветви параболы направлены вниз.
При положительном коэффициенте b (при положительном a, при отрицательном наоборот), вершина параболы совпадает с левой полуплоскостью и наоборот.
Как решать систему уравнений с квадратами
Существуют системы уравнений, решение которых удобно свести к поиску корней для квадратных уравнений. На примере можно рассмотреть алгоритм действий с системой, состоящей из квадратных уравнений.
В качестве еще одного примера решим систему двух уравнений с двумя неизвестными, где одно уравнение первой степени, а второе — второй степени.
В процессе решения системы из линейного уравнения необходимо выразить какую-то переменную. После подстановки полученного значения в другое уравнение получится квадратное уравнение. Затем действия выполняют по стандартному алгоритму.
Рассмотрим другой вариант системы уравнений, который часто встречается в решении задач по математике в классах средней школы. Система состоит из двух уравнений второй степени. Суть решения в этом случае заключается в приведении его к поиску корней квадратного уравнения.
Проблема: Решение квадратных уравнений нерациональным способом. Изучив данную тему в 8 классе, учащиеся в старших классах забывают и порой не видят неполные квадратные уравнения и решают их как полные квадратные уравнения, а на это тратится гораздо больше времени. А это потеря времени существенна при сдаче экзамена по математике в форме ЕНТ.
Цель: Изучить различные способы решения квадратных уравнений и отобрать среди них самые оптимальные и быстрые способы решения квадратных уравнений.
Объект исследования: квадратные уравнения.
Еще в Древнем Вавилоне около 2000 лет до н. э. умели решать квадратные уравнения. Необходимость решать их возникла, когда нужно было решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков. Правила решения вавилонян по существу совпадают с современными, только их решения даны в виде рецептов, без указания способов их нахождения.
Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единому каноническому виду х2 + bx = c, при всевозможных комбинациях знаков коэффициентов b,c было сформулировано в Европе лишь в 1544 г. М.Штифелем.
Всем известная теорема Виета была сформулирована впервые в 1591 г., однако он не признавал отрицательных чисел и при решении уравнений рассматривал лишь случаи, когда все корни положительны. Однако символика Виета была далека от современного вида. Лишь в XVII в. благодаря трудам Жирара, Декарта, Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.
Определение. Квадратным называется уравнение вида: ax2 +bx + c = 0, a 0, в котором х – переменная, а,b,с – любые числа.
Числа а и b называются первым и вторым коэффициентами, а число с – свободным членом квадратного уравнения.
В школьном курсе математики изучаются следующие способы решения квадратных уравнений:
1. Решение с помощью формул корней квадратного уравнения.
2. Если второй коэффициент b = 2k – четное число, то формулу корней можно записать в виде:
3. Решение с помощью теоремы Виета, с ее помощью решаются квадратные уравнения с целыми корнями (а = 1), эти корни без труда находятся подбором.
В настоящее время можно привести еще несколько способов решения квадратных уравнений:
4. Способ разложения левой части на множители.
Например: Решим уравнение:
Левую часть уравнения разложим на множители:
Таким образом уравнение запишется так:
. Произведение двух множителей равно нулю тогда только тогда, когда один из множителей равен нулю, т. е.
, отсюда x= -10 , или x = 2.
5. Способ выделения полного квадрата
Например: Решить уравнение:
x1=1, или x+3=-4, x2=-7.
6. Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки.
Графический способ решения квадратных уравнений с помощью параболы неудобен. Если строить параболу по точкам, то требуется много времени, и при этом степень точности получаемых результатов невелика.
Предлагаю следующий способ нахождения корней квадратного уравнения
Допустим, что искомая окружность пересекает ось абсцисс в точках B(x1;0) и D(x2;0), где x1 и x2 – корни уравнения
, и проходит через точки A(0;1) и C(0;c/a) на оси ординат. Тогда по теореме о секущих имеем OB • OD= OA • OC, откуда OC= OB • OD/OA= x1x2/ 1= c/a
Центр окружности находится в точке пересечения перпендикуляров SF и SK, восстановленных в серединах хорд AC и BD
1) Построим точки (центр окружности) и A(0;1);
2) Проведем окружность с радиусом SА;
3) Абсцисс точек пересечения этой окружности с осью Ох являются корнями исходного квадратного уравнения.
7. Решение квадратных уравнений с помощью номограммы.
Этот старый и забытый способ решения квадратных уравнений.
Номограмма для решения уравнения z2+pz+q=0. Эта номограмма позволяет не решая квадратного уравнения, по его коэффициентам определить корни уравнения. Криволинейная шкала номограммы построена по формулам.
8. Геометрический способ решения квадратных уравнений.
В древности, когда геометрия была более развита, чем алгебра, квадратные уравнения решали не алгебраически, а геометрически. Приведу ставший знаменитым пример из «Алгебры» Аль-Хорезми.
Решим уравнение х2+6х-16=0
х2+6х=16, или х2+6х+9=16+9.
Выражения х2+6х+9 и 16+9 геометрически представляют собой один и тот же квадрат, а исходное уравнение х2+6х-16+9-9=0 – одно и то же уравнение. Откуда и получаем, что х+3=±5, или х1=2, х2=-8
9. Решение квадратных уравнений с помощью теоремы Виета становится уже практически неприменимым, если уравнение имеет дробные корни. Для преодоления озникшей трудности используется следующий прием: «перебросить» коэффициент а в свободный член (умножить свободный член на а). После этого найти корни нового уравнения и разделить их на а.
Приведем пример. Решить уравнение: 12х2 +13х +3 = 0; а= 12,
Таким образом: х2 + 13х + 3 · 12 = 0; Теперь свободный член равен 36, по теореме Виета сумма двух корней должна быть равна (-13). Эти числа (-4) и (-9). Тогда разделив их на 12, получим, что корни исходного уравнения:
10. Способ использования свойств коэффициентов.
Пусть дано квадратное уравнение ax2 +bx +c =0 .
а) Если а+ b+с = 0 (то есть сумма коэффициентов уравнения равна нулю), то
Например. Решить уравнение 345 х2 – 137х -208 =0. Т. к. 345-137-208=0, то
б) Если a – b+c=0 или b=a+c , то
Например. Решим уравнение: 11 х2 +27х +16 = 0, так как, 11+16 =27, то
При решении показательных, логарифмических, тригонометрических, иррациональтных, биквадратных и др. уравнений используются квадратные уравнения. Многие текстовые задачи решаются составлением квадратных уравнений. Подводя итоги, можно сделать вывод: квадратные уравнения играют огромную роль в развитии математики. Способов решения их очень немало. Приведенные же способы решения квадратных уравнений специального вида позволяют очень быстро и рационально решать многие уравнения. Умение быстро находить корни квадратного уравнения имеет большое значение при тестировании и сдаче экзаменов. Знание способов быстрого решения квадратных уравнений может пригодиться нам на притяжении всей жизни. Эти методы решения квадратных уравнений просты в применении и они, безусловно, должны заинтересовать увлекающихся математикой учеников.
- Глейзер Г. И. История математики в школе. – М.: Просвещение, 1982.
- Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика: Справочные материалы: Книга для учащихся, – М.: Просвещение, 1988.
Основные термины (генерируются автоматически): уравнение, квадратное уравнение, способ решения, свободный член, корень, решение, Древняя Индия, исходное уравнение, полный квадрат, современный вид.
Различные способы решения квадратных уравнений.
Прежде чем рассмотреть способы решения квадратных уравнений, вспомним
Квадратным уравнением называется уравнение вида
где х- переменная, а,b и с-некоторые числа, причем, а ≠ 0.
Если в квадратном уравнении ах + bx + c = 0 хотя бы один из коэффициентов b или с равен нулю, то такое уравнение называют неполным квадратным уравнением.
Расширение и углубление знаний в области решений квадратных уравнений.
этой темы заключается в том, что при сдаче ГИА и ЕГЭ квадратные уравнения необходимо решать не только на алгебре, геометрии, но и на физике. А так как время экзамена ограничено, значит надо уметь быстро найти рациональный способ решения. Работа способствует выработке навыка решения квадратных уравнений и умению быстро находить рациональный способ решения.
Из истории квадратных уравнений.
Развитие земледелия и астрономии ставили перед учеными древности задачи, для решения которых требовалось умение решать квадратные уравнения.
Решение некоторых квадратных уравнений известно было вавилонянам около 2000 лет до н.э. Затем решение уравнений стало под силу грекам, а за ними индейцам, которые графически научились решать некоторые виды квадратных уравнений. Но общих способов решения пока не вывели.
В III в. н.э. квадратное уравнение х – 20х + 96 = 0 решил древнегреческий математик Диофант без обращения к геометрии, но решение х= -2 для Диофанта не существовало, т.к. отрицательные числа древняя математика не знала.
Способы решений квадратных уравнений.
Умножим обе части уравнения
+ bх + с = 0, а ≠ 0,
на 4а и следовательно имеем:
+ 4аbх + 4ас = 0.
+ 2*2ах * b + b + 4ас = 0,
(2ах + b)
2ах + b = ± √ b
2ах = – b ± √ b
, х = ; х = =2 , х
Таким образом, в случае положительного дискриминанта,
т. е. при b2 – 4ас≥0 уравнение ах + bх + с = 0 имеет два различных корня.
-12x+9 = 0,
а =4, b= – 12, с = 9. D = b – 4ас=144-4*4*9=0, D = 0, один корень;
Итак, если дискриминант равен нулю, т. е. D = b – 4ас= 0, то уравнение ах + bх + с = 0 имеет единственный корень, х =
-3х + 2 = 0, а =2, b= -3, с = 2, D = b – 4ас= 9 – 4∙2∙2 =9 – 16 = – 7, D < 0.
Уравнение не имеет корней.
– 2х – 8 = 0. Разложим левую часть на множители:
– 2х – 8 = х – 4х +2х -8 = х(х -4 ) + 2(х -4) = (х + 2)(х -4).
(х + 2)(х -4)=0.
Так как произведение равно нулю, то, по крайней мере, один из его множителей равен нулю. Поэтому левая часть уравнения обращается нуль при х = -2, а также при х = 4.
Это означает, что число – 2 и 4 являются корнями уравнения х – 2х – 8 = 0.
Знаменитый французский учёный Франсуа Виет(1540-1603)
Сумма корней приведенного квадратного уравнения х+ рх + q = 0 равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену, т.е. х = – р,
Теорема, обратная теореме Виета. Если р, q, x таковы, что х + х2 = – р,
= q, то х– корни уравнения х+ рх + q = 0
Поясним этот метод на примере.
Решим уравнение х + 6х – 40 = 0
Выделим в левой части полный квадрат. Для этого запишем выражение
+ 6х в следующем виде: х + 6х = х + 2· х ·3.
В полученном выражении первое слагаемое – квадрат числа х, а второе – удвоенное произведение х на 3. поэтому чтобы получить полный квадрат, нужно прибавить 9, так как
+ 2· х ·3 + 9 = (х + 3)
Преобразуем теперь левую часть уравнения х + 6х – 40 = 0,
прибавляя к ней и вычитая 9. Имеем: х + 6х – 40 = х + 2х ·3 + 9 – 9 – 40 = (х + 3)
Таким образом, данное уравнение можно записать так: (х + 3) –49 = 0, т.е. (х + 3)
Следовательно, х + 3 = 7, х= 4, или х +3 = -7 , х
Рассмотрим квадратное уравнение ах + bх + с = 0, а ≠ 0.
Умножая обе его части на а, получаем уравнение а + а bх + ас = 0.
Пусть ах = у, откуда х =y/a; тогда приходим к уравнению у + by + ас = 0,
равносильного данному. Его корни у найдем с помощью теоремы Виета. Окончательно получаем х . При этом способе коэффициент а умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его и называют способом «переброски». Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант есть точный квадрат.
Решим уравнение 2х-9x+9 = 0.
Решение. « Перебросим» коэффициент 2 к свободному члену, в результате получим уравнение у – 9y +18 = 0.
Согласно теореме Виета
=6 x=6/2 x=3 x=3/2 x
+ bх + с = 0, а ≠ 0.
) Если, а+ b + с = 0 (т.е. сумма коэффициентов равна нулю), то х = 1, х
Решим уравнение 2013х –2014х + 1 = 0.
Решение. Так как а + b + с = 0 (2013 – 2014 + 1 = 0), то х = 1, х = c/a = 1/2013.
Ответ: 1; 1/2013.
2) Если a + c=b , то х
Решим уравнение 11x
Если в уравнении + px + q = 0 перенести второй и третий члены в правую часть, то получим = – px – q.
Построим графики зависимости у = х и у = – px – q.
График первой зависимости – парабола, проходящая через начало координат. График второй зависимости – прямая (рис.1). Возможны следующие случаи:
– прямая и парабола могут пересекаться в двух точках, абсциссы точек пересечения являются корнями квадратного уравнения;
– прямая и парабола могут касаться (одна общая точка), т.е. уравнение имеет одно решение;
– прямая и парабола не имеют общих точек, т.е. квадратное уравнение не имеет корней.
+ pz + q = 0
номограмма позволяет, не решая квадратного уравнения, по его коэффициентам определить корни уравнения.
+ 6у – 16 = 0.
Решение представлено на рис.8 , где
+ 6у = 16, или у+ 6у + 9 = 16 + 9.
Решение. Выражения у + 6у – 16 +9 – 9 = 0 – одно и то же уравнение. Откуда и получаем, что у + 3 = ± 5, или у = 2, у = – 8.
α =1, 1-4+3=0
Разделим р(х) на (х-1)
x-1=0 или х-3=0
х=1 х=3
Решение одного уравнения всеми способами.
«Человеку, изучающему алгебру, часто полезнее решить одну и ту же задачу различными способами, чем решать три-четыре различные задачи. Решая одну задачу различными способами, можно путем сравнения выяснить, какой из них короче и эффективнее. Так вырабатывается опыт». У. У. Сойер.
1)Решение квадратного уравнения по формуле:
a=1 b=8 c=-9
2)Разложение левой части на множители:
+8x-9=0 б)x
+9x-x-9=0 x
-x+9x-9=0 x
x(x-1)+9(x-1)=0 (x-1)(x+1)+8(x-1)=0
(x-1)(x+9)=0 (x-1)(x+1+8)=0
x-1=0 или x+9=0 x-1=0 или x+9=0
=1 x=-9 x=1 x
Ответ:-9;1 Ответ:-9;1
3)Решение по теореме Виета.
Методом подбора находим:
4)Метод выделения полного квадрата:
+8x-9=0 x+4=±√25
+2*x* 4 + 4-9=0 x+4=±5
+2 x 4+16-25=0 x+4=5 или x+4=-5
=25 x=1 x
5)Решение способом переброски коэффициентов.
Квадратное уравнение решается данным способом если a ≠1.
+8х-9=0 данным способом не решается.
6)Свойства коэффициентов квадратного уравнения:
а=1 b=8 c=-9
a+b+c=0, тогда х=1 х
7) Графическое решение:
Построим графики данных функций:
– парабола с центром в точки О(0:0)
у=-8х+9- линейная функция, графиков является прямая.
Ответ: -9; 1.
8)Решение уравнения с помощью циркуля и линейки.
Строим центр окружности:
O(-4;-4) – центр окружности
Проводим окружность с радиусом OA
Абсциссы точек пересечения окружности с осью OX
являются корнями квадратного уравнения.
9)Геометрический способ решения.
+8х-9=0 x 4
x+4=5 или х+4=-5
=1 х
10)Решение с помощью номограммы.
по т. Виета x
Значит, уравнение имеет корни разных знаков. Найдём сначала положительный корень.
p=8 g=-9
=1 x
11)Решение по теореме Безу.
Делители -9: ±1; ±3; ±9.
Найдём подбором x который является корнем x
x=1 – является корнем.
Произведём деление трёхчлена.
+8x-9 x-1x-x x+9 9x-9 9x-9
x=1 x=-9
- Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика: Справочные материалы: Книга для учащихся. – М.: Просвещение, 1988
- Глейзер Г. И. История математики в школе. – М.: просвещение, 1982
- Брадис В. М. Четырехзначные математические таблицы для среденй школы. – м., просвещение, 1990
Дидактический материал к работе
1. Решите квадратное уравнение, разлагая его левую часть на множители:
– х = 0; е) х – 4х + 4 = 0;
+ 2х = 0; ж) х + 6х + 9 = 0;
в) 3 х – 3х = 0; з) х+ 4х +3 = 0;
– 81 = 0; и) х + 2х – 3 = 0.
д) 4 х – = 0;
2. Решите уравнения по формуле:
– 5х + 2= 0 г) 4х – 12х +9 = 0
+ 5х + 1=0 д) 10х – 6х + 0,9 = 0
– 7х – 1 = 0 е) 2х – 3х + 2 = 0
3. Не решая квадратного уравнения, определите знаки его корня:
– 2х – 15 = 0 7) х – 2х + 1 = 0
+ 2х – 8 = 0 8) х + 4х + 4 = 0
+ 10х + 9 = 0 9) х – 6х + 9 = 0
– 12х + 35 = 0 10) 4х + 7х – 2 = 0
+1 4х + 16 = 0 11) 5х – 9х – 2 = 0
– 5х + 6 = 0 12) х – 11х + 15 = 0
4. Решите уравнения, используя метод «переброски»:
– 9х +9 = 0 5) 3х + х – 4 = 0
– 11х + 3 = 0 6) 5х – 11х + 6 = 0
+11х +6 = 0 7) 2х + х – 10 = 0
+12х + 5 = 0 8) 6х+5х – 6 = 0
5. Решите уравнения, используя свойства коэффициентов:
– 7х + 2 = 0 5) 839х – 448х – 391 = 0
+ 5х – 8 = 0 6) 939х + 978х +39 = 0
+ 25х – 36 = 0 7) 313х + 326х + 13 = 0
+ 27х +16 = 0 8) 2013х – 2014х + 1 = 0
6. Решите уравнения по формуле четного коэффициента:
– 36х + 77 = 0 3) 4х + 20х + 25 = 0
– 22х – 37 = 0 4) 9х – 12х + 4 = 0
7. Решите приведенные квадратные уравнения с помощью выделения квадрата двучлена:
– 8х – 9 = 0 3) х + 18х + 81 = 0
+ 6х – 40 = 0 4) х – 56х + 64 = 0
8. Решите графически уравнения:
– х – 6 = 0; 4) х – 2х – 3 = 0;
– 4х + 4 = 0; 5) х + 2х – 3 = 0;
+ 4х +6 = 0; 6) 4х – 4х – 1 = 0.
9. Решите с помощью циркуля и линейки следующие уравнения:
– 3х + 2 = 0; 4) 2х – 7х + 5 = 0;
– 3х – 10 = 0; 5) х – 6х + 9 = 0;
+4х + 3 = 0; 6) х +4х + 5 = 0.
10. Решите с помощью номограммы уравнения:
– 7z + 6 = 0; 4) z – z – 6 = 0 ;
+ 5z + 4 = 0; 5) z – 11z + 18 = 0;
3) z – 4z + 4 = 0; 6) z– 2z + 3 = 0.
Как решить уравнение ax² + с = 0
Обратим внимание на неполные квадратные уравнения вида ax² + c = 0, в которых b = 0, c ≠ 0. Мы знаем, что слагаемые в уравнениях носят двусторонние куртки: когда мы переносим их из одной части уравнения в другую, они надевает куртку на другую сторону — меняют знак на противоположный.
Еще мы знаем, что если обе части уравнения поделить на одно и то же число (кроме нуля) — у нас получится равносильное уравнение. То есть одно и то же, только с другими цифрами.
Держим все это в голове и колдуем над неполным квадратным уравнением (производим «равносильные преобразования»): ax² + c = 0:
Ну все, теперь мы готовы к выводам о корнях неполного квадратного уравнения. В зависимости от значений a и c, выражение – c/а может быть отрицательным или положительным. Разберем конкретные случаи.
Если – c/а < 0, то уравнение x² = – c/а не имеет корней. Все потому, что квадрат любого числа всегда равен неотрицательному числу. Из этого следует, что при – c/а < 0 ни для какого числа p равенство р² = – c/а не является верным.
В двух словах квадратное уравнение ax² + c = 0 равносильно уравнению ax² + c = 0, которое:
Пример 1. Найти решение уравнения 9x² + 4 = 0.
Ответ: уравнение 9x² + 4 = 0 не имеет корней.
Пример 2. Решить -x² + 9 = 0.
Ответ: уравнение -x² + 9 = 0 имеет два корня -3; 3.
Задача 2
Решим уравнение: −x2+7x+8=0.-x^2 + 7x + 8 = 0.
a=−1a = -1,
b=7b = 7,
c=8.c = 8.
Далее находим дискриминант по формуле:
D=72–4⋅(−1)⋅8=49+32=81=92D = 7^2 – 4 cdot (-1) cdot 8 = 49 + 32 = 81 = 9^2
Находим корни уравнения по следующим формулам:
x1=(−b+√D)/2ax_1 = (-b + √D) / 2a
x2=(−b−√D)/2ax_2 = (-b – √D) / 2a
Подставляем численные значения:
x1=(−7+9)/2∗(−1)=2/(−2)=−1x_1 = (-7 + 9) / 2 * (-1) = 2 / (-2) = -1
x2=(−7–9)/2∗(−1)=−16/(−2)=8x_2 = (-7 – 9) / 2 * (-1) = -16 / (-2) = 8
Ответ: x1=−1x_1 = -1, x2=8x_2 = 8.
Как решить уравнение ax² + bx = 0
Осталось разобрать третий вид неполных квадратных уравнений, когда c = 0.
Квадратное уравнение без с непривычно решать только первые несколько примеров. Запомнив алгоритм, будет значительно проще щелкать задачки из учебника.
Неполное квадратное уравнение ax² + bx = 0 можно решить методом разложения на множители. Разложим на множители многочлен, который расположен в левой части уравнения — вынесем за скобки общий множитель x.
Теперь можем перейти от исходного уравнения к равносильному x * (ax + b) = 0. А это уравнение равносильно совокупности двух уравнений x = 0 и ax + b = 0, последнее — линейное, его корень x = −b/a.
Таким образом, неполное квадратное уравнение ax² + bx = 0 имеет два корня:
Пример 1. Решить уравнение 2x² – 32x = 0
Ответ: х = 0 и х = 16.
Пример 2. Решить уравнение 3x² – 12x = 0
Разложить левую часть уравнения на множители и найти корни:
Ответ: х = 0 и х = 4.
Для удобства мы собрали все виды неполных квадратных уравнений и способы их решения на одной картинке-шпаргалке.
Нахождение корней уравнения по теореме Виета
Если в квадратном уравнении a=1a = 1, то можно найти корни уравнения по теореме Виета.
Задача 4
Решим уравнение: 2×2+x+1=0.2x^2 + x + 1 = 0.
Обозначим коэффициенты:
a=2a = 2,
b=1b = 1,
c=1.c = 1.
Далее находим дискриминант по формуле: D=b2–4acD = b^2 – 4ac
D=12–4∗2∗1=1–8=−7D = 1^2 – 4 * 2 * 1 = 1 – 8 = -7
D<0D < 0 – значит, уравнение корней не имеет.
Ответ: корней нет.
Задача 8
Найдем корни уравнения: x2–5x+6=0.x^2 – 5x +6 = 0.
b=−5b = -5,
c=6c = 6
Запишем 2 условия теоремы Виета:
x1+x2=−bx_1 + x_2 = -b
x1∗x2=cx_1 * x_2 = c
Теперь методом подбора найдем 2 числа, которые будут соответствовать этим условиям. Вероятно, это числа 2 и 3.
Значит, корни уравнения равны:
x1=2x_1 = 2
x2=3x_2 = 3
Ответ: x1=2x_1 = 2, x2=3.x_2 = 3.
Возникли трудности с работой по этой теме? У нас вы можете заказать научную статью по математике по низкой цене!
Как решить уравнение ax² = 0
Начнем с решения неполных квадратных уравнений, в которых b и c равны нулю, то есть, с уравнений вида ax² = 0.
Уравнение ax² = 0 равносильно x² = 0. Такое преобразование возможно, когда мы разделили обе части на некое число a, которое не равно нулю. Корнем уравнения x² = 0 является нуль, так как 0² = 0. Других корней у этого уравнения нет, что подтверждают свойства степеней.
Таким образом, неполное квадратное уравнение ax² = 0 имеет единственный корень x = 0.
Пример 1. Решить −5x² = 0.
Задача 1
Решим уравнение: 3×2+7x−6=0.3x^2 + 7x – 6 = 0.
a=3a = 3,
c=−6c = -6
x2=(−7–11)/2∗3=−18/6=−3x_2 = (-7 – 11) / 2*3 = -18 / 6 = -3
Задача 5
Решим уравнение: −x2+2x+8=0.-x^2 + 2x + 8 = 0.
b=2b = 2,
c=8c = 8
Далее находим дискриминант по формуле: D1=k2–acD_1 = k^2 – ac
D1=12–(−1)∗8=1+8=9=32D_1 = 1^2 – (-1) * 8 = 1 + 8 = 9 = 3^2
x1=(−1+3)/(−1)=2/(−1)=−2x_1 = (-1 + 3) / (-1) = 2 / (-1) = -2
x2=(−1–3)/(−1)=−4/(−1)=4x_2 = (-1 – 3) / (-1) = -4 / (-1) = 4
Ответ: x_1 = -2, x_2 = 4.
Задача 6
Решим уравнение: 9×2–6x+1=0.9x^2 – 6x + 1 = 0.
Обозначим коэффициенты:
a=9a = 9,
b=−6b = -6,
c=1c = 1
D1=0D_1 = 0 – значит, уравнение имеет 1 корень.
Находим корень уравнения по следующей формуле: x=−k/ax = -k / a
Задача 3
Решим уравнение: 4×2+4x+1=0.4x^2 + 4x + 1 = 0.
Обозначим коэффициенты:
a=4a = 4,
b=4b = 4,
D=42–4⋅4⋅1=16–16=0D = 4^2 – 4 cdot 4 cdot 1 = 16 – 16 = 0
D=0D = 0 – значит, уравнение имеет 1 корень.
Находим корень уравнения по следующей формуле: x=−b/2ax = -b / 2a
x=−4/2⋅4=−4/8=−1/2=−0,5x = -4 / 2 cdot 4 = -4 / 8 = -1 / 2 = -0,5
Ответ: x=−0,5.x = -0,5.
Задача 7
Найдем корни уравнения: x2+3x+2=0.x^2 + 3x + 2 = 0.
Обозначим коэффициенты:
a=1a = 1,
b=3b = 3,
c=2c = 2.
Теперь методом подбора найдем 2 числа, которые будут соответствовать этим условиям. Вероятно, это числа -2 и -1.
x1=−2x_1 = -2
x2=−1x_2 = -1
Ответ: x1=−2x_1 = -2, x2=−1x_2 = -1.
Решение неполных квадратных уравнений
Как мы уже знаем, есть три вида неполных квадратных уравнений:
Для тех, кто хочет связать свою жизнь с точными науками, Skysmart предлагает курс подготовки к ЕГЭ по математике (профиль).
Выберите идеального репетитора по математике15 000+ проверенных преподавателей со средним рейтингом 4,8. Учтём ваш график и цель обучения